Похідні елементарних функцій

Похідна сталої функції.Похідна функції , де при виражається формулою .

Доведення.

.

Похідна степеневої функції . Область визначення цієї функції залежить від . Візьмемо довільну відмінну від нуля внутрішню точку області визначення . Тоді

.

Зауваження. Якщо , то легко безпосередньо одержати значення похідної при . Отже, для будь-якої точки , де - область визначення функції , маємо: .

Приклади.

Похідна показникової функції .

Приклади.

Похідна логарифмічної функції .

Зокрема, якщо , то .

Похідні тригонометричних функцій.

Нехай . Тоді

Аналогічно доводиться, що функція має похідну .

Якщо , то

Аналогічно доводиться, що функція

має похідну .

Похідна оберненої функції.

Теорема.Нехай функція задовольняє всі умови теореми про існування оберненої функції і в точці має похідну . Тоді обернена до неї функція у точці має похідну і

.

Доведення. Надамо значенню деякий приріст . Тоді функція одержить відповідний приріст . Оскільки , то за однозначністю функції , . Отже, .

Якщо , то за неперервністю функції . Звідси маємо

.

Похідні обернених тригонометричних функцій. Нехай маємо функцію . За означенням функції

.

Згідно теореми про похідну оберненої функції

.

Зауваження. Тут враховано, що при виконуються співвідношення , тобто . Отже, , а тому . Точки не розглядаються, так як і .

Аналогічно одержуються похідні інших обернених тригонометричних функцій:

ЛЕКЦІЯ 17

13. Диференціал функції.

14. Похідні вищих порядків.

15. Формула Лейбніца для п-ної похідної добутку двох функцій.

16. Диференціали вищих порядків.

Диференціал функції

Нехай функція диференційована в точці . Тоді її приріст у цій точці можна подати у вигляді

,

де при . Отже, доданок є головною частиною приросту функції, яка лінійно залежить від .

Диференціалом функції в точці називається головна частина приросту функції в цій точці, яка лінійно залежить від .

Диференціал функції позначається так:

.

Враховуючи, що , маємо

.

Диференціалом незалежної змінної називається її приріст: .

Отже,

.

Із останньої формули випливає, що похідну можна обчислити як відношення диференціалів:

.

Диференціал функції має наступний геометричний зміст. Нехай точка (рис. 21) на графіку функції має координати , де .

Пряма - дотична до графіка функції в точці . Тоді приріст в точці , який відповідає приросту аргументу, рівний величині відрізка . Оскільки і , то, враховуючи, що , маємо: диференціал функції в точці дорівнює приросту ординати дотичної, проведеної до графіка функції в точці з абсцисою , тобто дорівнює величині відрізка .

Оскільки диференціал функції є головною частиною її приросту, то це дає можливість застосувати диференціал функції в наближених обчисленнях: із наближеної рівності , тобто

.

Отже

(1)

Приклад. Знайти наближено .

Розв'язування.Розглянемо функцію . Покладемо . Тоді . Далі маємо .

Отже, .

Якщо функції диференційовані, то мають місце наступні формули:

,

,

,

.

Нехай тепер маємо складену функцію , де диференційовані функції в точках і . Тоді

.

Так як

,

то

.

Оскільки , то маємо .

Таким чином, якщо функція складена, то форма диференціалу не змінює свого виду. Цю властивість називають інваріантністю форми диференціалу.