Уравнения плоского движения твердого тела

Для задания положения плоской фигуры на плоскости относительно системы координат Уравнения плоского движения твердого тела - student2.ru , лежащей в плоскости фигуры, достаточно задать на этой плоскости положение отрезка АВ, скрепленного с фигурой.

Положение отрезка АВ, относительно системы координат Уравнения плоского движения твердого тела - student2.ru определяется заданием координат какой-нибудь точки этого отрезка и его направления. Например, координаты точки А ( Уравнения плоского движения твердого тела - student2.ru ) и направление, заданное углом Уравнения плоского движения твердого тела - student2.ru .

Уравнения движения плоской фигуры относительно системы координат Уравнения плоского движения твердого тела - student2.ru имеют вид: Уравнения плоского движения твердого тела - student2.ru .

Уравнения плоского движения твердого тела - student2.ru Твердое тело при плоском движении имеет три степени свободы.

Функции

Уравнения плоского движения твердого тела - student2.ru

называются уравнениями плоского движения твердого тела.

Рис. 6-2

 
  Уравнения плоского движения твердого тела - student2.ru

Перейдем к изучению движения отдельной точки твердого тела. Положение любой точки М плоской фигуры относительно подвижной системы отсчета Уравнения плоского движения твердого тела - student2.ru ,скрепленной с этой движущейся фигурой и лежащей в ее плоскости, полностью определяется заданием координат x и y точки М (Рис.6-3).

Рис. 6-3

Между координатами точки М в различных системах отсчета существует связь:

Уравнения плоского движения твердого тела - student2.ru , (6-1)

где Уравнения плоского движения твердого тела - student2.ru - длина отрезка ОМ, Уравнения плоского движения твердого тела - student2.ru - постоянный угол между ОМ и осью Уравнения плоского движения твердого тела - student2.ru . С учетом выражений Уравнения плоского движения твердого тела - student2.ru и Уравнения плоского движения твердого тела - student2.ru получаем

Уравнения плоского движения твердого тела - student2.ru , (6-2)

Формулы (6-2) являются уравнениями движения точки М плоской фигуры относительно координат Уравнения плоского движения твердого тела - student2.ru . Эти формулы позволяют определить координаты любой точки плоской фигуры по заданным уравнениям движения этой фигуры и координатам этой точки относительно подвижной системы отсчета, скрепленной с движущейся фигурой.

Используя матрично-векторные обозначения уравнения (6-2) можно записать в такой форме:

Уравнения плоского движения твердого тела - student2.ru , (6-3)

где А – матрица поворота на плоскости:

Уравнения плоского движения твердого тела - student2.ru , Уравнения плоского движения твердого тела - student2.ru , Уравнения плоского движения твердого тела - student2.ru , Уравнения плоского движения твердого тела - student2.ru .

Теорема. Любое движение твердого тела, в том числе и движение плоской фигуры в ее плоскости, бесчисленным множеством способов можно разложить на два движения, одно из которых переносное, а другое – относительное.

Уравнения плоского движения твердого тела - student2.ru В частности, движение плоской фигуры в ее плоскости относительно системы Уравнения плоского движения твердого тела - student2.ru , расположенной в той же плоскости, можно разложить на переносное и относительное движения следующим образом. Примем за переносное движение фигуры ее движение вместе с поступательно движущейся системой координат Уравнения плоского движения твердого тела - student2.ru , начало которой скреплено с точкой О фигуры, принятой за полюс. Тогда относительное движение фигуры будет по отношению к подвижной системе координат Уравнения плоского движения твердого тела - student2.ru вращением вокруг подвижной оси, перпендикулярной плоской фигуре и проходящей через выбранный полюс.

Для доказательства этого достаточно показать, что плоскую фигуру в ее плоскости из одного положения в любое другое можно перевести двумя перемещениями – поступательным перемещением в плоскости фигуры вместе с каким –либо полюсом и поворотом в той же плоскости вокруг этого полюса.

Рис. 6-4

Рассмотрим два любых положения плоской фигуры 1 и 2. Выделим отрезок АB в рассматриваемой фигуре. Перевод фигуры из положения 1 в положение 2 можно рассматривать как суперпозицию двух движений: поступательного из 1 в 1' и вращательного из 1' в 2 вокруг точки A', называемой обычно полюсом (рис. 6-4а). Существенно, что в качестве полюса можно выбрать любую точку, принадлежащую фигуре или даже лежащую в плоскости вне фигуры. На рис. 6-4б, к примеру, в качестве полюса выбрана точка В.

Наши рекомендации