Закон сохранения количества движения (закон сохранения импульса)

Лекция 5. Количество движения системы (импульс системы).

В данной лекции рассматриваются следующие вопросы:

1. Количество движения системы (импульс системы).

2. Теорема об изменении количества движения (импульса).

3. Закон сохранения количества движения (импульса).

4. Главный момент количеств движения (импульса) системы.

5. Теорема моментов.

6. Закон сохранения главного момента количеств движения (импульса).

Изучение данных вопросов необходимо для динамики колебательного движения механической системы, для решения задач в дисциплинах «Теория машин и механизмов» и «Детали машин».

В предыдущих лекциях излагались методы определения движения материальной системы, которые сводились к составлению дифференциальных уравнений, как правило, второго порядка. И решение их оказывалось не всегда простым.

Если ввести новые обобщенные понятия, характеризующие свойства и движение системы в целом, то эти трудности нередко можно обойти. К ним относятся понятия о центре масс и кинетической энергии, которые уже нам знакомы, понятия о количестве движения материальной системы и моменте количества движения.

Теоремы, определяющие изменение этих характеристик, позволяют получить более полное представление о движении материальной системы.

Количество движения системы (импульс системы).

Количество движения (импульс тела) – векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость:

Импульс (количество движения) – одна из самых фундаментальных характеристик движения тела или системы тел.

Запишем II закон Ньютона в другой форме, учитывая, что ускорение Тогда следовательно

Произведение силы на время ее действия равно приращению импульса тела (рис. 1):

Где - импульс силы, который показывает, что результат действия силы зависит не только от ее значения, но и от продолжительности ее действия.

Рис.1

Количеством движения системы (импульсом) будем называть векторную величину , равную геомет­рической сумме (главному вектору) количеств движения (импульсов) всех точек системы (рис.2):

Из чертежа видно, что независимо от величин скоростей точек системы (если только эти скорости не параллельны) вектор может принимать любые значения и даже оказаться равным нулю, когда многоугольник, построенный из векторов , замкнется. Следова­тельно, по величине нель­зя полностью судить о ха­рактере движения системы.

Рис.2

Найдем формулу, с по­мощью которой значительно легче вычислять величину , а также уяснить ее смысл.

Из равенства

следует, что

Беря от обеих частей производную по времени, получим

Отсюда находим, что

т.е. количество движения (импульс) системы равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс. Этим результатом особенно удобно пользоваться при вычислении количеств движения твердых тел.

Из формулы видно, что если тело (или система) движется так, что центр масс остается неподвижным, то количество движения тела равно нулю. Например, количество движения тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс, будет равно нулю.

Если же движение тела является сложным, то величина не будет характеризовать вращательную часть движения вокруг центра масс. Например, для катящегося колеса независимо от того, как вращается колесо вокруг его центра масс С.

Таким образом, количество движения характеризует только поступательное движение системы. При сложном же движении величина характеризует только поступательную часть движения системы вместе с центром масс.

Теорема об изменении количества движения (импульса).

Рассмот­рим систему, состоящую из п материальных точек. Составим для этой системы дифференциальные уравнения движения и сложим их почленно. Тогда получим:

Последняя сумма по свойству внутренних сил равна нулю. Кроме того,

Окончательно находим:

Уравнение выражает теорему об изменении коли­чества движения (импульса) системы в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения (импульса) системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил. В проекциях на координатные оси будем иметь:

Найдем другое выражение теоремы. Пусть в момент t=0 количество движения системы равно , а в момент становится равным . Тогда, умножая обе части равенства на dt и интегрируя, получим:

или

так как интегралы, стоящие справа, дают импульсы внешних сил.

Уравнение выражает теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме: изменение количества движения системы за некоторый промежу­ток времени равно сумме импульсов действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени.

В проекциях на координатные оси будем иметь:

Укажем на связь между доказанной теоремой и теоремой о дви­жении центра масс. Так как то, подставляя это значение в равенство и учитывая, что , мы получим .

Следовательно, теорема о движении центра масс и теорема об изменении количества движения системы представляют собой, по существу, две разные формы одной и той же теоремы. В тех случаях, когда изучается движение твердого тела (или системы тел), можно в равной мере пользоваться любой из этих форм.

Практическая ценность теоремы состоит в том, что она позволяет исключить из рассмотрения наперед неизвестные внутренние силы (например, силы давления друг на друга частиц жидкости).

Закон сохранения количества движения (закон сохранения импульса).

Из теоремы об изменении количества движения системы можно получить следую­щие важные следствия:

1) Пусть сумма всех внешних сил, действующих на замкнутую систему, равна нулю:

Тогда из уравнения следует, что Q= =const. Таким образом, если сумма всех внешних сил, действующих на замкнутую систему, равна нулю, то вектор количества движения (импульса) системы будет постоянен по модулю и направлению.

2) Пусть внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их проекций на какую-нибудь ось (например Оx) равна нулю:

Тогда из уравнения следует, что при этом Q_x=const. Таким образом, если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция количества движения (импульса) системы на эту ось есть величина постоянная.

Эти результаты и выражают закон сохранения количества движения системы: при любом характере взаимодействия тел, образующих замкнутую систему, вектор полного импульса этой системы все время остается постоянным.

Из них следует, что внутренние силы изменить суммарное количество движения системы не могут.

Закон сохранения полного импульса изолированной системы – это универсальный закон природы. В более общем случае, когда система незамкнута, из следует, что полный импульс незамкнутой системы не остается постоянным. Его изменение за единицу времени равно геометрической сумме всех внешних сил.

Рассмотрим неко­торые примеры:

а) Явление отдачи или отката. Если рассматривать винтовку и пулю как одну систему, то давление пороховых газов при выстреле будет силой внутренней. Эта сила не может изменить суммарное количество движения системы. Но так как пороховые газы, действуя на пулю, сообщают ей некоторое количество движения, направленное вперед, то они одновременно должны сообщить винтовке такое же количество движения в обратном направлении. Это вызовет движение винтовки назад, т.е. так называемую отдачу. Аналогичное явление получается при стрельбе из орудия (откат).

б) Работа гребного винта (пропеллера). Винт сообщает некоторой массе воздуха (или воды) движение вдоль оси винта, отбрасывая эту массу назад. Если рассматривать отбрасываемую массу и самолет (или судно) как одну систему, то силы взаимодействия винта и среды как внутренние не могут изменить суммарное коли­чество движения этой системы. Поэтому при отбрасывании массы воздуха (воды) назад самолет (или судно) получает соответствующую скорость движения вперед, такую, что общее количество движения рассматриваемой системы останется равным нулю, так как оно было нулем до начала движения.

Аналогичный эффект достигается действием весел или гребных колес.

в) Реактивное движение. В реактивном снаряде (ракете) газообразные продукты горения топлива с большой скоростью выбрасываются из отверстия в хвостовой части ракеты (из сопла реактивного двигателя). Действующие при этом силы давления бу­дут силами внутренними, и они не могут изменить суммарное коли­чество движения системы ракета - продукты горения топлива. Но так как вырывающиеся газы имеют известное количество движения, на­правленное назад, то ракета получает при этом соответствующую скорость движения вперед.

Пример 1.На рельсах стоит платформа массой m₁=10 т. На платформе закреплено орудие массой m₂=5 т, из которого производится выстрел вдоль рельсов. Масса снаряда m₃=100 кг; его начальная скорость относительно орудия v₀=500 м/с. Найти скорость платформы в первый момент после выстрела, если: 1) платформа стояла неподвижно (v = 0); 2) платформа двигалась со скоростью v = 18 км/ч, а выстрел был произведен в направлении ее движения; 3) платформа двигалась со скоростью v = 18 км/ч, а выстрел был произведен в направлении, противоположном направлению ее движения.

Решение.Для решения задачи воспользуемся законом сохранения импульса, утверждающим, что импульс замкнутой системы остается постоянным.

Запишем импульс системы, состоящей из пушки, орудия и снаряда, до выстрела ( ) и после него ( ), в результате которого этот импульс меняется. Напомним, что суммарный импульс системы представляет собой векторную сумму импульсов тел, входящих в систему.

1) Импульс системы до выстрела

т.к. вначале платформа с орудием покоилась (v=0).

После выстрела импульс системы

По закону сохранения импульса , следовательно,

Спроецируем это уравнение на выбранную ось х (рис.3):

Рис.3

Обратим внимание на следующий факт. Из опыта мы знаем, что в результате выстрела платформа с орудием откатится в сторону, противоположную выстрелу, поэтому при проецировании мы сразу можем учесть это, поставив знак «минус» перед скоростью u платформы. Тогда мы получим

откуда

В ряде случаев, когда заранее нет ясности в том, в какую сторону будет двигаться объект, считаем, что скорость направлена вдоль оси х. В этом случае положительное значение полученного результата вычислений подтвердит наше предположение, а отрицательное – укажет на то, что движение происходит в направлении, противоположном выбранному.

2) Закон сохранения импульса в случае, когда платформа движется со скоростью v=18 км/ч = 5 м/с, имеет вид

В проекциях на ось х (рис.4):

Рис.4

Отсюда

Обратим внимание на то, что, посчитав, как в предыдущем случае, что платформа после выстрела начнет двигаться в обратную сторону, мы ошиблись, на что указывает знак «минус» в полученном ответе. Значит, направление движения платформы осталось прежним, но скорость ее уменьшилась.

3) Закон сохранения импульса в третьем случае имеет вид, аналогичным тому, что был записан для второго случая, т.е.

с той лишь разницей, что при проецировании на ось х (рис.5), получим другие знаки для скоростей:

Рис.5

Это даст

Таким образом, платформа будет двигаться в том же направлении со скоростью большей, чем первоначальная.

Пример 2. На железнодорожной платформе, движущейся по инерции со скоростью v, укреплено орудие, ствол которого направлен в сторону движения платформы под углом α к горизонту (рис.5.1). Орудие произвело выстрел, в результате чего скорость платформы с орудием уменьшилась в три раза. Найти скорость снаряда относительно орудия при вылете из ствола. Масса снаряда m₁, масса платформы с орудием m₂.

Рис.5.1

Решение. На систему тел “платформа с орудием + снаряд” действуют внешние силы - тяжести и нормального давления со стороны рельсов, направленные вертикально (горизонтальные силы трения можно считать пренебрежимо малыми) и внутренняя сила - давления газов, образующихся при выстреле. Следует учесть, что при выстреле сила нормального давления превышает силу тяжести, их равнодействующая не равна нулю. Следовательно, при выстреле вертикальная составляющая импульса системы не сохраняется, горизонтальная составляющая импульса останется неизменной:

p_Ix=p_IIx. (1)

В состоянии I (до выстрела) проекция импульса системы на ось х:

p_Ix=(m₁+m₂)v. (2)

Рассмотрим состояние II (после выстрела). Обозначим через v₀ скорость снаряда относительно платформы, u₁ - скорость снаряда относительно Земли, u₂ - скорость движения платформы с орудием. Импульс системы

p_IIx=m₁u_1x-m₂u₂.

Проекция скорости движения снаряда относительно Земли u_1x будет меньше, чем относительно орудия v_0x=v₀∙cosα на u₂:

u_1x=v₀∙cosα-u₂.

Следовательно,

Подставляя (2) и (3) в (1) и учитывая, что по условию u₂=v/3, получаем уравнение

откуда выразим искомую скорость:

Пример 3.Человек массой m₁=60 кг, бегущий со скоростью v₁=2 м/с, впрыгивает на тележку массой m₂=80 кг, движущуюся со скоростью v₂=1 м/с. С какой скоростью будет двигаться тележка с человеком на ней, если: 1) человек догоняет тележку; 2) тележка и человек двигаются навстречу друг другу?

Решение.Закон сохранения импульса в данном случае имеет вид

1) Когда человек догоняет тележку, то их скорости направлены в одну сторону, следовательно, при проецировании на горизонтальную ось имеем

откуда

2) Когда человек и тележка движутся навстречу друг другу, то их скорости имеют разные знаки. Тогда уравнение в проекциях на ось х имеет вид

откуда

Тележка с человеком на ней будет двигаться в сторону, противоположную тому, куда двигалась тележка без человека.

Пример 4.Конькобежец массой M = 70 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой m = 3 кг со скоростью v= 8 м/с. На какое расстояние откатится при этом конькобежец, если коэффициент трения коньков о лед k=0,02?

Решение.Импульс системы «конькобежец-камень» сохраняется, поэтому

С учетом того, что v₀=0, получим в уравнение в проекциях на горизонтальную ось

Mu=mv,

откуда скорость конькобежца u=mv/M. Из закона сохранения энергии кинетическая энергия конькобежца расходуется им на работу против силы трения, поэтому A_тр=∆W_кин.

т.к. cosα=-1 (сила трения направлена в сторону, противоположную скорости).

Приращение кинетической энергии

Тогда

Расстояние