Приклади роз’язування задач
Приклад 1. Коливальний контур має індуктивність 1,6 мГн, електричну ємність 0,04 мкФ і максимальну напругу Umax на клемах рівну 200 В. Визначити максимальну силу струму в контурі. Опором контуру знехтувати.
Дано:
L = 1,6 мГн
C = 0,04 мкФ
Umax = 200 В
____________
Іmax – ?
Розв’язування. Згідно з законом збереження енергії, максимальна енергія електричного поля конденсатора дорівнює максимальній енергії магнітного поля котушки індуктивності. Тому
.
Звідки
Imax = Umax .
Підставимо числові значення
Imax = 200 × = 1 A.
Відповідь: Іmax = 1 А.
Приклад 2. Індуктивність коливального контуру дорівнює 0,5 мГн. Контур резонує на довжину хвилі 300 м. Визначити електроємність такого контуру. Опором контуру знехтувати.
Дано:
L = 0,5 мГн
l = 300 м
__________
С – ?
Розв’язування. Виразимо довжину електромагнітної хвилі через швидкість поширення і період коливань контуру
l = с Т,
де с = 3 × 108 м/с – швидкість електромагнітних хвиль у вакуумі.
Період коливань контуру дорівнює
Т = 2p .
Тому
l = 2p с .
Звідки знаходимо ємність конденсатора
С = .
Підставимо числові значення
С = = 5,1 × 10-11 Ф.
Відповідь: С = 51 пФ.
Приклад 3. В середовищі, для якого e = 4,00 і m = 1,00, поширюється плоска електромагнітна хвиля. Амплітуда електричного вектора хвилі Еmax = 200 В/м. На шляху хвилі розміщена поглинаюча поверхня, яка має форму диска радіусом r = 300 мм. Яку енергію поглинає ця поверхня за t = 1,00 хв? Період хвилі Т << t.
Дано:
e = 4,00; m = 1,00
Еmax = 200 В/м
r = 300 мм
t = 1,00 хв
_______________
W – ?
Розв’язування. Енергія, яка переноситься електромагнітною хвилею за одиницю часу через одиницю поверхні, перпендикулярно до напрямку поширення хвилі, визначається вектором Пойнтінга
, (1)
де – вектор густини потоку енергії.
В електромагнітній хвилі вектори і
взаємно перпендикулярні, тому модуль вектора Пойнтінга дорівнює
. (2)
Оскільки обидві величини Е і Н, які характеризують електромагнітну хвилю, в кожній її точці змінюються в часі за законом синуса або косинуса і знаходяться в однакових фазах, співвідношення (2) можна записати так:
R = E0 sin wt H0 sin wt = E0 H0 sin2 wt. (3)
Таким чином, величина R є функцією часу, а формули (2) і (3) дають лише миттєві значення цієї величини.
Нехай через площадку S в напрямі перпендикулярному до напряму поширення хвилі переноситься за час t енергія W. Тоді густина потоку
R = (4)
Через площадку S буде перенесена за час t енергія W, яка міститься в об’ємі циліндра з основою S і висотою υt, тобто
W = R S t. (5)
З урахуванням (3) маємо
W = E0 H0 S t sin2 wt. (6)
Згідно з теорією електромагнітних хвиль, густини енергії електричного і магнітного полів хвилі в будь-який момент часу однакові як для Е і Н, так і для Е0 і Н0. Тому
. (7)
З формули (7) знаходимо Н0 і підставляємо в (6)
W = S t sin2 wt. (8)
Оскільки за умовою задачі Т << t, то величину sin2wt можна усереднити в часі, тобто
.
Остаточно одержуємо
W = .
Підставимо числові значення
W = × 4 × 104 × 9 × 10-2 × 3,14 × 60 = 1800 Дж.
Відповідь: 1800 Дж.
Задачі
303. Точка виконує гармонічні коливання. Найбільше зміщення хmax дорівнює 10 см, найбільша швидкість υмах = 20 см/с. Знайти циклічну частоту ω коливань і максимальне прискорення amax.
Відповідь: 2 с-1; 40 см/с2.
304. Точка виконує коливання за законом х = Asinωt. У деякий момент часу зміщення х1 точки виявилося рівним 5 см. Коли фаза коливань збільшилася вдвічі, зміщення х2 стало дорівнювати 8см. Знайти амплітуду А коливань.
Відповідь: .
305. Рівняння коливань точки має вигляд х = A cosω (t+ τ), де ω= πс -1; τ = 0,2 с. Визначити період Т і початкову фазу φ коливань.
Відповідь: 2 с; 36о.
306. Точка виконує коливання за законом х = А cos (ωt+ φ), де А = 4 см. Визначити початкову фазу φ, якщо: а) і
б)
см і
в) х(0) =
см і
г) х(0)=
см і
. Побудувати векторну діаграму для моменту часу t = 0.
Відповідь:; ;
;
.
307. Точка виконує коливання з амплітудою A = 4 см і періодом Т = 2 с. Написати рівняння цих коливань, вважаючи, що в момент часу t = 0 зміщення х(0) = 0 і υ(0)< 0. Визначити фазу (ωt + φ) для двох моментів часу: а) коли зміщення х = 1 см і υ > 0; б) коли швидкість υ = – 6 см/с і х < 0.
Відповідь: , де А = 4см,
рад/с,
;
;
.
308. Точка виконує коливання за законом х = A cosωt, де А = 5 см; = 2 с-1. Визначити прискорення а точки в момент часу, коли її швидкість υ = 8 см/с.
Відповідь: .
309. Максимальна швидкість υmах точки, що виконує гармонічні коливання, дорівнює 10 см/с, максимальне прискорення amах = 100 см/с2. Знайти циклічну частоту ω коливань, їх період Т і амплітуду А. Написати рівняння коливань, прийнявши, що початкова фаза дорівнює нулю.
Відповідь: ; 0,628 с; 1 см;
.
310. Коливання точки відбуваються за законом х = A cos (ωt + φ). У деякий момент часу зміщення х точки дорівнює 5 см, її швидкість υ = 20 см/с і прискорення a = – 80 см/с2. Знайти амплітуду А, циклічну частоту ω, період T коливань і фазу (ωt + φ) у розглянутий момент часу.
Відповідь: ;
;
;
рад.
311. Точка бере участь у двох однаково направлених коливаннях х1 = А1 sin ωt і х2 = А2 cos ωt, де А1 = 1 см; А2 = 2 см; ω =1с-1. Визначити амплітуду А результуючого коливання, його частоту v і початкову фазу φ. Знайти рівняння цього руху.
Відповідь: А = 2,24 см; ;
рад;
, де
.
312. Матеріальна точка виконує гармонічні коливання уздовж осі х за законом: , де t – час у секундах, х – у сантиметрах. Визначити амплітуду зміщення А и період коливань Т. Знайти зміщення х, швидкість
і прискорення а матеріальна точки в момент часу t = 4,0 с.
Відповідь: А = 6,0 см; Т = 2 с; х = 4,85 см; υ = 11,07 см/с;
а = 47,6 см/с2.
313. Частинка виконує прямолінійні гармонічні коливання. Амплітуда швидкості частинки = 22 см/с, амплітуда її прискорення
= 77 см/c². Визначити амплітуду зміщення А і циклічну частоту ω коливань частинки.
Відповідь: А = 6,28 см; ω = 3,5 с-1.
314. Матеріальна точка виконує коливання уздовж деякого напрямку за законом , де ω = 1,57 c-1. Амплітуда швидкості
. Знайти для моментів часу
,
,
значення координати х, швидкості
і прискорення а точки.
Відповідь: х1 = 0; х2 = 0,042м; х3=0,06 м; υ1 = 0,094 м/с; υ2 = 0,066 м/с; υ3 = 0; а1 = 0; а2 = 0,1 м/с2; а3 = 0,15 м/с2.
315. Матеріальна точка виконує гармонічні коливання. Найбільше зміщення точки дорівнює 0,1 м, найбільша швидкість 0,2 м/с. Знайти циклічну частоту коливань і максимальне прискорення точки.
Відповідь: ω = 2 с-1; амах. = 0,4м/с2.
316. Коливання матеріальної точки масою 0,1 г відбуваються за законом: (см). Визначити максимальні значення кінетичної енергії і сили, яка повертає матеріальну точку до положення рівноваги.
Відповідь: Kмах = 4,9.10-6 Дж; Fмах = 1,97.10-4 Н .
317. До спіральної пружини підвісили тягарець, у результаті чого пружина розтяглася на 9 см. Який буде період коливань тягарця, якщо його трохи відтягнути від положення рівноваги, а потім відпустити?
Відповідь: Т = 0,6 с.
318. Матеріальна точка виконує прямолінійні гармонічні коливання. Період коливань Т = 2 с, а амплітуда А = 4 см. Знайти швидкість точки у момент часу, коли її зміщення від положення рівноваги х = 2 см.
Відповідь: υ = 0,108 м/с.
319. Матеріальна точка виконує прямолінійні гармонічні коливання. Циклічна частота ω = 4 c-1, амплітуда прискорення = 72 см/c². Визначити швидкість
точки у момент часу, коли її зміщення від положення рівноваги х = 2,2 см.
Відповідь: υ = 0,157 м/с.
320. Частинка виконує прямолінійні гармонічні коливання. При зміщенні частинки від положення рівноваги на x1 = 2,6 см її швидкість 1 = 2,9 см/с, а при зміщенні на x2 = 3,4 см швидкість частинки
2 = 1,9 см/с. Визначити амплітуду зміщення А і циклічну частоту
коливань частинки.
Відповідь: А = 0,0389 м; ω = 1 с-1.
321. Частинка одночасно бере участь у двох гармонічних коливаннях одного напрямку: x1 = 4cos4πt (см) і x2 = 3cоs(4πt + π/2) (см). Визначити циклічну частоту ω, амплітуду А і початкову фазу результуючого коливання частинки. Побудувати векторну діаграму.
Відповідь: ω = 4π с-1; А = 0,05 м; φ = 36,86о.
322. Написати рівняння руху x(t) частинки, яка одночасно бере участь у двох гармонічних коливаннях одного напрямку: x1 = 30cosπt/3 і x2 = 30cos(πt/3 + π/6) мм.
323. Додаються два гармонічних коливання одного напрямку: x1 = 20cosωt (мм) і x2 = 20cos(ωt + π/3) (мм). Визначити амплітуду А і початкову фазу результуючого коливання, якщо ω = π с-1. Написати також рівняння результуючого коливання x(t).
Відповідь: А=34,6 мм: φ = π/6.
324. Матеріальна точка одночасно бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях, які виражаються рівняннями: x = sin t (мм) і y = cos
(t + 0,5) (мм). Знайти рівняння траєкторії точки y(x) та побудувати його графік.
325. Частинка бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях, які виражаються рівняннями: x = 0,50sinωt і y = 1,5cosωt. Знайти рівняння руху частинки y(x). Побудувати графік результуючого траєкторії коливань і вказати на ній напрямок руху частинки.
326. Визначити амплітуду і початкову фазу результуючого коливання, утвореного при додаванні двох коливань однакового напрямку і періоду:
x1 = 10sin3πt (см) і x2 = 12sin(3πt + /2) (см). Написати рівняння результуючого коливання. Побудувати векторну діаграму.
Відповідь: А = 15,6 см; φ = 39,8о.
327. Зміщення освітленої точки на екрані осцилографа є результатом додавання двох взаємно перпендикулярних коливань, які описуються рівняннями: x = 1,5sin2πt см і y = 3sin2πt см. Написати рівняння результуючого коливання y(x) і побудувати його траєкторію.
327. Додаються два гармонічних коливання одного напрямку з однаковими періодами Т1 = Т2 = 1,5 с і амплітудами А1 = А2 = 2 см. Початкові фази коливань φ1 = π/2, φ2 = π/3. Визначити амплітуду А і початкову фазу результуючого коливання. Знайти його рівняння і побудувати з дотриманням масштабу діаграму додавання амплітуд.
Відповідь: А= 3,86 см; φ = 75о.
329. Точка рухається в площині x y за законом x = Asinωt і y = Bcosωt, де А = В = 10 см, = 2,0 рад/с. Знайти рівняння траєкторії руху точки y(x) і її прискорення у момент часу 2 с.
Відповідь: а = 0,4 м/с2.
330. Матеріальна точка одночасно бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях, які виражаються рівняннями: x = 5cosπt см і y = 10cosπt см. Знайти рівняння траєкторії точки y(х) і швидкість точки в момент часу 1 с.
Відповідь: υ = 0.
331. Частинка виконує прямолінійні згасаючі коливання з періодом Т = 4,5 с. Початкова амплітуда коливань Ao = 0,16 м, а амплітуда після 20 – ти повних коливань А = 0,01 м. Визначити коефіцієнт згасання β і логарифмічний декремент згасання . Написати рівняння коливань частинки, прийнявши початкову фазу коливань
= 0.
Відповідь: β = 0,03 с-1; δ = 0,135.
332. Математичний маятник довжиною l = 1 м виконує згасаючі коливання в середовищі, логарифмічний декремент згасання якого 1 = 1,26. Визначити логарифмічний декремент згасання
2 маятника, якщо опір середовища зросте в 2 рази.
Відповідь: δ2 = 2,52.
333. Знайти коефіцієнт згасання β і логарифмічний декремент згасання математичного маятника, якщо відомо, що за час τ = 100 с коливань повна механічна енергія маятника зменшилася в десять разів. Довжина маятника l = 0,98 м.
Відповідь: β=0,0115 с-1; = 0,023.
334. Тіло масою m = 12 г виконує згасаючі коливання з частотою
ω = 3,14 c-1. При цьому за час τ = 60 с тіло втрачає 0,9 своєї повної механічної енергії. Знайти: а) коефіцієнт згасання β; б) коефіцієнт опору середовища r.
Відповідь: β = 0,019 с-1; r = 4,56.10-4 кг/с.
335. Амплітуда згасаючих коливань маятника за час t1 = 5 хв. зменшилася у 2 рази. За який час, від початкового моменту, амплітуда зменшилася у вісім разів?
Відповідь: t2 = 15 хв.
336. Енергія згасаючих коливань маятника, які відбуваються у деякому середовищі, протягом 120 с зменшилася у 100 разів. Визначити коефіцієнт опору середовища, якщо маса маятника дорівнює 0,2 кг.
Відповідь: r = 0,0076 кг/с.
337. Знайти логарифмічний декремент згасання математичного маятника довжиною 50 см, якщо за проміжок часу 5 хв. його повна механічна енергія зменшилася в 4·104 разів.
Відповідь: δ = 0,025.
338. Знайти число повних коливань системи, протягом яких енергія системи зменшилася у 2 рази. Логарифмічний декремент згасання = 0,01.
Відповідь: N = 34,6.
339. Тіло масою 5·10-3 кг виконує згасаючі коливання. Протягом часу τ= 50 с тіло втратило 60% своєї енергії. Визначити коефіцієнт опору середовища.
Відповідь: r = 9,16.10-5 кг/с.
340. Визначити період згасаючих коливань, якщо період власних коливань системи дорівнює 1 с, а логарифмічний декремент згасання дорівнює = 0,628.
Відповідь: Т = 1,005 с.
341. Складаються два взаємно перпендикулярних коливання, що описуються рівняннями х = А1 sin ωt і y = А2cosω(t+ τ), де А1 = 2 см; A2 = 1 см; ω= π с-1; τ = 0,5 с. Знайти рівняння траєкторії і побудувати її, зазначивши напрямок руху точки.
Відповідь: або
.
342. Амплітуда згасаючих коливань маятника за час τ1 = 2хв зменшилася у три рази. За який час τ2, рахуючи від початкового моменту, амплітуда зменшиться у десять разів?
Відповідь: τ2= 4,18 хв.
343. Амплітуда коливань маятника довжиною l = 1м за час τ = 10 хв. зменшилася у два рази. Визначити логарифмічний декремент коливань .
Відповідь: .
344. Гиря масою m = 500 г підвішена до спіральної пружини жорсткістю k = 20 Н/м і виконує пружні коливання у деякому середовищі. Логарифмічний декремент коливань = 0,004. Визначити кількість N повних коливань, які повинна виконати гиря, щоб амплітуда коливань зменшилася в n = 2 рази. Коефіцієнт опору середовища дорівнює r = 4.10-3 кг/с. За який час τ відбудеться це зменшення?
Відповідь: ;
.
345. Визначити період То власних коливань, якщо період T згасаючих коливань системи дорівнює 2с і логарифмічний декремент згасань = 0,628.
Відповідь: Т = 1,96 с.
346. Знайти кількість N повних коливань системи, протягом яких енергія системи зменшилася в n = 2 рази. Логарифмічний декремент коливань = 0,01.
Відповідь: N = 35.
347. Вагон масою m = 80 т має чотири ресори. Жорсткість k пружин кожної ресори дорівнює 500 кН/м. При якій швидкості υ вагон почне сильно розгойдуватися внаслідок поштовхів на стиках рейок, якщо довжина l рейки дорівнює 12,8 м?
Відповідь: .
348. Визначити амплітуду А і початкову фазу φ результуючого коливання, що виникає при додаванні двох коливань однакових напрямків і періодів: х1 =А1 sinωt і х2=A2 sin ω(t + τ), де А1= А2 =1см; ω = π с-1; τ = 0,5 с. Знайти рівняння результуючого коливання.
Відповідь: A = 1,41 см; ;
.
349. Точка бере участь одночасно у двох гармонічних коливаннях, що відбуваються у взаємно перпендикулярних напрямках і описуються рівняннями х = А1 cos ωt і y = А2 cos ω(t+τ), де А1 = 4 см; А2 = 8 см; ω = π с-1; τ = 1 с. Знайти рівняння траєкторії точки і побудувати графік її руху.
Відповідь: або
.
350. За час t = 8 хв. амплітуда згасаючих коливань маятника зменшилася у три рази. Визначити коефіцієнт згасання β.
Відповідь: β = 0,0023 с-1.
351. Логарифмічний декремент коливань δ маятника дорівнює 0,003. Визначити кількість N повних коливань, які повинен виконати маятник, щоб їх амплітуда зменшилася у два рази.
Відповідь: .
352. Тіло масою m = 15 г бере участь у згасаючих коливаннях. Протягом часу t = 30 с тіло втратило 50% своєї енергії. Визначити коефіцієнт згасання середовища .
Відповідь: =0,0115с-1 .
353. Тіло масою m = 1 кг міститься у в’язкому середовищі з коефіцієнтом опору r = 0,05 кг/с. За допомогою двох однакових пружин жорсткістю k = 50 Н/м кожне тіло утримується в положенні рівноваги, пружини при цьому недеформовані. Тіло змістили від положення рівноваги і відпустили. Визначити: а) коефіцієнт згасання β; б) частоту v коливань; в) логарифмічний декремент коливань δ; г) кількість N коливань, після яких амплітуда зменшиться в е разів.
Відповідь: а) β = 0,025с-1; б) v =1,59 Гц; в) δ = 0,0157; г) N = 64.
354. Коливальна система бере участь у згасаючих коливаннях з частотою v = 1000 Гц. Визначити частоту v0 власних коливань, якщо резонансна частота vpeз = 998 Гц.
Відповідь: v0 = 1002 Гц.
355. Визначити, наскільки резонансна частота відрізняється від частоти v0 = 1 кГц власних коливань системи, що характеризується коефіцієнтом згасання β = 400 с-1.
Відповідь: .
356. При незмінній амплітуді змушувальної сили, амплітуда вимушених коливань при частотах ν1=100 с-1 і ν2 = 200 с-1 виявилася однаковою. Знайти резонансну частоту.
Відповідь: νрез. = 122,5 Гц.
357. Визначити, на скільки резонансна частота відрізняється від частоти = 900 Гц власних коливань системи, яка характеризується коефіцієнтом згасання, рівним β = 500 с-1.
Відповідь: Δν = 7 Гц.
358. Визначити логарифмічний декремент згасання коливань коливальної системи, для якої резонанс спостерігається при частоті, меншій власної частоти на 2 Гц. Власна частота коливань системи дорівнює ν0 = 10 кГц.
Відповідь: δ = 0,09.
359. Пружинний маятник (жорсткість пружини якого дорівнює k =10 Н/м, маса тягарця 0,1 кг) виконує змушені коливання у в’язкому середовищі з коефіцієнтом опору r = 2·10-2 кг/с. Визначити коефіцієнт згасання і резонансну амплітуду, якщо амплітудне значення змушувальної сили дорівнює 10-3 Н.
Відповідь: β = 0,1 с-1; Арез. = м.
360. У скільки разів амплітуда вимушених коливань менша резонансної амплітуди, якщо частота змушувальної сили у 2 рази більша резонансної частоти, а коефіцієнт згасання в обох випадках дорівнює 0,1 о (
о – циклічна частота власних коливань)?
Відповідь: Арез./А = 15.
361. Коливальний контур радіоприймача складається з котушки індуктивністю 100 мГн і змінного конденсатора, ємність якого може змінюватися в межах від 9,7 до 92 пФ. У якому діапазоні довжин хвиль може працювати цей радіоприймач?
Відповідь: λ1 = 1855,5 м; λ2 = 5714,4 м.
362. Плоский конденсатор складається з двох круглих пластин діаметром 8 см. Між пластинами затиснута скляна пластинка ( = 6) товщиною 5 мм. Обкладки конденсатора замкнуті через котушку з індуктивністю 0,02 Гн. Визначити частоту коливань, яка виникає у цьому контурі.
Відповідь: ν =1,55.105 Гц.
363. Коливальний контур складається з котушки індуктивністю 0,003 Гн і плоского конденсатора. Пластини конденсатора у вигляді дисків радіусом 1,2 см розташовані на відстані 0,3 мм одна від одної. Яким буде період коливань, якщо конденсатор заповнити діелектриком з діелектричною проникністю = 4?
Відповідь: Т = 1,256.10-6 с.
364. Котушка індуктивністю 30 мкГн приєднана до плоского конденсатора з площею пластин 0,01 м2 і відстанню між ними 0,1 мм. Знайдіть діелектричну проникність середовища, яке заповнює простір між пластинами, якщо контур налаштований на частоту 400 кГц.
Відповідь: ε = 6.
365. Максимальна напруга в коливальному контурі, який складається з котушки індуктивністю 5 мкГн і конденсатора ємністю 1330 пФ, дорівнює 1,2 В. Опір котушки безмежно малий. Визначити максимальне значення сили струму в контурі.
Відповідь: Імах = 0,02 А.
366. На конденсаторі, ввімкнутому в коливальний контур, максимальна напруга дорівнює 100 В. Ємність конденсатора 10 пФ, індуктивність 1,6 мГн. Напишіть рівняння залежності електричної і магнітної енергії в контурі. Визначити максимальне значення сили струму в контурі.
Відповідь: Імах = 7,9.10-3 А.
367. У коливальному контурі індуктивність котушки дорівнює 0,2 Гн. Амплітуда сили струму 40 мА. Знайдіть енергію магнітного поля котушки й енергію електричного поля конденсатора в момент, коли миттєве значення сили струму в 2 рази менше амплітудного. Опором у контурі знехтувати.
Відповідь: We = 1,2.10-4 Дж; Wм = 0,4.10-4 Дж.
368. Коливальний контур складається із котушки індуктивністю 4 Гн і конденсатора ємністю 1 мкФ. Амплітуда коливань заряду на обкладках конденсатора дорівнює 100 мкКл. Визначити максимальне значення напруги на обкладках конденсатора і максимальне значення струму в котушці.
Відповідь: Імах = 5.10-2 А; Uмах = 100 В.
369. Коливальний контур містить конденсатор ємністю С = 8 пФ і котушку індуктивністю L = 0,5 мГн. Опором контура знехтувати. Яка максимальна напруга Umax на обкладках конденсатора, якщо максимальна сила струму в контурі Imax = 40 мА?
Відповідь: Uмах = 316 В.
370. Котушка (без сердечника) довжиною l = 50 см і перерізом S1 = 3 см² має N = 1000 витків і з'єднана паралельно з конденсатором. Площа кожної пластини конденсатора S2 = 75 см², відстань між пластинами d = 5 мм, діелектрик – повітря. Знехтувавши активним опором контура, знайти період Т його коливань.
Відповідь: Т = 6,26.10-7 с.
371. Знайти відношення енергії магнітного поля до енергії електричного поля для моменту часу t = T/8, вважаючи, що коливальні процеси відбуваються у ідеальному коливальному контурі.
Відповідь: Wм/We = 1.
372. Ємність коливального контуру 1,0 мкФ, а індуктивність 10 мГн. Який омічний опір потрібно ввімкнути в коло, щоб зменшити резонансну частоту незатухаючих коливань на 0,01%?
Відповідь: R = 2,0 Ом;
373. На яку довжину хвилі буде резонувати контур, який складається з котушки індуктивністю 4 мкГн і конденсатора ємністю 1,11 нФ?
Відповідь: λ = 125,5 м.
374. Котушка, індуктивність якої L = 30 мкГн, приєднана до плоского конденсатора. Площа кожної пластини S = 100 см2, відстань між ними d = 0,1 мм. Визначити діелектричну проникність середовища, яке заповнює простір між пластинами, якщо контур резонує на монохроматичну електромагнітну хвилю, довжина якої
= 750 м.
Відповідь: ε = 6.
375. На яку довжину хвилі налаштований коливальний контур радіоприймача, якщо він має індуктивність L = 1,5 мГн і ємністю С = 0,67 нФ? Активним опором контуру знехтувати.
Відповідь: λ = 1888,7 м.
376. Задано рівняння плоскої хвилі U(x, t) = A cos (ωt - kx), де А = 0,5 см; = 628 с-1; k = 2 м-1. Визначити: а) частоту коливань v і довжину хвилі λ; б) фазову швидкість υ; в) максимальні значення швидкості υmax і прискорення аmах коливань частинок середовища.
Відповідь: а) 100 Гц, 3,14 м; б) 314 м/с; в) 3,14 м/с, 1972 м/с2.
377. Плоска звукова хвиля має період Т= 3 мс, амплітуду A = 0,2 мм і довжину хвилі λ = 1,2 м. Для точок середовища, віддалених від джерела коливань на відстань х =2 м, знайти: а) зміщення U(х, t) у момент t = 7 мс; б) швидкість υ і прискорення a для того самого моменту часу. Початкову фазу коливань прийняти рівною нулю.
Відповідь: а) – 0,1 мм; б) 0,00254 м/с, 0,0429 кг/с2.
378. Визначити різницю фаз коливань джерела хвиль, що містяться у пружному середовищі, і точки цього середовища, віддаленої на х = 2 м від джерела. Частота v коливань дорівнює 5 Гц; хвилі поширюються зі швидкістю υ = 40 м/с.
Відповідь: 1,57 рад.
379. Знайти швидкість υ звуку в повітрі при температурах Т1 = 290 К і Т2 = 350 К.
Відповідь: 339 м/с; 375 м/с.
380. Є два джерела, що створюють коливання в однаковій фазі і збуджують у навколишнім середовищі плоскі хвилі однакової частоти і амплітуди (А1= А2 =1 мм). Знайти амплітуду А коливань точки середовища, віддаленої від одного джерела коливань на відстань х1 = 3,5 м і від іншого – на х2 = 5,4 м. Напрямки коливань у розглянутій точці збігаються. Довжина хвилі λ = 0,6 м.
Відповідь: 1,73 мм.
381. У трубі довжиною l = 1,2 м міститься повітря при температурі
Т = 300 К. Визначити мінімальну частоту можливих коливань повітряного стовпа у двох випадках: а) труба відкрита; б) труба закрита.
Відповідь: а) 144 Гц; б) 72 Гц.
382. Звукові коливання, що мають частоту v = 0,5 кГц і амплітуду A = 0,25 мм, поширюються у пружному середовищі. Довжина хвилі λ=70 см. Знайти: а) швидкість υ поширення хвиль; б) максимальну швидкість частинок середовища.
Відповідь: а) 350 м/с; б) 0,79 м/с.
383. Від джерела коливань поширюється хвиля вздовж прямої лінії. Амплітуда А коливань дорівнює 10 см. Наскільки велике зміщення точки, віддаленої від джерела на х =3/4λ, у момент, коли від початку коливань минув час t = 0,9 T?
Відповідь: 5,88 см.
384. Спостерігач, який перебуває на відстані l = 800 м від джерела звуку, чує звук, що надійшов по повітрю, на Δt = 1,78 с пізніше, ніж звук, що долинув по воді. Знайти швидкість υ звуку у воді, якщо температура T повітря дорівнює 290 К.
Відповідь: 1,413 км/с.
385. Знайти відношення швидкостей υ1/υ2 звуку у водні і вуглекислому газі при однаковій температурі газів.
Відповідь: 4,81.
386. Стояча хвиля утворюється при накладанні біжучої хвилі, і хвилі, відбитої від межі поділу середовищ, перпендикулярної її напрямку поширення. Знайти положення (відстань від межі поділу середовищ) вузлів і пучностей стоячої хвилі, якщо відбивання відбувається: а) від середовища з меншою густиною; б) від середовища з більшою густиною. Швидкість υ поширення звукових коливань дорівнює 340м/с і частота v = 3,4 кГц.
Відповідь: ; lвузл = 2,5; 7,5; 12,5 см, ...; lпучн = mυ/2ν;
lпучн = 0.5; 10 см, ...; ; lвузл = 0,5; 10 см, ...; lпучн = (2m+1)υ/4ν; lпучн = 2,5; 7,5; 12,5 см, ... .
387. Визначити довжину λ біжучої хвилі, якщо в стоячій хвилі відстань l між: а) першою і сьомою пучностями дорівнює 15 см, б) першим і четвертим вузлом дорівнює 15 см.
Відповідь: а) 5см; б) 10 см.
388. Поперечна хвиля поширюється уздовж пружної мотузки зі швидкістю 15 м/с. Період коливань дорівнює 1,2 с, амплітуда – 2 м. Визначити довжину хвилі, фазу коливань, зміщення точок від положення рівноваги, які перебувають на відстані 45 м від джерела хвиль у момент часу t = 4 с.
Відповідь: λ = 18 м; Ф = 5,23 рад; uх,t = 1,99 м або uх,t = 0,18 м.
389. Хвиля з періодом 1,6 с і амплітудою коливань 8 см поширюється зі швидкістю 25 м/с. Чому дорівнює зміщення точок від положення рівноваги на відстані 75 см від джерела хвиль, у той момент часу, коли від початку коливань джерела пройшов час 2 с? Чому дорівнює швидкість коливань цієї точки?
Відповідь: uх,t = 0,079 м; = 0 м/с.
390. Звукові коливання, які мають частоту 500 Гц і амплітуду 0,25 мм, поширюються у пружньому середовищі. Довжина хвилі – 0,7 м. Знайти:
а) швидкість поширення хвиль, б) максимальну швидкість коливань частинок у середовищі.
Відповідь: υ = 350 м/с;
391. Швидкість звуку у воді – 1450 м/с. Джерело коливань, що знаходиться у воді, має частоту 200 Гц. Визначити: а) довжину звукової хвилі у воді; б) відстань між найближчими точками, що виконують коливання в протилежних фазах; в) різницю фаз коливань у двох точках, що знаходяться на відстані 1 м.
Відповідь: λ = 7,25 м; Δх = 3,625 м; ΔФ = 0,866 рад.
392. Хвиля поширюється у пружному середовищі зі швидкістю 100 м/с. Найменша відстань між точками середовища, фази коливань яких протилежні, дорівнює 1 м. Визначити: а) частоту коливань; б) максимальне значення швидкості коливань точок середовища, якщо амплітуда коливань дорівнює 5 см.
Відповідь: ν = 50 Гц; = 15,7 м/с.
393. Рівняння плоскої хвилі має вигляд м. Визначити: а) частоту коливань і довжину хвилі; б) фазову швидкість;
в) максимальне значення швидкості і прискорення коливань частинок середовища.
Відповідь: ν = 100 Гц; λ = 3,14 м; υ = 314 м/с; =-3,14 м/с;
394. Плоска пружна хвиля поширюється уздовж лінії, яка з'єднує дві точки, відстань між якими Δr = 0,15 м. Визначити довжину хвилі λ і різницю фаз Δφ коливань частинок середовища в цих точках, якщо частота джерела ν = 10³ Гц, а фазова швидкість хвилі = 340 м/с. Записати рівняння хвилі, якщо амплітуда А = 2 см.
Відповідь: λ = 0,340 м; Δφ = 2,77 рад.
395. Звукові коливання, які мають частоту = 0,5 кГц і амплітуду А = 0,25 мм, поширюються у пружному середовищі. Довжина хвилі λ = 0,7 м. Знайти: а) фазову швидкість
поширення хвиль; б) максимальну швидкість частинок середовища.
Відповідь: υ = 350 м/с; = 0,785 м/с.
396. Скласти рівняння плоскої хвилі, яка поширюється у повітрі, частинки якої коливаються з частотою 2000 Гц і амплітудою 1,7 мкм. Фазова швидкість поширення хвилі 340 м/с. Визначити також середнє значення густини енергії хвильового руху, якщо густина повітря дорівнює 1 кг/м3.
Відповідь:
397. Механічні коливання частотою 400 Гц і амплітудою зміщення 25 мм поширюються у повітрі уздовж циліндричної труби зі швидкістю = 340 м/с. Записати рівняння хвилі. Визначити довжину хвилі, максимальну швидкість частинок повітря, середню густину енергії. Густина повітря дорівнює 1 кг/м³ .
Відповідь: λ = 0,85 м; = 62,8 м/с;
=1972 Дж/м3.
398. Котушка індуктивністю L = 1 мГн і повітряний конденсатор, який складається з двох круглих пластин діаметром D = 20см кожна, з’єднані паралельно. Відстань d між пластинами дорівнює 1 см. Визначити період Т коливань.
Відповідь: с.
399. Коливальний контур складається з котушки індуктивності L = 1,6 мГн і конденсатора ємністю C = 0,04 мкФ. Визначити максимальну силу струму Іmax в контурі, якщо максимальна напруга на клемах конденсатора дорівнює 200 В. Опором контуру знехтувати.
Відповідь: 1 А.
400. Котушка (без сердечника) довжиною l = 60 см і площею S1 перерізу, яка дорівнює 5 см2, має N = 2000 витків і з'єднана паралельно з конденсатором. Конденсатор складається із двох пластин площеюS2 = 10 см2 кожна. Відстань d між пластинами дорівнює 5 мм. Діелектрик –скло (ε =6). Визначити період Т коливань контура.
Відповідь: 10,5 нс.
401.Індуктивність L коливального контуру дорівнює 0,5 мГн. Яка повинна бути електроємність С контуру, щоб він резонував на довжину хвилі λ = 300 м?
Відповідь: 51 пФ.
402. Для демонстрації дослідів Герца із заломленням електромагнітних хвиль іноді беруть велику призму, виготовлену з парафіну. Визначити показник заломлення парафіну, якщо його діелектрична проникність = 2 і магнітна проникність
= 1.
Відповідь: 1,41.
403.Два паралельних провідники, які занурені в гліцерин, індуктивно з'єднані з генератором електромагнітних коливань частотою = 420 МГц. Відстань l між пучностями стоячих хвиль на провідниках дорівнює 7 см. Знайти діелектричну проникність ε гліцерину. Магнітну проникність μ середовища прийняти за одиницю.
Відповідь: 26.
404.Конденсатор електроємністю С = 500 пФ, з'єднанийпаралельно з котушкою довжиною l = 40 см і площею перерізу S, яка дорівнює 5 см2. Котушка має N = 1000 витків. Сердечник немагнітний. Знайти період T коливань.
Відповідь: мкс.
405. Коливальний контур має котушку індуктивністю L = 0,5 мГн. Максимальна напругана обкладках конденсатора Umax=317 В, а максимальна сила струму Ітаx = 40 мА. Знайти ємність конденсатора.
Відповідь: С = 8 пФ.
406. На яку частоту ν буде резонувати контур, який складається із котушки індуктивністю L = 4 мкГн і конденсатора електроємністю С = 1,11 нФ?
Відповідь: 2,39.106 Гц.
ІНТЕРФЕРЕНЦІЯ СВІТЛА
Основні формули
1. Швидкість поширення світла в середовищі
де с – швидкість світла в вакуумі;
n – показник заломлення середовища.
2. Оптична довжина ходу променя
,
де l – геометрична довжина ходу променя в середовищі з показником заломлення n.
3. Оптична різниця ходу двох променів
4. Зв’язок оптичної різниці ходу з різницею фаз
де – хвильове число;
– довжина хвилі світла.
5. Умова максимуму інтерференції когерентних хвиль
,
де k = 1, 2, 3, ... – порядок максимуму;
довжина хвилі.
6. Умова мінімуму інтерференції когерентних хвиль
де k = 1, 2, 3,... – порядок мінімуму.
7. Ширина інтерференційної смуги в досліді Юнга
де L – відстань від екрана до щілин Юнга;
d – відстань між щілинами Юнга;
– довжина хвилі.
8. Оптична різниця ходу променів в тонких плівках:
а) відбиті промені
або
б) прохідні промені
або
де d – товщина плівки;
n – показник заломлення речовини плівки;
і1 і і2 – кути падіння і заломлення променів.
9. Радіуси світлих і темних кілець Ньютона:
а) відбиті промені
– світлі кільця;
– темні кільця;
б) прохідні промені
– cвітлі кільця;
– темні кільця,
де k = 1, 2, 3, ... – порядок кільця;
R – радіус кривизни плоско-oпуклої лінзи;
– довжина хвилі світла;
n – показник заломлення речовини, якою заповнено простір між лінзою і плоскопаралельною пластинкою.