Перше рівняння Максвела в інтегральній та диференціальній формах

Рівняння Максвела є одними з фундаментальних основ електродинаміки. Розглянемо перше рівняння Максвела.

Між векторами електричного поля (Е, Р, D) і векторами магнітного поля (В, М, Н) існує тісний зв’язок. Тому саме використання цих векторів є основою при виведенні рівнянь Максвела.

Для лінійних ізотропних середовищ електромагнітне поле може бути визначено двома векторами Е та Н. Всі електромагнітні процеси відносяться до макроскопічної електродинаміки і підкоряються законам, які були сформульовані в 1873 році законам Максвела у вигляді диференціальних рівнянь.

Перше рівняння Максвела є узагальненям закону повного струму. Закон Ампера в до Максвела формулювався так: Циркуляція вектора напруженості Н магнітного поля по замкненому контуру Г дорівнює струму І, який пронизує даний контур:

І=

Максвел дав формулювання закону повного струму. Він ввів поняття струму зміщення і використавши роботи Фарадея припустив, що у випадку змінних полів, струм зміщення з точки зору утворення магнітного поля є рівноцінний струму провідності.

В результаті було введено поняття про повний вид струму – струм зміщення.

J^см= (А/м²)

D – ел. Зміщення.

J^см= ε₀ + струм зміщення (1)

Перша складова виразу (1) співпадає із струмом зміщення у вакуумі, тобто визначає чистий струм зміщення який не пов’язаний з рухом зарядів Друга складова визначає струм зміщення, що зумовлений рухом зарядів, які пов’язані з станом речовини в результаті дії змінного поля. Максвел запропонував закон повного струму, з врахуванням струмів зміщення:

= І_пр. + І_зм.

Для того, що б рівняння було справедливим треба додати струм зміщення:

перше рівняння Максвела в інтегральній формі

Ампер експерементально встановив що величина сили взаємодії двох елементарних струмів пропорційна силам струмів I₁,I₂, довжинам проміжків дротів dl₁,dl₂ по яким течуть струми і які обернено пропорційні квадрату відстані між ними:

.

Сила, що діє на елемент струму 2, перпендикулярна до цього елементу і лежить в лощині, що містить елементи струму 1 та радіус вектор

– закон Ампера (тут r₀ – одиничний радіус-вектор).

Закон Ампера можна застосувати тільки до замкнутих провідників ( в іншому разі порушуеться третій закон Ньютона)

Закон повного струму

Розглянемо в просторі уявний контур , що обмежує поверхню . Задамо на даному контурі напрям обходу так, що рух вздовж контура з кінця вектора елементарної площадки спостерігалось в напрямку протии часової стрілки .

Припустимо далі, що поверхня пронизується деякою системою струмів, яка може носити як дискретний характер, так і бути неперервно розподіленим. Будемо вважати, що вони розподілені в просторі неперервно з деякою щільністю . Тоді повний струм, що пронизує контур має вигляд

(1)

Закон повного струму стверджує, що циркуляція по контуру вектора напруженості магнітного поля, що визваний протікання струму , рівна повному струму, тобто

(2)

Співвідношення (2) формулює закон повного струму в інтегральній формі. Для того щоб знайти диференціальну форму цього закону, тобто звязати щільність повного струму в даній точці з напруженістю магнітного поля, треба скористатися теоремою Стокса, яка стверджує, що для будь якого векторного поля справедлива рівність

Скориставшись останньою формулою і перетворивши з її допомогою вираз 2 отримаємо

Звідки через довільність вибраного контура отримаємо

Формула 3 є законом повного струму в диференціальній форм

Повний електричний струм

Повний електри́чний струм — впорядкований рух заряджених частинок у просторі. У металах це електрони, напівпровідниках - електрони та дірки, у електролітах - позитивно та негативно заряджені іони, у іонізованих газах — іони та електрони. За напрямок струму вибирають рух позитивно заряджених частинок. Таким чином, напрямок струму в металах протилежний напрямку руху електронів.

Кількісно електричний струм характеризується диференційною векторною величиною густиною струму, або у випадку струму в проводах інтегральною величиною силою струму.

Густина струму називають векторну величину, що визначається, як величина заряду, яка протікає через одиничну площу за одиницю часу. Вона позначається, зазвичай, латинською літерою . Напрямок густини струму визначається напрямком потоку заряду.

Силою струму через провідник називається величина

,

що відповідає кількості заряду , переміщеному через перетин провідника за проміжок часу . У системі СІ сила струму вимірюється в амперах. Відповідно, густина струму вимірюється в A/м².

Якщо за кожен проміжок часу заряд однаковий і напрямок струму незмінний, то такий струм називають постійним.

У випадку, коли ці величини змінні, силу струму описують так:

.

Такий струм називають змінним.

Повний електричний струм створює магнітне поле, напруженість якого визначається законом Біо-Савара. Магнітне поле, створене струмом, використовується для вимірювання сили струму.

Проходження повного електричного струму через речовину приводить до тепловиділення. У випадку провідника зі скінченним опором це тепловиділення описуєтсья законом Джоуля-Ленца. При проходженні струму через контакт двох провідників тепло може як виділятися, так і поглинатися (ефект Пельтьє). Аналогічні до ефекту Пельтьє явища винакають при проходженні електричного струму через провідник із нерівномірним розподілом температури.

Повний електричний струм в газах викликає світіння, що є частковим випадком електролюмінесценції. Аналогічні явища виникають у світлодіодах. При проходженні через електроліт електричний струм супроводжується хімічними реакціями на електродах, які можуть покриватися шаром металу, що виділяється з електроліту.