Наслідки з теореми Лагранжа
1. Якщо функція на відрізку
, має похідну
, то на відрізку
стала.
Враховуючи, що похідна від сталої функції дорівнює нулю, що було установлено раніше, і сформульований щойно наслідок. можна сформулювати критерій сталості диференційованої на заданому проміжку функції:
Для того, щоб функція , диференційована на проміжку
, була сталою, необхідно і достатньо, щоб її похідна
була рівною нулю в усіх точках цього проміжку.
3) Якщо функції і
неперервні на проміжку
і при будь-якому
, то функція
є сталою, тобто
, де
.
Теорема Коші
Теорема.Якщо функції і
1) неперервні на відрізку
,
2) диференційовані на інтервалі , і
,
то існує точка така, що
.
Доведення. Побудуємо допоміжну функцію
.
Легко перевірити, що ця функція задовольняє всім умовам теореми Ролля: неперервна на
, диференційована на
і
. Отже, за теоремою Ролля існує точка
така, що
. Оскільки
,
то
.
Звідси маємо
.
Одержана формула називається формулою Коші або узагальненою формулою скінчених приростів.
Зауваження. У формулі Коші тому, що за умови
, згідно з теоремою Ролля існувала б точка
така, що
, що суперечить умові
.
ЛЕКЦІЯ 19
22. Розкриття невизначеностей. Правило Лопіталя.
2.Застосування правила Лопіталя при розкритті невизначеностей вигляду .
Розкриття невизначеностей. Правило Лопіталя.
Теорема 1 ( правило Лопіталя). Нехай функції і
визначені в проміжку
і
. Нехай, крім того, в проміжку
існують скінченні похідні
і
, причому
. Тоді, якщо існує границя
, то існує й границя
, причому
.
Доведення. Доозначимо в точці функції
і
, поклавши
. Тоді на відрізку
функції
і
задовольняють умовам теореми Коші. Отже,
,
де . Якщо
, то зрозуміло, що й
. Враховуючи, що
і те, що існує границя
, робимо висновок
.
Зауваження. Якщо похідні і
задовольняють умовам, котрі накладаються в наведеній теоремі на функції
і
, то правило Лопіталя можна застосувати повторно, тобто
.
Теорема 1 справджується й тоді, коли . Нехай функції
і
визначені в проміжку
,
, і в проміжку
існують скінчені похідні
та
, де
. Тоді, якщо існує границя
, то існує й границя
, причому
.
Для доведення цього твердження достатньо покласти і застосувати теорему 1.
Теорема 2 (правило Лопіталя). Нехай функції і
визначені в проміжку
,
і в проміжку
існують скінчені похідні
та
, причому
. Тоді, якщо існує границя
, то існує й границя
, причому
.
Доведення цієї теореми можна прочитати, наприклад, в книзі Г. М. Фихтенгольца “Основы математического анализа”, т. 1. - М.: Наука, 1964. Теорема 2 має місце також, коли .
Правило Лопіталя дає можливість розкривати невизначеності типу .
Приклади.
1.
2.