Магнітне поле соленоїда і тороїда

Закон повного струму (1.22) має для розрахунку магнітних полів постійного струму таке саме важливе значення, як і теорема Гаусса для розрахунку електростатичних полів.

Соленоїд і тороїд досить часто застосовуються для створення магнітного поля з метою різних досліджень. Як приклад розглянемо застосування закону повного струму для розрахунків магнітних полів соленоїда і тороїда.

Соленоїд представляє собою провідник, намотаний щільно виток до витка на циліндричний каркас. Він може бути як з осереддям, так і без осереддя. Якщо діаметр витків соленоїда набагато менший його довжини, соленоїд вважають нескінченно довгим. Щодо створюваного ним поля соленоїд еквівалентний системі однакових колових струмів з загальною прямою віссю. Нескінченно довгий соленоїд є симетричним відносно будь-якої перпендикулярної до його осі площини. Взяті попарно симетричні відносно такої площини витки створюють поле, магнітна індукція якого перпендикулярна до площини (див.рис.1.8). Отже, в будь-якій точці всередині соленоїда вектор спрямований вподовж його осі.

Візьмемо прямокутний контур 1-2-3-4-1. Циркуляцію вектора по цьому контуру можна представити таким чином

.

Із чотирьох інтегралів правої час-

Рис. 1.14 тини другий і четвертий дорівнюють нулю, оскільки вектор перпендикулярний до ділянок контуру, по яких беруться ці інтеграли. Взявши ділянку 3-4 на великій відстані від соленоїда (де поле є дуже слабким), третім доданком можна знехтувати. Отже, можна прийняти, що , де - магнітна індукція поля в тих точках, де знаходиться відрізок 1-2 довжиною . Тому, згідно з (1.22) , звідки

, (1.26)

де - число витків, що охоплюються ділянкою , - число витків на одиницю довжини соленоїда.

Як свідчать досліди, отриманий тут результат не залежить від того, на якій відстані від осі в межах соленоїда знаходиться відрізок 1-2 , отже, магнітне поле всередині нескінченно довгого соленоїда є однорідним.

Оскільки внесок у магнітну індукцію на осі соленоїда симетрично розташованих витків однаковий (див.формулу (1.15)), то біля кінця напівнескінченного соленоїда на його осі магнітна індукція дорівнює половині значення (1.26): .

Тороїд представляє собою кінцеву котушку, витки якої намотані на осереддя, що має форму тора. Він є еквівалентним системі однакових колових струмів, центри яких розташовані по колу радіуса тороїда (рис. 1.15). У якості замкненого контуру візьмемо коло радіуса , центр якого співпадає з центром тороїда. З умови симетрії випливає, що силові лінії магнітного поля тороїда (лінії вектора ) в кожній точці повинні бути спрямовані

Рис. 1.15 по дотичній до кола. Отже, , де - магнітна індукція в тих точках, де проходить контур. Якщо контур проходить всередині тороїда („нанизує ” його витки), то охоплений контуром струм , де - кількість витків тороїда, - їх кількість на одиницю довжини тороїда, - сила струму у витках тороїда. Отже, згідно з законом повного струму (1.22) знаходимо , звідки

. (1.27)

На осі тороїда ( ) , що за величиною співпадає з (1.26).

Якщо контур проходить за межами тороїда (не „нанизує ” витки), то він не охоплює струм, і . Таким чином, за межами такого тороїда індукція повинна б дорівнювати нулю.

У реального тороїда є складова струму вздовж його осі. Ця складова створює додаткове до поля (1.27) поле, аналогічне полю колового струму.

Для тороїда, радіус якого набагато більший радіуса витка, відношення для всіх точок всередині тороїда мало відрізняється від одиниці і замість формули (1.27) отримуємо формулу, що співпадає з формулою (1.26) для нескінченно довгого соленоїда. У такому випадку поле можна вважати однорідним у кожному перерізі тороїда.

Закон Ампера

У підрозділі 1.1 йшлося про те, що провідники зі струмом створюють навколо себе магнітне поле і діють на постійні магніти, які містяться поблизу них. Як свідчать досліди, магнітне поле у свою чергу діє на провідник із струмом.

Дію магнітного поля на провідник із струмом вивчали Х.Ерстед і А.Ампер. Ампер докладно дослідив це явище і дійшов висновку, що сила , яка діє на прямолінійний провідник із струмом, що перебуває в однорідному магнітному полі, прямо пропорційна силі струму в провіднику, його довжині , магнітній індукції і синусу кута між напрямком струму в провіднику і вектором :

. (1.28)

Закон Ампера (1.28) можна узагальнити на випадок неоднорідного магнітного поля і провідника довільної форми. Справді, нескінченно малий елемент провідника будь-якої форми можна вважати прямолінійним, а магнітне поле в області, яку займає елемент , можна вважати однорідним. Тому в загальному випадку закон Ампера має вигляд

, (1.29)

де - сила, що діє на елемент провідника довжиною , - кут між вектором (проведеним в напрямку струму у цій ділянці провідника) і вектором . Коефіцієнт пропорційності у формулах (1.28) і (1.29) залежить тільки від вибору одиниць вимірювання величин, що входять у ці формули. У Міжнародній системі одиниць . Тому надалі коефіцієнт в законі Ампера опускатимемо.

Закон Ампера, записаний у вигляді (1.29), не вказує напрямок сили і тому не визначає її повністю. Як показали досліди (див. рис.1.16), напрямок сили можна знайти за правилом лівої руки (рис. 1.17): якщо долоню лівої руки поставити так, щоб в неї входили лінії магнітної індукції, а чотири витягнутих пальці спрямувати в напрямку електричного струму у провіднику, то відставлений великий палець покаже напрямок сили, що діє на провідник з боку поля. Якщо елемент провідника із струмом не перпендикулярний до напрямку магнітного поля, то у долоню мають входити перпендикулярні до провідника складові векторів . Взагалі краще скористатись універсальним правилом – правилом векторного добутку (див. рис. 1.18).

Рис. 1.16 Рис. 1.17 Рис. 1.18

Оскільки модуль векторного добутку дорівнює добутку модулів векторів на синус кута між ними , то можна записати закон Ампе-

ра у векторній формі.

. (1.30)

Якщо прийняти, що в дослідах Ампера з нескінченними прямими паралельними провідниками із струмами та струм створює магнітне поле, індукція якого (див. (1.13)), а кожен елемент провідника із струмом знаходиться в цьому полі, то, згідно з законом Ампера, сила, з якою поле діє на одиницю довжини другого провідника , що узгоджується формулою (1.1).

Сила, що діє на точковий заряд , вміщений в електростатичне поле з напруженістю , збігається за величиною і напрямком з вектором , тобто напрямлена по дотичній до силової лінії електростатичного поля. Сили цього поля є центральними. А сили магнітної взаємодії, як видно із закону Ампера (1.30), не є центральними. Вони завжди напрямлені перпендикулярно до ліній магнітної індукції. Як показує дослід, закон Ампера виконується як для нерухомих, так і для рухомих провідників із струмом в магнітному полі. Це дало можливість створити електричні двигуни.

Сила Лоренца

Експериментально досліджуючи дію магнітних полів на катодне випромінювання, виявили, що магнітне поле діє на рухомі електричні заряди. У цьому можна впевнитись на дослідах з електронними пучками. За допомогою електронно-променевої трубки в центрі екрана одержують світну точку О, яка виникає внаслідок бомбардувань флуоресціюючого шару розігнаним до великих швидкостей сфокусованим пучком електронів. Якщо ж трубку вмістити в сильне магнітне поле, то траєкторія електронів викривляється в площині, перпендикулярній до площини рисунка. Відповідно до цього зміщується світна пляма на екрані. На рис. 1.19 зображено нові положення плями (чорні кола),

Рис. 1.19 коли швидкість електронів напрямлена з-за рисунка.

Дослід показує, що в зовнішньому магнітному полі електрони відхиляються в напрямку, перпендикулярному до вектора індукції і швидкості руху зарядів. Отже на електрон, що рухається в магнітному полі, діє сила, яка напрямлена в той самий бік, що й векторний добуток .

Спостереження над рухом у магнітному полі позитивних і негативних іонів показали, що на них теж діють сили, напрямлені перпендикулярно до векторів і . Було встановлено, що для позитивно заряджених частинок напрямок сили збігається з напрямком вектора , а для негативно заряджених частинок – з напрямком вектора (рис. 1.20).

Дію магнітного поля на провідник із струмом можна уявити як дію магнітного поля на заряджені частинки, що створюють струм, з передачею цієї дії провіднику. Опираючись на закон Ампера, знайдемо вираз для сили, що діє на електричний заряд, який рухається в магнітному полі. За законом Ампера (1.30) на елемент провідника з струмом , який перебуває в

Рис. 1.20 магнітному полі, діє сила , що дорівнює

.

Якщо струм у провіднику зумовлений рухом частинок, заряд яких дорівнює , то

,

де - кількість частинок в об’ємі провідника довжиною , а - швидкість їхнього упорядкованого руху. Сила , що визначається співвідношенням (1.30), діє на всі заряджені частинки. Очевидно, що сила, з якою магнітне поле діє на одну рухому частинку, дорівнює

. (1.31)

До такого ж висновку дійшов нідерландський фізик Х. Лоренц (Lorentz). Тому силу, що визначається формулою (1.31), називають силою Лоренца ( ).

Зважаючи на вище наведені результати дослідів, слід зауважити, що в формулі (1.31) необхідно враховувати знак заряду.

Числове значення сили Лоренца дорівнює

, (1.32)

де - кут між векторами і .

В електричному полі напруженістю на заряд , незалежно від того, рухається він чи перебуває у стані спокою, діє сила . Як показують досліди, електричне і магнітне поля діють незалежно. Тому в довільному електромагнітному полі або у разі сумісної дії електричного і магнітного полів результуюча сила , тобто

. (1.33)

Вираз (1.33) називають формулою Лоренца, а силу, що визначається цією формулою, іноді називають силою Лоренца (див. [5]).

Ефект Холла

У 1879 р. американський фізик Е. Холл виконав такий дослід. Він пропускав постійний електричний струм через пластинку (рис. 1.21), виготовлену із золота, вимірював різницю потенціалів між протилежними точками 1 і 2 на верхній і нижній гранях. Ці точки лежать в одному й тому ж поперечному перерізі П провідника. Виявилося, що . Коли пластинку зі струмом було вміщено в однорідне магнітне поле, перпендикулярне до її бічних граней, то потенціали точок 1 і 2 стали різними. Це явище назвали ефектом Холла або гальваномагнітним явищем. Виявилося, що різниця потенціалів між точками 1 і 2 прямо пропорційна силі струму , індукції магнітного поля і зворотно пропорційна ширині пластинки

, (1.34)

де - стала Холл, - густина струму.

Подальші дослідження показали, що явище Холла спостерігають в усіх провідниках і напівпровідниках незалежно від матеріалу. Зміна напрямку струму або напрямку магнітного поля на протилежний викликає зміну знака різниці потенціалів . Величина сталої Холла залежить від матеріалу пластинки, при чому цей коефіцієнт для одних речовин додатний, а для інших – від’ємний.

Явище Холла для ізотронних речовин можна тлумачити таким чином. За відсутності магнітного поля електричний струм у пластинці зумовлений електричним полем напруженості (рис1.22). Еквіпотенціальні поверхні цього поля створюють систему площин, перпендикулярних до напрямку вектора . Потенціал електричного поля у всіх точках кожної поверхні, в тім числі і в точках 1 та 2, однаковий і . Електрони провідності рухаються упорядковано з швидкістю , спрямованою проти напрямку струму (рис. 1.22). При накладанні магнітного поля на електрон провідності діє сила

Рис. 1.21 Рис. 1.22

Лоренца . Під впливом цієї сили електрон відхиляється до верхньої грані пластинки, внаслідок чого відбувається перерозподіл зарядів у провіднику, тобто його поляризація. Це сприяє виникненню додаткового електричного поля напруженістю . Напруженість сумарного електричного поля в провіднику . Еквіпотенціальні поверхні цього поля будуть перпендикулярними до вектора , і точки 1 та 2 уже не лежать в одній еквіпотенціальній поверхні, тобто і .

Сила , яка діє з боку поперечного електричного поля на електрон, направлена в бік, протилежний напрямку сили Лоренца. Для рівноважного процесу проходження струму по пластинці ці сили повинні бути зрівноваженими, тобто , звідки . Якщо пластинка досить довга і широка, то поперечне електричне поле можна вважати однорідним (воно подібне до поля у плоскому конденсаторі). Тоді різниця потенціалів між точками 1 та 2 дорівнює . Швидкість знайдемо із співвідношення . Тоді

. (1.35)

На підставі формул (1.34) та (1.35) отримуємо

. (1.36)

Із співвідношень і знаходимо:

, (1.37)

де - рухливість носіїв заряду. Вона чисельно дорівнює дрейфовій швидкості заряджених частинок в полі, напруженість якого дорівнює одиниці.

Якщо струм у провіднику створюється не електронами, а частинками з зарядом (іонами валентності ), то у всіх наведених вище формулах варто величину замінити величиною , де - величина елементарного заряду.

У напівпровідниках в електропровідності беруть участь одночасно електрони провідності та дірки. За даними [6] сталу Холла для напівпровідників обчислюється через парціальні провідності електронів і дірок та їхні концентрації і : для слабких магнітних полів

, (1.38)

а для сильних полів

. (1.39)

За умови, що для всієї області магнітних полів

,

а знак вказує на переважаючий тип електропровідності.

Як засвідчують досліди, в металах концентрація вільних електронів і . Для напівпровідників . Отже, холлівська напруга у напівпровідниках у стільки ж разів більша, ніж у металах, тому спостерігати ефект Холла в напівпровідниках простіше, ніж у металах.

Дослідження ефекту Холла відіграло важливу роль у створенні електронної теорії твердого тіла. Ефект Холла – один із найбільш ефективних сучасних методів вивчення енергетичних спектрів носіїв заряду в металах і напівпровідниках. Знаючи , можна визначити знак носіїв заряду, оцінити їх концентрацію та рухливість, а також часто дійти висновку щодо кількості домішків у речовині, наприклад у напівпровіднику. Ефект Холла має також ряд практичних застосувань у вимірювальній та обчислювальній техніці, автоматиці та радіоелектроніці.