Тема: Законы сохранения в механике
1. График зависимости потенциальной энергии тела, брошенного с поверхности земли под некоторым углом к горизонту, от высоты подъема имеет вид, показанный на рисунке …
![]() | |
![]() | |
![]() | |
![]() |
Решение:
Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести определяется формулой . Для тела, брошенного под углом к горизонту и в конце концов упавшего на землю, график зависимости потенциальной энергии от высоты подъема имеет вид, представленный на рисунке.
2. График зависимости кинетической энергии от времени для тела, брошенного с поверхности земли под некоторым углом к горизонту, имеет вид, показанный на рисунке …
![]() | |
![]() | |
![]() | |
![]() |
Решение:
Кинетическая энергия тела , где
и
– проекции скорости тела на оси OX и OY соответственно. Для тела, брошенного под углом α к горизонту,
,
. Тогда
. Это уравнение параболы со смещенной вершиной, ветви которой направлены вверх, причем
. Поэтому график зависимости кинетической энергии тела, брошенного с поверхности земли под некоторым углом к горизонту, от времени имеет вид:
3. Теннисный мяч летел с импульсом в горизонтальном направлении, когда теннисист произвел по мячу резкий удар длительностью
0,1 с. Изменившийся импульс мяча стал равным
(масштаб указан на рисунке):
Средняя сила удара равна …
![]() | ![]() | ||
![]() | |||
![]() | |||
![]() |
Решение:
Изменение импульса мяча равно . Из теоремы Пифагора следует. что
(см. рис.). Следовательно, сила удара равна:
Н (
)
4. На теннисный мяч, который летел с импульсом , на короткое время
= 0,01 с подействовал порыв ветра с постоянной силой F = 300 Н, и импульс мяча стал равным
(масштаб и направление указаны на рисунке).
Величина импульса
была равна …
33,2 ; 6,2
; 6,1
; 1
; 5
Решение:
Т.к. , то
,
кг∙ м/с и
Изменение импульса мяча равно , т.е.
Из рисунка следует, что кг∙ м/с.(Можно и не вычислять). Тогда
5. Шар массы , имеющий скорость v, налетает на неподвижный шар массы
:
После соударения шары будут двигаться так, как показано на рисунке …
![]() | ![]() | ||
![]() | |||
![]() | |||
![]() |
Решение:
Согласно закону сохранения импульса, должно выполняться соотношение , что означает, что должна сохраняться и величина импульса и направление. В ситуации, показанной на рисунке,
это соотношение выполняется.
6. Сплошной цилиндр и шар, имеющие одинаковые массы и радиусы, вкатываются без проскальзывания с одинаковыми скоростями на горку. Если трением и сопротивлением воздуха можно пренебречь, то отношение высот , на которые смогут подняться эти тела, равно …
![]() | ![]() | ||
![]() | |||
![]() | |||
Решение:
В рассматриваемой системе «тело – Земля» действуют только консервативные силы, поэтому в ней выполняется закон сохранения механической энергии, согласно которому , или
, где J – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс,
– угловая скорость вращения вокруг этой оси, h – высота, на которую сможет подняться тело. Отсюда с учетом того, что
, получаем:
. Моменты инерции сплошного цилиндра и шара равны соответственно
и
. Тогда искомое отношение высот
.
7. Сплошной и полый цилиндры, имеющие одинаковые массы и радиусы, скатываются без проскальзывания с горки с одной и той же высоты. Если трением и сопротивлением воздуха можно пренебречь, то отношение скоростей , которые будут иметь эти тела у основания горки, равно …
![]() | ![]() | ||
![]() | |||
![]() | |||
Решение:
В рассматриваемой системе «тело – Земля» действуют только консервативные силы, поэтому в ней выполняется закон сохранения механической энергии, согласно которому , или
, где J – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс,
– угловая скорость вращения вокруг этой оси, h – высота, с которой скатывается тело. Отсюда с учетом того, что
, получаем:
. Отсюда
. Моменты инерции сплошного и полого цилиндров равны соответственно:
и
. Тогда искомое отношение скоростей
.
8. Горизонтально летящая пуля пробивает брусок, лежащий на гладкой горизонтальной поверхности. В системе «пуля – брусок» …
![]() | импульс сохраняется, механическая энергия не сохраняется | ||
импульс сохраняется, механическая энергия сохраняется | |||
импульс не сохраняется, механическая энергия сохраняется | |||
импульс не сохраняется, механическая энергия не сохраняется |
Решение:
Закон сохранения импульса выполняется в замкнутых системах. Система «пуля - брусок» не является замкнутой, так как на нее действуют сила притяжения к Земле и сила реакции опоры. Однако проекции этих сил на горизонтальное направление равны нулю, поэтому проекция импульса системы на указанное направление не изменяется. Поскольку речь идет о горизонтально летящей пуле и брусок может двигаться только в горизонтальном направлении, можно утверждать, что импульс системы сохраняется. Закон сохранения механической энергии выполняется в консервативных системах. В данном случае внешние силы консервативны (силами трения между бруском и гладкой поверхностью можно пренебречь), но есть внутренние неконсервативные силы, действующие в системе в момент пробивания пулей бруска и совершающие работу. Поэтому механическая энергия рассматриваемой системы не сохраняется.
9. Два маленьких массивных шарика закреплены на невесомом длинном стержне на расстоянии друг от друг, как показано на рисунке:
Стержень вращается без трения в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей посередине между шариками, с угловой скоростью . Если шарики раздвинуть симметрично на расстояние
, то угловая скорость
будет равна …
![]() | ![]() | ||
![]() | |||
![]() | |||
![]() |
Решение:
Согласно закону сохранения момента импульса, . Здесь J – момент инерции шариков относительно оси вращения,
– угловая скорость вращения вокруг этой оси. Отсюда
. Таким образом, угловая скорость уменьшится в 4 раза.
10. Небольшая шайба начинает движение без начальной скорости по гладкой ледяной горке из точки А. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Зависимость потенциальной энергии шайбы от координаты х изображена на графике :
Кинетическая энергия шайбы в точке С ______, чем в точке В.
![]() | в 2 раза больше | ||
в 2 раза меньше | |||
в 1,75 раза больше | |||
в 1,75 раза меньше |
Решение:
В точке А шайба имеет только потенциальную энергию. По закону сохранения механической энергии, и
. Отсюда
и
. Следовательно, кинетическая энергия шайбы в точке С в 2 раза больше, чем в точке В.
11. Небольшая шайба начинает движение без начальной скорости по гладкой ледяной горке из точки А. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Зависимость потенциальной энергии шайбы от координаты х изображена на графике .
Кинетическая энергия шайбы в точке С
в 2 раза меньше, чем в точке В
в 2 раза больше, чем в точке В
в 3 раза больше, чем в точке В
в 3 раза меньше, чем в точке В
Решение:
Так как на шайбу действуют только консервативные силы ( тяжести и реакции опоры(упругости)), то полная механическая энергия сохраняется, т.е. одинакова во всех точках траектории шайбы. Так как в т.А шайба начинает движение, то ее кинетическая энергия и
Дж. Тогда, т.к.
, то в точке В-
Дж, а в т.С -
Дж
Следовательно, Кинетическ. энергия шайбы в т. С в 2 раза больше, чем в т. В.
12.С ледяной горки с небольшим шероховатым участком АС из точки А без начальной скорости скатывается тело. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Зависимость потенциальной энергии шайбы от координаты х изображена на графике . При движении тела сила трения совершила работу
= 20 Дж.(Ошибка, должен быть минус)
После абсолютно неупругого удара тела со стеной в точке В выделилось ...
120 Дж тепла
80 Дж тепла
100 Дж тепла
60 Дж тепла
Решение:
При удара о стенку в т.В потенциальная энергия тела не изменилась, а кинетическая в т.В вся перешла в тепло, т.к. тело остановилось. Чтобы узнать кинетическую энергию в т.В необходимо знать полную энергию в т.В( потенциальная в т.В известна).Полная энергия в т.С равна полной энергии в т.В т.к. на этом промежутке не действуют неконсервативные силы. В то же время полная энергия в т.С меньше полной энергии в т.А на работу силы трения. Таким образом, имеем
Тогда
и
Дж.