Основное уравнение динамики

Введение

В кинематике рассматривается описание простейших типов механических движений. При этом не затрагивались причины вызывающие изменения положения тела относительно других тел, а систему отсчета выбирается из соображений удобства при решении той или иной задачи. В динамике, прежде всего, представляют интерес причины, вследствие которых некоторые тела начинают двигаться относительно других тел, а также факторы, обуславливающие появления ускорения. Однако законы в механике, строго говоря, в разных системах отсчета имеют различный вид. Установлено, что существуют такие системы отсчета, в которых законы и закономерности не зависят от выбора системы отсчета. Такие системы отсчета получили название инерциальные системы (ИСО). В этих системах отсчета величина ускорения зависит только действующих сил и не зависит от выбора системы отсчета. Инерциальной системой отсчета является гелиоцентрическая система отсчета, начало отсчета которой находится в центре Солнца. Системы отсчета, движущиеся равномерно прямолинейно относительно инерциальной являются также инерциальными, а системы отсчета движущиеся с ускорением относительно инерциальной системы являются неинерциальными. По этим причинам поверхности земли, строго говоря, является неинерциальной системой отсчета. Во многих задач, систему отсчета, связанную с Землей, с хорошей степенью точности можно считать инерциальной.

Основные законы динамики в инерциальных и неинерциальных

Системах отсчета

Способность тела сохранять состояние равномерного прямолинейного движения или покоится в ИСО, называется инертностью тела. Мерой инертности тела является масса. Масса величина скалярная, в системе СИ измеряется в килограммах (кг). Мерой взаимодействия является величина, называемой силой. Сила– величина векторная, в системе СИ измеряется в Ньютонах (Н).

Первый закон Ньютона. В инерциальных системах отсчета точка движется равномерно прямолинейно или покоится в том случае, если сумма всех сил действующих на нее равна нулю, т.е.:

(1)

где [1]– силы, действующие на данную точку.

Второй закон Ньютона. В инерциальных системах тело движется с ускорением, если сумма всех сил, действующих на него не равна нулю, причем произведение массы тела на его ускорение равно сумме этих сил, т.е.:

. (2)

Третий закон Ньютона. Силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению, т.е.: .

Силы, как меры взаимодействия, всегда рождаются парами.

Для успешного решения большинства задач с использованием законов Ньютона необходимо придерживаться некоторой последовательности действия (своего рода алгоритма).

Основные пункты алгоритма.

1. Проанализировать условие задачи и выяснить, с какими телами взаимодействует рассматриваемое тело. Исходя из этого, определить количество сил, действующих на рассматриваемое тело. Допустим, число сил, действующих на тело, равно . Затем выполнить схематически правильный рисунок, на котором построить все силы, действующие на тело.

2. Используя условие задачи, определить направление ускорения рассматриваемого тела, и изобразить вектор ускорения на рисунке.

3. Записать в векторной форме второй закон Ньютона, т.е.:

,

где силы, действующие на тело.

4. Выбрать инерциальную систему отсчета. Изобразить на рисунке прямоугольную декартову систему координат, ось ОХ которой направить по вектору ускорения, ось ОY и ОZ направить перпендикулярно оси ОХ.

5. Воспользовавшись основным свойством векторных равенств, записать второй закон Ньютона для проекций векторов на оси координат, т.е.:

6. Если в задаче кроме сил и ускорений требуется определить координаты и скорость, то кроме второго закона Ньютона необходимо использовать и кинематические уравнения движения. Записав систему уравнений, необходимо обратить внимание на то, чтобы число уравнений равнялось числу неизвестных в данной задаче.

7. Далее необходимо решить систему уравнений и найти соотношения для величин, которые требуется определить в данной задаче. И только потом в полученные формулы подставить цифровые данные.

[2]Рассмотрим неинерциальную систему отсчета вращающуюся с постоянной угловой скоростью вокруг оси, перемещающейся поступательно со скоростью относительно инерциальной системы. В этом случае ускорение точки в инерциальной системе ( ) связано с ускорением в неинерциальной системе ( ) соотношением:

,

где – ускорением неинерциальной системы относительно инерциальной системы , линейная скорость точки в неинерциальной системе. Из последнего соотношения вместо ускорения подставим в равенство (1), получим выражение:

. (3)

Это соотношение называется вторым законом Ньютона в неинерциальной системе отсчета.

Силы инерции. Введем обозначения:

1. – поступательная сила инерции;

2. – сила Кориолиса;

3 – центробежная сила инерции.

В задачах поступательная сила инерции изображается против вектора ускорением поступательного движения неинерциальной системы отсчета ( ), центробежная сила инерции –– от центра вращения по радиусу ( ); направление силы Кориолиса определяется по правилу буравчика для векторного произведения векторов .

Строго говоря, силы инерции не являются в полном смысле силами, т.к. для них не выполняется третий закон Ньютона, т.е. они не являются парными.

Силы

Сила всемирного тяготения. Сила всемирного тяготения возникает в процессе взаимодействия между телами, обладающими массами, и вычисляется из соотношения:

. (4)

Коэффициент пропорциональности получил название гравитационной постоянной. Его величина в системе СИ равна .

Сила реакции. Силы реакции возникают при взаимодействии тела с различными конструкциями, ограничивающими его положение в пространстве. Например, на тело, подвешенное на нити, действует сила реакции, называемая обычно силой натяжения. Сила натяжения нити направлена всегда вдоль нити. Формулы для вычисления ее величины нет. Обычно величину ее находят либо из первого, либо из второго закона Ньютона. К силам реакции также относят силы, действующие на частицу на гладкой поверхности. Ее называют нормальной силой реакции, обозначают . Сила реакции всегда направлена перпендикулярно рассматриваемой поверхности. Со стороны тела на гладкую поверхность действует сила, называемая силой нормального давления ( ). По третьему закону Ньютона сила реакции равна по величине силе нормального давления, но векторы этих сил противоположны по направлению.

Сила упругости. Силы упругости возникают в телах в том случае, если тела деформированы, т.е. если изменена форма тела или его объем. При прекращении деформации силы упругости исчезают. Следует заметить, что, хотя силы упругости возникают при деформациях тел, не всегда деформация приводит к возникновению сил упругости. Силы упругости возникают в телах, способных восстанавливать свою форму после прекращения внешнего воздействия. Такие тела, и соответствующие им деформации, называются упругими. При пластической деформации изменения полностью не исчезают после прекращения внешнего воздействия. Ярким примером проявления сил упругости могут служить силы, возникающие в пружинах, подверженных деформации. Для упругих деформаций, возникающих в деформированных телах, сила упругости всегда пропорциональна величине деформации, т.е.:

, (5)

где коэффициент упругости (или жесткости) пружины, вектор деформации пружины.

Данное утверждение получило название закона Гука.

Сила трения. При движении одного тела по поверхности другого возникают силы, препятствующие этому движению. Такие силы принято называть силами трения скольжения. Величина силы трения покоя может изменяться в зависимости от приложенной внешней силы. При некотором значении внешней силы сила трения покоя достигает максимального значения. После этого начинается скольжение тела. Экспериментально установлено, что сила трения скольжения прямо пропорциональна силе нормального давления тела на поверхность. Согласно третьему закону Ньютона сила нормального давления тела на поверхность всегда равна силе реакции, с которой сама поверхность действует на движущееся тело. С учетом этого формула для вычисления величины силы трения скольжения имеет вид:

, (6)

где величина силы реакции; коэффициент трения скольжения. Сила трения скольжения, действующая на движущееся тело, всегда направлена против его скорости, вдоль соприкасающихся поверхностей.

Сила сопротивления. При движении тел в жидкостях и газах возникают также силы трения, но они существенно отличаются от сил сухого трения. Эти силы называются силами вязкого трения, или силы сопротивления. Силы вязкого трения возникают только при относительном движении тел. Силы сопротивления зависят от многих факторов, а именно: от размеров и формы тел, от свойств среды (плотности, вязкости), от скорости относительного движения. При малых скоростях сила сопротивления прямо пропорционально зависит от скорости движения тела относительно среды, т.е.:

. (7)

При больших скоростях сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости движения тела относительно среды, т.е.:

, (8)

где некоторые коэффициенты пропорциональности, называемые коэффициентами сопротивления.

Основное уравнение динамики

Основное уравнение динамики материальной точки представляет собой не что иное, как математическое выражение второго закона Ньютона:

. (9)

В инерциальной системе отсчета в сумму всех сил входят только силы, являющиеся мерами взаимодействий, в неинерциальных системах в сумму сил входят силы инерции.

С математической точки зрения соотношение (9) представляет собой дифференциальное уравнение движения точки в векторном виде. Его решение –– есть основная задача динамики материальной точки.

Примеры решения задач

Задача №1. На лист бумаги помещен стакан. С каким ускорением надо привести в движение лист, чтобы выдернуть его из-под стакана, если коэффициент трения между стаканом и листом бумаги равен 0,3?

Предположим, что при некоторой силе , действующей на лист бумаги, стакан движется совместно с листом. Изобразим отдельно силы, действующие на стакан массой . На стакан действуют следующие тела: Земля с силой тяжести , лист бумаги с силой реакции , лист бумаги с силой трения , направленной по скорости движения стакана. Движение стакана является равноускоренным, следовательно, вектор ускорения направлен по скорости движения стакана.

Изобразим вектор ускорения стакана на рисунке. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для сил, действующих на стакан:

.

Направим ось ОХ по вектору ускорения стакана, а ось OY ¾ вертикально вверх. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на эти оси координат, получим следующие уравнения:

(1.1)

(1.2)

При увеличении силы , действующей на лист бумаги, возрастает величина силы трения, с которой лист бумаги действует на стакан. При некотором значении силы величина силы трения достигает своего максимального значения, равного по величине силе трения скольжения. С этого момента начинается скольжение стакана относительно поверхности бумаги. Предельное значение силы трения связано с силой реакции, действующей на стакан следующим соотношением:

.

Из равенства (1.2) выражаем величину силы реакции, а затем подставляем в последнее соотношение, имеем . Из полученного соотношения находим величину силы трения и поставляем в равенство (1.1), получим выражение для определения максимального ускорения стакана:

.

Подставив числовые значения величин в последнее равенство, найдем величину максимального ускорения стакана:

.

Полученная величина ускорения стакана равна минимальному ускорению листа бумаги, при котором его можно «выдернуть» из-под стакана.

Ответ: .

Задача №2. На тело массой приложена сила под углом к горизонту. Коэффициент трения между телом и горизонтальной поверхностью равен . Определить величину ускорения груза.

Изобразим все силы, действующие на тело. Кроме внешней силы на тело действует Земля с силой тяжести , горизонтальная поверхность с силой реакции и силой трения , направленной против скорости движения тела. Тело движется равноускоренно, и, следовательно, вектор его ускорения направлен по скорости движения. Изобразим вектор на рисунке. Выбираем систему координат так, как показано на рисунке. Записываем второй закон Ньютона в векторной форме:

.

Используя основное свойство векторных равенств, запишем уравнения для проекций векторов, входящих в последнее векторное равенство:

(2.1)

. (2.2)

Записываем соотношение для силы трения скольжения

. (2.3)

Из равенства (2.2) находим величину силы реакции

.

Из полученного выражения подставим в равенство (2.3) вместо величины силы реакции , получим выражение

.

Подставив полученное выражение для силы трения в равенство (2.1), будем иметь формулу для вычисления ускорения тела:

.

В последнюю формулу подставим числовые данные в системе СИ, найдем величину ускорения движения груза:

Ответ: .

Задача №3. К вертикальной стене прижимают брусок массой m=3 кг с силой F так, как показано на рисунке. Коэффициент трения между стеной и бруском равен 0,2. Каково должно быть минимальное значение силы F, чтобы брусок оставался в покое?

Для минимальной величины силы определим направление силы трения, которая действует на покоящийся брусок. Представим, что сила меньше той минимальной силы, достаточной для того, чтобы тело оставалось в покое. В этом случае тело будет двигаться вниз, и, сила трения , приложенная к нему, будет направлена вертикально вверх. Для того чтобы остановить тело, нужно увеличить величину приложенной силы . Кроме того, на данное тело действует Земля с силой тяжести , направленной вертикально вниз, а также стенка с силой реакции , направленной горизонтально влево. Изобразим на рисунке все силы, действующие на тело. Возьмем прямоугольную декартову систему координат, оси которой направим так, как показано на рисунке. Для покоящегося тела запишем первый закон Ньютона в векторной форме:

.

Для найденного векторного равенства запишем равенства для проекций векторов на оси координат, получим следующие уравнения:

(3.1)

. (3.2)

При минимальном значении внешней силы величина силы трения покоя достигает максимального значения, равного величине силы трения скольжения:

. (3.3)

Из равенства (3.1) находим величину силы реакции , и подставляем в равенство (3.3), получим следующее выражение для силы трения:

.

Подставим вместо силы трения в равенство (3.2) правую часть данного соотношения, получим формулу для вычисления величины приложенной силы :

Из последней формулы находим величину силы :

.

Ответ: .

Задача №4. Два шарика падают в воздухе. Шарики (сплошные) сделаны из одного материала, но диаметр одного из шариков вдвое больше, чем другого. В каком соотношении будут находиться скорости шариков при установившемся (равномерном) движении? Считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна площади поперечного сечения движущегося тела и квадратично зависит от скорости движения тела.

Изобразим все силы, действующие на шарик, движущийся в воздухе вертикально вниз. На него действует Земля с силой тяжести и воздух с силой сопротивления . Изобразим рассмотренные силы на рисунке. В начальный момент времени равнодействующая всех сил имеет максимальное значение, так как скорость шарика равна нулю и сила сопротивления также равна нулю. В этот момент шарик имеет максимальное ускорение, равное . По мере движения шарика скорость его движения увеличивается, и, следовательно, сила сопротивления воздуха возрастает. В некоторый момент времени сила сопротивления достигает величины, равной величине силы тяжести. С этого момента времени шарик движется равномерно. Запишем первый закон Ньютона в векторной форме для равномерного движения шарика:

.

Направим ось OY вертикально вниз. Запишем для данного векторного равенства равенство для проекций векторов на ось OY:

. (4.1)

Сила сопротивления зависит от площади поперечного сечения шарика и величины его скорости движения следующим образом:

, (4.2)

где коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом сопротивления.

Из равенств (4.1) и (4.2) вытекает следующее соотношение:

. (4.3)

Выразим массу шарика через его плотность и объем, а объем в свою очередь, — через радиус шарика:

. (4.4)

Из данного выражения находим массу и подставляем в равенство (4.3), получим следующее равенство:

. (4.5)

Выражаем площадь поперечного сечения шарика через его радиус:

. (4.6)

С учетом соотношения (4.6) равенство (4.5) примет следующий вид:

.

Обозначим как радиус первого шарика; как радиус второго шарика. Запишем формулы для скоростей установившегося движения первого и второго шариков:

Из полученных равенств находим отношение скоростей:

.

Из условия задачи отношение радиусов шариков равно двум. Используя это условие, находим отношение скоростей:

.

Ответ: .

Задача №5. На наклонной плоскости с углом наклона находится тело массой . Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью равен . К телу прикладывают силу, направленную вверх вдоль наклонной плоскости. Какова должна быть величина этой силы, чтобы тело двигалось вверх по наклонной плоскости с ускорением ?

На тело, движущееся вверх вдоль наклонной плоскости, действуют внешние тела: а) Земля с силой тяжести , направленной вертикально вниз; б) наклонная плоскость с силой реакции , направленной перпендикулярно наклонной плоскости; в) наклонная плоскость с силой трения , направленной против движения тела; г) внешнее тело с силой , направленной вверх вдоль наклонной плоскости. Под действием этих сил тело движется равноускоренно вверх по наклонной плоскости, и, следовательно, вектор ускорения направлен по перемещению тела. Изобразим вектор ускорения на рисунке. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

.

Выберем прямоугольную декартову систему координат, ось ОХ которой направим по ускорению движения тела, а ось OY — перпендикулярно наклонной плоскости. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на эти оси координат, получим следующие уравнения:

(5.1)

. (5.2)

Сила трения скольжения связана с силой реакции следующим соотношением:

. (5.3)

Из равенства (5.2) находим величину силы реакции и подставляем в равенство (5.3), имеем следующее выражение для силы трения:

. (5.4)

Подставим в равенство (5.1) вместо силы трения правую часть равенства (5.4), получим следующее уравнение для вычисления величины искомой силы:

Вычислим величину силы :

.

Ответ: .

Задача №6. Через легкий вращающийся без трения блок перекинута нить. На одном конце нити находится тело массой , на другом — тело массой . Определить величину силы натяжения нити и величину ускорения тел.

Изобразим все силы, действующие на тела и на блок. Рассмотрим процесс движения тел, связанных нитью, перекинутой через блок. Нить является невесомой и нерастяжимой, следовательно, величина силы натяжения на любом участке нити будет одинаковой, т.е. и .

Перемещения тел за любые промежутки времени будут одинаковыми, и, следовательно, в любой момент времени одинаковыми будут величины скоростей и ускорений этих тел. Из того, что блок вращается без трения и является невесомым, следует, что сила натяжения нити по обе стороны блока будет одинаковой, т.е.: .

Отсюда вытекает равенство сил натяжения нити, действующей на первое и второе тело, т.е. . Изобразим на рисунке векторы ускорений первого и второго тела. Изобразим две оси ОХ. Первую ось направим вдоль вектора ускорения первого тела, вторую — вдоль вектора ускорения второго тела. Запишем второй закон Ньютона для каждого тела в проекции на эти оси координат:

.

Учитывая, что , и выразив из первого уравнения , подставим во второе уравнение, получим

.

Из последнего равенства находим величину ускорения:

.

Из равенства (1) находим величину силы натяжения:

.

Ответ: , .

Задача №7. Маленькое колечко массой надето на большое проволочное кольцо радиуса , расположенное в вертикальной плоскости. Большое кольцо вращается вокруг вертикальной оси с частотой . Маленькое колечко начинает скользить вниз из верхней точки большого кольца. На какую высоту опустится колечко?

На маленькое колечко при его вращении по окружности действуют две силы: сила тяжести , направленная вертикально вниз, и сила реакции , направленная к центру кольца. Изобразим эти силы на рисунке, а также покажем на нем траекторию движения колечка. Вектор центростремительного ускорения колечка лежит в плоскости траектории и направлен к оси вращения. Изобразим на рисунке. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для вращающегося колечка:

.

Выберем прямоугольную систему координат, ось ОХ которой направим по центростремительному ускорению , а ось OY — вертикально вверх вдоль оси вращения. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на эти оси координат:

; (7.1)

. (7.2)

Из равенства (7.2) находим величину силы реакции и подставляем в равенство (7.1), получим выражение:

. (7.3)

Центростремительное ускорение связано с частотой вращения соотношением: , где радиус вращения маленького колечка. Подставим правую часть последнего равенства вместо в формулу (7.3), получим следующее соотношение:

. (7.4)

Из рисунка находим величину тангенса угла альфа . С учетом этого выражения равенство (7.4) примет вид:

.

Из последнего уравнения находим искомую высоту :

..

Ответ: .

Задача №8. На каком расстоянии от центра горизонтального диска, вращающегося с частотой , нужно поместить небольшое тело, чтобы оно не соскальзывало с диска, если коэффициент трения между диском и телом равен ?

На тело, вращающееся вместе с диском, действуют три силы: сила тяжести , сила реакции и сила трения , направленная к оси вращения. Изобразим все силы на рисунке. Покажем на данном рисунке направление вектора центростремительного ускорения . Записываем второй закон Ньютона в векторной форме:

.

Выберем прямоугольную декартову систему координат так, как показано на рисунке. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат:

; (8.1)

. (8.2)

Запишем соотношение для центростремительного ускорения:

. (8.3)

Подставим правую часть равенства (8.3) вместо центростремительного ускорения в равенство (8.1), получим:

. (8.4)

Из равенства (8.4) видно, что величина силы трения прямо пропорциональна радиусу вращения , поэтому при увеличении радиуса вращения сила трения покоя увеличивается, и при некоторой величине сила трения покоя достигает максимального значения, равного силе трения скольжения ( ).

С учетом равенства (8.2), получим выражения для максимальной силы трения покоя:

.

Подставим правую часть полученного равенства вместо силы трения равенство (4), получим следующее соотношение:

Из данного уравнения находим предельное значение радиуса вращения:

.

Ответ: .

Задача №9.[3] Капля дождя массой начинает падать с высоты , во время ее полета действует сила сопротивления, величина которой пропорциональна скорости. Коэффициент сопротивления равен . Найти: а) зависимость скорости полета капли от времени; б) максимальную скорость капли.

Во время полета капли на нее действует две силы: сила тяжести и сила сопротивления . Изобразим все силы на рисунке. Выберем вертикально направленную ось OY, начало отсчета которой расположим на поверхности Земли. Запишем основное уравнение динамики:

.

Спроектируем равенство на ось OY, будем иметь соотношение:

.

Разделим обе части последнего равенства на и одновременно умножим обе части на , учтем что , получим выражение:

.

Разделим обе части этого выражения на , получим соотношение:

.

Интегрируем последнее соотношением, получаем зависимость скорости от времени: .

Константу найдем из начальных условий ( ), получим искомую зависимость скорости от времени:

.

Определяем максимальную скорость из условия :

.

Ответ: ; .

Задача №10.[4] Небольшая шайба движется по наклонной плоскости, коэффициент трения которой , где – угол наклона плоскости к горизонту. Найти зависимость скорости шайбы от угла между вектором скорости и осью Х (см. рис.), если в начальный момент и .

Изобразим на рисунке силы, действующие на шайбу. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси OX, OY и OZ

Т.к. ,то для всей траектории движения шайбы для силы трения справедливо формула , которая, с учетом равенства для OZ, преобразуется к виду:

.

С учетом этого соотношения равенство для оси OX примет вид

.

Спроектируем второй закон Ньютона на касательную к траектории движения шайбы в рассматриваемой точке, получим соотношение:

где – величина тангенциального ускорения. Сравнивая правые части последних равенств, делаем вывод о том, что .

Поскольку и , то учетом предыдущего соотношения имеем равенство , интегрирование которого приводит к выражению , где – константа интегрирования. Подставим в последнее выражение , получим зависимость скорости от угла :

.

Константу определим из начальных условий (когда .) . С учетом этого запишем окончательную зависимость

.

Минимальное значение скорости достигается тогда, когда , и вектор скорости направлен параллельно оси OX а ее величина равна .

Ответ: .

Задача №11.[5] Небольшая муфта массы свободно скользит по гладкому горизонтальному стержню, который вращают с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через один из его концов. Найти горизонтальную составляющую силы, действующей на муфту со стороны стержня в момент, когда она находится на расстоянии от оси вращения. (В начальный момент муфта находилась непосредственно около оси и имела пренебрежимо малую скорость.)

Для решения задачи выберем неинерциальную систему отсчета, вращающуюся с угловой скоростью , и совместим ее с осью вращения. В этой системе отсчета на муфту действуют силы, являющиеся мерами взаимодействия, – сила тяжести, – вертикальная сила реакции, – горизонтальная сила реакции. И, кроме того, в неинерциальной системе на муфту дополнительно действуют, так называемые силы инерции: – центробежная сила, – сила Кориолиса. Изобразим эти силы на рисунке. Искомой силой в данном случае является горизонтальная сила реакции . В рассматриваемой системе отсчета движение муфты является прямолинейным со скоростью и ускорением . Запишем второй закон Ньютона в неинерциальной системе отсчета

.

Спроектируем это равенство на оси OX и OY, получим соотношения:

Учтем, что и , и подставив в последнее равенство, получим соотношение:

.

Из соотношения находим , и, подставив в последнее соотношение, получим выражение:

Из равенства для проекции векторного равенства на ось ОХ находим искомую силу

.

Закон сохранения импульса

Импульсом материальной точки называется величина равная произведению массы на ее скорость, т.е.

.

Из определения следует, что вектор импульса направлен по вектору скорости . Импульс системы материальных точек равен

,

где – масса системы материальных точек, - скорость центра масс.

Импульс тела находится методом разбиения на бесконечно малые части, при этом получается следующее соотношение:

.

Закон изменения импульса материальной точки в инерциальной системе отсчета имеет следующий вид[6]:

,

где выражение – представляет собой сумму всех сил (как мер взаимодействия), действующих на материальную точку, – дифференциалы (бесконечно малые изменения) импульса и времени.

В неинерциальных системах отсчета в закон изменения импульса материальной точки дополнительно входят силы инерции[7]

.

Для средних значений сил справедливо следующее соотношение:

,

где – изменение импульса точки, – среднее значение силы.

Для системы материальных точек закон изменения имеет вид

,

где выражение представляет собой сумму только внешних сил, действующих на систему, поскольку третий закон Ньютона запрещает внутренним силам изменять импульс системы.

Анализ последнего соотношения позволяет сформулировать следующие условия сохранения, как вектора импульса системы, так и его проекций:

1. Импульс замкнутой[8] системы не изменяется со временем ( ).

2. Импульс сохраняется и у незамкнутой системы, при условии, что сумма всех внешних сил равна нулю.

3. В незамкнутой системы может сохраняться не сам импульс, а его проекция на направление, перпендикулярное равнодействующей внешних сил, при условии, что направление равнодействующей не меняется во времени.

Примеры решения задач

Задача №12. Мяч массой , летевший со скоростью , ударился о горизонтальную поверхность. Угол (угол между направлением вектора скорости и перпендикуляром к плоскости) равен . Продолжительность удара равна . Найти изменение импульса, если удар абсолютно упругий, а угол падения равен углу отражения. Найти величину средней силы нормального давления мяча на поверхность.

Изобразим на рисунке вектор импульса мяча до и после столкновения, а также силы, действовавшие на мяч во время удара. Вектор изменения импульса равен разности векторов и , т.е.:

. (12.1)

На мяч во время столкновения действуют две силы; сила тяжести и сила реакции . Вектор изменения импульса мяча направлен по сумме сил , т.е. вектор перпендикулярен горизонтальной плоскости. Проведем ось OY перпендикулярно горизонтальной плоскости. Для векторного равенства (12.1) запишем равенство для проекций векторов, входящих в это равенство:

.

Так как удар мяча о горизонтальную поверхность упругий, то величина импульса мяча до столкновения равна величине импульса мяча после столкновения, т.е. . С учетом этого соотношения предыдущее равенство примет вид:

В последнее равенство подставим численные данные, получим величину проекции изменения импульса на ось OY:

Проекция вектора изменения импульса имеет положительный знак, следовательно, направление вектора совпадает с направлением оси OY, т.е. вектор изменения импульса мяча направлен вертикально вверх.

Запишем закон изменения импульса мяча во время удара:

. (12.2)

Чтобы найти величину силы реакции, спроектируем векторное равенство (12.2) на ось OY, получим следующее соотношение:

. (12.3)

Из равенства (12.3) выразим силу реакции, получим соотношение:

.

По третьему закону Ньютона величина силы реакции равна величине силы нормального давления мяча на горизонтальную поверхность.

Ответ: , .

Задача №13. На вагонетку массой , движущуюся по горизонтальному пути со скоростью , насыпали сверху щебень массой . Найти изменение скорости движения вагонетки.

На щебень во время удара действовали следующие силы: сила тяжести и сила реакции поверхности вагонетки . На вагонетку в этот промежуток времени действовали следующие силы: сила тяжести , силы реакции горизонтальной поверхности рельс , и, кроме того, сила нормального давления щебня на поверхность вагонетки .

Изобразим на отдельных рисунках данные силы. Для рассматриваемой механической системы «щебень-вагонетка» силы и являются внутренними, и, следовательно, эти силы не изменяют импульса данной системы. Силы являются внешними для этой системы. Запишем закон изменения импульса системы «щебень-вагонетка»:

. (13.1)

Изобразим на рисунке вектор скорости вагонетки до падения щебня и вектор скорости щебня в момент удара. Выберем прямоугольную декартову систему координат, ось ОХ которой направим по скорости движения вагонетки . Запишем для векторного равенства (13.1) равенство для проекций на ось ОХ векторов, входящих в это равенство, получим следующее соотношение:

. (13.2)

Из рисунка видно, что векторы сил направлены перпендикулярно оси ОХ, и, следовательно, проекции векторов этих сил на эту ось будут равны нулю, т.е. . С учетом этих равенств выражение (13.2) преобразуется к следующему виду:

.