Закон сохранения массы

Выделим в пространстве контрольный материальный объём , ограниченный произвольной контрольной поверхностью . Пусть плотность жидкости в каждой точке пространства задана - плотность.

Масса бесконечно малого объёма , в момент времени t равна . Масса объёма жидкости, находящейся внутри замкнутой поверхности , равна:

. (6.2.1)

Согласно закону сохранения массы, при движении жидкого объёма его масса остаётся неизменной. Изменение во времени гидромеханической характеристики, относящейся к движущемуся жидкому объёму, который содержится в начальный момент внутри контрольной поверхности , выражается в виде субстанциональной производной от этой характеристики. Представим закон сохранения массы, используя эту производную

. . (6.2.2)

ЗАКОН ИЗМЕНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

Изменение количества движения жидкого объёма за единицу времени равно сумме всех приложенных к нему внешних (массовых и поверхностных) сил. Количество движения и силы - величины векторные, поэтому уравнение, выражающее этот закон, является векторным. Ему соответствует система трёх уравнений, связывающих проекции векторов на оси координат.

Рис.6.1. К выводу уравнения количества движения

Выделим в пространстве объём жидкости и ограничим его контрольной поверхностью (рис.6.1). Бесконечно малый объём имеет массу и количество движения . Количество движения всего объёма равно . Изменение количества движения при перемещении этого объёма за единицу времени составит

(6.3.1)

Вектор внешних массовых сил, плотность распределения которых обозначим через , находим аналогично: на элементарный объём массой действует сила , следовательно, внешняя массовая сила, действующая на весь объём , равна

(6.3.2)

Плотность распределения внешней поверхностной силы (напряжение) на контрольной поверхности обозначим через , учитывая, что - нормаль к . Тогда на элементарную площадку действует сила , а на всю поверхность действует результирующая поверхностная сила

. (6.3.3)

Приравняв изменение количества движения (6.3.1) сумме сил (6.3.2) и (6.3.3), получим уравнение, выражающее закон изменения количества движения:

. (6.3.4)

Это векторное уравнение равносильно трём скалярным уравнениям, которое можно записать, проектируя все слагаемые на координатные оси х,у,z. Например, в проекции на ось х имеем

(6.3.5)

Уравнение (6.3.4) используется и в приведённом выше виде в виде гидравлического уравнения количества движения или в виде систем дифференциальных уравнений, получаемых из (6.3.4), когда контрольный объём бесконечно мал.