Кинематика вращения АТТ вокруг неподвижной оси

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются угловое перемещение (угол поворота) j,угловая скорость и угловое ускорение

Угол поворота j является скалярной величиной, в СИ измеряется в радианах.

Угол поворота j связан с числом оборотов N соотношением:

(20)

Угловая скорость характеризует быстроту вращательного движения и при вращении АТТ вокруг неподвижной оси определяется через производную от угла поворота тела по времени:

(21)

Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда видно вращение, происходящее против хода часовой стрелки.

По известному закону изменения со временем угловой скорости w=w_z(t) можно найти закон изменения угла поворота:

(22)

Изменение угловой скорости со временем характеризуется угловым ускорением. По аналогии с угловой скоростью угловое ускорение тела также можно представить в виде вектора направленного вдоль оси вращения тела. Направление вектора совпадает с направлением вектора , когда вращение ускоренное, и противоположно направлению вектора при торможении. Угловое ускорение в данный момент времени определяется через первую производную от угловой скорости или вторую производную от угла поворота тела по времени:

(23)

Аналогично определению закона изменения угла поворота, можно найти закон изменения со временем угловой скорости:

(24)

В случае вращения тела с из формул (22) и (24) получаются соотношения:

; (25) ; (26)

; (27) . (28)

Модули линейной скорости, нормального и тангенциального ускорений связаны с кинематическими характеристиками вращательного движения соотношениями:

; (29) ; (30) . (31)

Задачи

31.(1) Тело, вращаясь равнопеременно, за время 2,3 с изменило угловую скорость от 2,1 рад/с до 0,98 рад/с. Найти угловое ускорение тела.

32.(1) Твердое тело вращается равнопеременно вокруг неподвижной оси. Скорость точки, находящейся на расстоянии 10 см от оси, в начальный момент времени равна 0,95 м/с, а через 5,8 с – 4,0 м/с. Определить через 4,3 с после начала движения: 1) угловую скорость и угловое ускорение тела;2) линейную скорость, тангенциальное, нормальное и полное ускорения указанной точки.

33.(1) Тело, вращаясь равнопеременно, за 5,0 с от начала движения совершило 100 оборотов. Найти угловое ускорение тела.

34.(1) Маховик, вращающийся с частотой 1,8 с^-1, останавливается через 1,5 мин. Считая движение равнопеременным, найти, сколько оборотов сделал маховик до остановки, и его угловое ускорение.

35.(1) Тело вращается вокруг неподвижной оси. Зависимость угловой скорости от времени приведена на рис. 1. Чему равно угловое ускорение тела?

36.(2) Колесо машины за 120 с изменило частоту вращения от 240 об/мин до 60 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов, сделанных колесом за это время.

37.(2) Колесо радиусом 110 мм вращается вокруг оси Оz, перпендикулярной плоскости колеса и проходящей через его центр масс так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени задается уравнением: где В = 2,5 рад/с; С = 1,8 рад/с³. Найти через 1,8 с после начала движения угловую скорость и угловое ускорение колеса. Для точек, лежащих на ободе колеса, найти в указанный момент времени: 1) линейную скорость, 2) тан­генциальное, нормальное и полное ускорения.

38.(2) Найти нормальное и тангенциальное ускорения точки лопатки турбины, расположенной на расстоянии 1,3 м от оси вращения, через 15 с после пуска турбины, если зависимость модуля линейной скорости лопатки от времени выражена уравнением: , где А = 2,2 м/с², В = 0,83 м/с³.

39.(2) Диск радиусом 2,2 м вращается вокруг оси Оz, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр масс, так, что угловая скорость диска меняется со временем по закону: где А = 2,4 рад/с; В = 3,9 рад/с³. Вычислить тангенциальное ускорение точек диска, находящихся от его центра на расстоянии, равном половине радиуса диска, в момент времени 3,1 с. Определить угол, на который повернется диск за это время.

40.(2) Зависимость угловой скорости диска, вращающегося вокруг оси Оz, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр масс диска, от времени задается законом: Вычислить полное ускорение точек, лежащих на краю диска, в момент времени 0,98 с. Определить зависимость угла поворота диска от времени. Радиус диска равен 40 см; А = 2,5 рад/с³; В = 2,1 рад/с⁴.