Операторы в квантовой механике и их свойства

6.26 Математический аппарат квантовой механики___________________________________

Согласно соотношению неопределенностей, в квантовой области не существует таких состояний, в которых координата частицы и соответствующая ей проекция импульса имели бы одновременно точные значения. Это находит свое отражение и в формальной стороне теории - математический аппарат квантовой механики резко отличается от математического аппарата классической механики. Кроме того, он должен соответствовать физической постановке задач квантовой механики, например, учитывать волновые свойства микрочастиц. В квантовой механике используют представление физических величин мощью математических операторов.

6.27 Свойства операторов_________________________________________________________________

Оператор_________

Правило, с помощью которого какой-то функции некоторой переменной сопоставляется функция f(х) той же переменной. Символически это записывается в виде умножения (операторы обозначаются буквами со «шляпкой» над ними) на .

Сумма операторов____

Сложение, вычитание и умножение операторов производится по обычным алгебраическим правилам сложения, вычитания и умножения чисел.

Разность операторов

Произведение операторов___________________________________________________________

При умножении операторов не всегда А В = В А.

Коммутирующие операторы.

Некоммутирующие операторы.

6.28 Линейные и эрмитовы операторы_______________________________________________

Линейный оператор_________________________________________________________________

Оператор линейный, если для любых двух функций и любых постоянных С₁и С₂ выполняется записанное условие. В квантовой механике

применяются только линейные операторы (чтобы применение операто-
ров не нарушало принципа суперпозиции состояний).

Примеры:

Линейный эрмитов оператор_____________________________________________________

Оператор эрмитов, если выполняется записанное условие; Ψ₁ и Ψ₂ — произвольные функции

(звездочка означает операцию комплексного сопряжения), а интегрирование производится по всей области изменения независимых переменных.
Примеры: ;

6.29 Свойства собственных функций______________________________________________

Уравнение для собственных функций и собственных значений оператора_____________

В уравнении — оператор, отвечающий данной физической величине; если оператор воспроизводит функцию Ψ с точностью до множителя L, то Ψ — собственная функция оператора , а множитель L— собст­венное значение оператора .

♦ Функция Ψ удовлетворяет стандартным условиям (определена по всей об­ласти независимых переменных, непрерывна, однозначна и конечна) и условию квадратичной интегрируемости (интеграл сходится).

Взаимно ортогональные собственные функции_____________________________________

Собственные функции и линейного эрми това оператора , отвечающие различным соб­ственным значениям и , взаимно ортогональны, если они отвечают записанному условию.

Ортогональные и нормированные системы функций_______________________________

Предыдущее равенство объединено с условием нормировки вероятностей 6.22.

В квантовой механике используются эрмитовы операторы, так как соб­ственные значения эрмитовых операторов — действительные числа.

6.30 Обобщенный ряд Фурье_____________________________________________________

Разложение функции по собственным функциям

Любая функция Ψ(х), определенная в той же области переменных и подчиненная тому же

классу граничных условий, что и собственные функции Ψ_п(х), может

быть разложена в ряд (в обобщенный ряд Фурье).

[Ψ_п(х) — ортогональные собственные функции оператора , отвечающего дан­ной физической величине]

Вероятность результатов измерения______________________________________________

Квадраты модулей коэффициентов разложения в ряд играют роль веро­ятностей получить при измерениях физической величины одно из чисел

L₁, L₂, ... , L_п, ... , являющихся собственными значениями оператора .Иными словами, вероятность того, что при измерении физической ве­личины L будет получено числовое значение L_n, равна .

6.31 Средние значения физических величин__________________________________________

Среднее значение физической величины Lв состоянии Ψ______________________________

[ — соответствующий оператор; Ψ— нормированная волновая функция, dV— элемент объема в пространстве независимых переменных, а интеграл берется по всей области изменения этих переменных]

6.32 Возможность одновременного измерения физических величин____________________

Если двум физическим величинам отвечают коммутирующие операторы, то эти величины могут иметь одновременно определенные значения (поэтому в принципе могут быть измерены одновременно).

Если двум физическим величинам отвечают некоммутирующие операторы, то они не могут одновременно иметь определенных значений.