Ряды Фурье для четных и нечетных функций
В некоторых случаях формулы для вычисления коэффициентов Фурье могут быть упрощены. Это имеет место для четных и нечетных функций.
Приведем несколько очевидных свойств четных и нечетных функций.
I. Произведение четной функции на четную или нечетной на нечетную есть функция четная.
II. Произведение четной функции на нечетную есть функция нечетная
III. Если – четная функция, то
.
IV. Если – нечетная функция, то
.
Допустим, что нужно разложить в ряд Фурье четную функцию .
Так как – функция четная, а
– функция нечетная, то произведение
будет функцией четной, а
– функцией нечетной (свойства I и II). На основании свойств III и IV получим
,
,
.
Соответственно этому ряд Фурье для четной функции будет иметь вид
.
Если требуется разложить в ряд Фурье нечетную функцию, то вследствие свойств I и II произведение
будет функцией нечетной, а
– функцией четной. Поэтому
,
.
Ряд Фурье для нечетной функции будет иметь вид
.
Таким образом, четная функция разлагается в ряд только по косинусам, а нечетная функция – только по синусам кратных дуг.
§3. Разложение в ряд Фурье периодических функций
Пусть функция , удовлетворяющая условиям Дирихле, имеет период
, т.е.
.
В случае функции , имеющей период
, коэффициенты Эйлера-Фурье вычисляются по формулам:
,
,
(2)
(8)
В точках разрыва функции и в концах
интервала сумма ряда Фурье определяется аналогично тому, как это имеет место при разложении в интервале
.
В случае разложения функции в ряд Фурье в произвольном интервале
длины
пределы интегрирования в формулах (2) следует заменить соответственно на
и
.
Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом 2, заданную на отрезке
уравнением
.
Решение. Рассматриваемая функция является четной. Ее график – дуга параболы, заключенная между точками и
.
![]() |
Так как – четная функция, то и
будет четной функцией. Здесь
, поэтому
,
.
Интегрируя дважды по частям, получим.
1) .
.
2) .
.
Так как рассматриваемая функция – четная, то . Следовательно,
.●
Если функция задана на отрезке
, то для разложения в ряд Фурье достаточно доопределить ее на отрезке
произвольным способом, а затем разложить в ряд Фурье, считая ее заданной на сегменте
. Наиболее целесообразно функцию доопределить так, чтобы ее значения в точках сегмента
находилась из условия
или
. В первом случае функция
на сегменте
будет четной, а во втором – нечетной. При этом часто говорят, что функция в интервале
разложена в ряд Фурье по синусам или косинусам кратных дуг.
Пример. Разложить функцию , заданную на полупериоде
, в ряд по синусам.
Решение. Для разложения функции в ряд по синусам надо ее продолжить на интервал нечетным образом, затем продолжить полученную функцию периодически на всю числовую ось.
;
Здесь надо принять l = 1 и = 1. Тогда
Итак, ряд Фурье для данной функции имеет вид
.●