Некоторые типы механических связей

1.Идеально гибкая невесомая нерастяжимая нить. На рис. 4 изображена нить, прикрепленная к твердому телу в точке В. Рассматриваемая связь наложена в точке В, в силу идеальной гибкости нити разрешен поворот тела вокруг любой оси, проходящей через эту точку. Это означает, что пары сил реакции не возникает.

Для этого типа связи разрешены малые поступательные перемещения тела, при которых точка В движется по поверхности сферы радиуса ВК с центром в точке К, поэтому в направлении разрешенных перемещений сила реакции возникнуть не может. Запрещено поступательное перемещение тела в направлении KB, так как нить нерастяжима. Это означает, что появляется сила реакции , приложенная к телу в точке В, направленная по прямой ВК.

2. Аналогично направляются силы реакции, когда связь осуществляется посредством либо свободного опирания двух тел, поверхность одного из которых является абсолютно гладкой (рис. 5), либо подвижного шарнира (рис. 6).

3. Жесткая заделка. Связь запрещает любое поступательное перемещение тела, поэтому возникает сила реакции связи , направление которой неизвестно. Ее обычно представляют тремя составляющими, параллельными координатным осям. Жесткая заделка запрещает поворот вокруг любой оси, проходящей через точку В, поэтому возникает пара сил реакции, момент которой не известен ни по величине, ни по направлению. Обычно неизвестную пару заменяю эквивалентной системой трех пар, моменты которых направлены вдоль осей координат (рис. 7).

Рис.7 Реакции связей, направление моментов при жесткой заделке

Если на тело наложено несколько связей, то каждая из них исследуется независимо от остальных связей и приложенных к телу сил. Неизвестными в задачах статики могут быть реакции связей, но и углы, линейные размеры конструкций и др. параметры.

Пример 4. Найти реакцию жесткой заделки В изогнутой невесомой балки BDE (рис. 8,а)), находящейся под действием силы F = 20 кН и пары сил с моментомМ = 2 кН м при следующих данных: α = 30°, BD = 2м, DE=1м.

Решение. Будем следовать общей схеме решения задач о равновесии тела.

1. Реакция жесткой заделки В может быть найдена из исследования равновесия балки, поэтому в качестве твердого тела выбираем балку BDE. Отдельно рисуем расчетную схему (рис. 8, б).

2. Расставляем на схеме активные силовые факторы, действующие на балку, — силу и пару сил , которую изображаем при помощи дуговой стрелки в направлении вращения пары (в рассматриваемом случае по ходу часовой стрелки).

3. Балка несвободна, так как на нее наложена связь — жесткая заделка в точке В. Делаем балку свободной: отбрасываем связь, заменяя ее реакцией связи. Реакция заделки состоит из силы , неизвестной ни по величине, ни по направлению, и пары сил с моментом , неизвестным ни по величине, ни по направлению вращения.

Рис.8 Графическое изображение:

а) данных по условию задачи, б) расчетной схемы

Вводим систему координат ху, как показано на рисунке. Поскольку направление силы в заделке B неизвестно, представим ее двумя составляющими: и . Неизвестную пару сил реакции изобразим дуговой стрелкой. Отметим, что не нужно гадать, куда на самом деле направлены составляющие и дуговая стрелка момента пары — все это выяснится после решения задачи. Например, на расчетной схеме была нами направлена влево лишь потому, что при этом она оказалась заметнее на рисунке.

Заменим эквивалентной системой сил, состоящей из двух составляющих и , направленных параллельно координатным осям

= + , = cos α, = sin α.

4. Теперь на расчетной схеме оказалась свободная балка, находящаяся под действием сил, расположенных в одной плоскости. В этом случае система уравнений равновесия состоит из трех уравнений. Количество неизвестных — , , — равно трем. Это означает, что количество неизвестных и количество уравнений совпадают, и необходимые условия статической определимости задачи выполнены.

5. Воспользуемся основной формой уравнений равновесия для плоской системы сил , выбрав в качестве моментной точки центр В.

Основная опасность при составлении уравнений равновесия — возможность потери какой-либо силы, либо пары сил, поэтому рекомендуется выписать в строке все силы и все пары сил, приложенные к телу, а уравнения равновесия составлять под этой строкой.

Таблица 1 Результаты вычислений

Силы пары сил
=	-	+ 0	+ 0	-	+0	+0	= 0
=		+			-		= 0
=			+	+	-	-	= 0

Подставив исходные данные, найдем решение задачи

Х_В = -17,1 кН, Y_B= 10кН, М_B=4,9 кНм.

Знаки ответов говорят о том, что направление составляющей силы противоположно указанному на расчетной схеме, а направления составляющей и дуговой стрелки М_В соответствуют изображенным.

На схеме (рис. 8) не допускается зачеркивать и рисовать заново с учетом знака ответа, так как при этом становятся невозможными проверка правильности составления уравнений равновесия и интерпретация результатов.

Сила реакции заделки является геометрической суммой ортогональных составляющих и , поэтому ее величина может быть найдена по формуле

= 19,8 кН.

2.1 Статически определимые и неопределимые задачи

Для каждой системы сил можно составить определенное число уравнений равновесия — от одного для системы сил, имеющих общую линию действия, до шести для произвольной пространственной системы сил. Очевидно, что для однозначного определения неизвестных величин их число должно быть равно числу уравнений.

Задачи статики, в которых число неизвестных величин равно числу уравнений равновесия, составленных для данной системы сил, называют статически определимыми. Если же число неизвестных превышает число уравнений равновесия, то такую задачу методами статики (составлением уравнений равновесия) решить невозможно, так как получается неопределенность: части неизвестных можно придать любое значение, тогда остальные числом, равным числу уравнений равновесия, определяются однозначно.

Например, на рис. 9 тело подвешено на четырех расположенных в одной плоскости и непараллельных стержнях, на концах которых предусмотрены шарниры. Реакции таких стержней, действующие на тело, направлены вдоль последних. Имеем плоскую произвольную систему сил, для которой можно составить три уравнения равновесия. Следовательно, одна из сил «лишняя» (например, Т₄), и ей можно приписать некоторое произвольное значение, после чего из уравнений равновесия находятся остальные (Т₁...Т₂). Действительно, предположим, что вначале тело подвешено на двух стержнях 1 и 2. Такое тело может перемещаться в плоскости расположения стержней. Пусть траектория точки С, принадлежащей телу, есть m - m. Если к этой точке присоединить стержень 3, то траекторией его конечной точки С¹ служит дуга окружности п - п с радиусом, равным длине стержня. При несовпадении траекторий точек С и С¹ установка третьего стержня фиксирует положение тела, которое становится однозначно определенным. В этом случае установка четвертого стержня является излишней и будет сопровождаться трудностями из-за необходимости точно выдержать длину стержня равной фиксированному расстоянию АВ. Если стержень 4 короче или длиннее АВ, то для установки этого стержня потребуется его деформация — удлинение или укорочение, что связано с необходимостью отказа от гипотезы об абсолютно твердых телах, рассматриваемых в статике.

Если рассматривается равновесие сочлененных систем, то ее делят на части, прикладывая в местах разделения попарно противоположные и равные силы. Если всего п частей, то можно либо составлять уравнения равновесия для всей системы и п — 1 части, либо же только для п частей. Рассмотрим решение подобной системы на примере.

Пример 4 Определение опорных реакций в пятовых шарнирах А и В и усилия в ключевом шарнире С трехшарнирной арки рис. 10, а) под действием сил и .

Рис.10 Реакции в пятовых шарнирах трехшарнирной балки

Решение. Берем сначала всю систему. Так как в шарнирах направления реакций заранее неизвестны, мы вводим их составляющие — горизонтальную X и вертикальную Y:

Отсюда .

Разрезаем систему по шарниру С, отбрасываем правую часть и вводим силы , (левая часть представлена отдельно, рис. 10,б):

Отсюда

Если бы мы составляли уравнения равновесия также и для правой части, то в точке С ввели бы силы , , направленные противоположно соответствующим силам, действующим на левую часть.

3. Методика решения задач динамики

В уравнения движения неизвестные могут входить как в левые, так и в правые части. В зависимости от этого задачи динамики делятся на два типа, которые рассмотрены ниже.

· Первая задача динамики.Задан закон движения и активные силы, необходимо найти силы реакций связей.

Пример 5.Груз веса , которому в момент времени t₀ = 0 была сообщена некоторая начальная скорость, поднимается по наклонной шероховатой плоскости (рис. 11).

Рис.11 Действие сил на тело, скользящее по наклонной плоскости

Определить величины сил трения и нормального давления , действующих на тело, если известны коэффициент трения о плоскость f и угол наклона α.

Решение.Введем декартовы оси координат, совместив начало отсчета О с положением груза при t = 0. Изобразим груз в произвольном положении и действующие на него силы. Принимая груз за материальную точку, запишем для него второй закон Ньютона

(1)

Проектируя обе части векторного равенства (1) на ось у, имеем

0 = - G cos α + N , (учтено, что ускорение груза параллельно оси х).

Отсюда находим

N = G cos α.

Используя далее закон Кулона, получим силу трения

F_ТР = f N = f G cos α.

Вторая задача динамики.Заданы активные силы, уравнения механических связей, начальное положение точки и ее начальная скорость, необходимо найти закон движения точки и реакции связей.

Вторую задачу динамики рекомендуется решать последовательно в несколько этапов, перечисленных ниже.

1. Рисуют предполагаемую траекторию движения, на которой изображают материальную точку.

2. Рисуют силы, приложенные к точке.

3. Записывают второй закон Ньютона в векторной форме.

4. Выбирают удобную систему координат.

5. Записывают уравнения движения точки в проекциях либо на оси декартовой системы координат, либо на оси естественного трехгранника.

В первом случае все активные силы необходимо выразить через а во втором - через

6. К полученным дифференциальным уравнениям добавляют начальные условия: значения координат и проекций скорости точки в начальный момент времени (с учетом введенной системы координат).

7. Поставленную задачу решают численно или аналитически методами, известными из курса высшей математики.

Решения рекомендуется выполнять, не меняя порядка их следования.

Пример 6.Дополнительно к условиям задачи примера 5 дано, что в момент времени t скорость груза стала равна половине начальной. Найти начальную скорость груза v₀ и путь D, пройденный им за время t.

Решение.Проектируем обе части векторного равенства (1) на ось х. Используя формулы G = mg и F_ТР = G f cos α, получим

= -g (sin α + f cos α).

Общее решение полученного дифференциального уравнения и выражение для скорости груза даются формулами (подробности их получения опущены, а их правильность можно проверить путем дифференцирования)

х = -1/2 g(sin α + f cos α) t² + C₁ t + С₂,

=-g (sin α + f cos α) t+ C_l.

Последние два соотношения должны быть справедливы в любой момент времени t, стало быть, и в начальный момент времени t₀ = 0, и в момент времени t.Соотношения будут удовлетворяться, если в них вместо t, x, dx/dt будут подставлены сначала значения 0, 0, v₀, а затем t,D, v_o /2. После подстановок получим систему четырех уравнений

0 = С₂,

v₀ = С₁,

D = -1/2 g( sin α + f cos α) t² + C₁ t_* + С₂

½ v₀ = g( sin α + f cos α) t + C₁

с четырьмя неизвестными С₁, С₂, v₀. D, решая которую, найдем искомые величины

ПРИЛОЖЕНИЕ А.

(Титульный лист курсовой работы)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ ГЕОЛОГИИ НЕФТЕГАЗОДОБЫЧИ

Кафедра «Прикладная механика»

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1(2)

(Статика, кинематика, динамика)

Вариант №

Выполнил: студент группы АТП 04-01

(Ф.И.О)

Проверил: преподаватель кафедры ТПМ

(Ф.И.О)

ТЮМЕНЬ 2007

ПРИЛОЖЕНИЕ Б.

(Пример оформления контрольного задания)

Задача 1.На рис.Б.1 изображена кинематическая схема механизма, называемого двойным дифференциалом. На кривошипе III, вращающемся вокруг неподвижной оси АВ, свободно укреплен сателлит 1V, состоящий из двух наглухо скрепленных между собой конических зубчатых колес радиусами r₁ =6 см и r₂ = 3 см. Колеса сателлита находятся в зацеплении с двумя коническими зубчатыми колесами I и II радиусами R₁ = 12см и R₂=6см, вращающимися вокруг оси АВ, но с кривошипом не связанными. Модули угловых скоростей колес I и II, вращающихся в одном направлении, соответственно равны ω₁ = 4 с^-1 и ω₁₁ = 8 с^-1. Определить угловую скорость кривошипа III и угловую скорость сателлита 1V относительно кривошипа.

Рис.Б.1 Кинематическая схема механизма по условию задачи

Решение.1. Сателлит IV совершает сложное движение, состоящее из переносного вращательного движения кривошипа III с угловой скоростью ω_е вокруг оси АВ и относительного вращения с угловой скоростью ω_r вокруг оси CD (Рис.Б.1). Необходимо найти скорости ω_е и ω_r. По условию известны модули угловых скоростей колес I и II, поэтому можно найти модули абсолютных (линейных) скоростей точек M₁ и М₂ соприкосновения колес I и II с сателлитом:

υ₁=ω₁ R₁=12*4 = 48 см /с;υ₂ = ω₁₁ R₂=6*8 = 48 см/ с. (Б.1)

Положим для определенности, что колеса I и II вращаются противоположно движению часовой стрелки, если смотреть сверху. Тогда, если смотреть на сателлит справа, векторы υ₁ и υ₂ будут направлены так, как показано на рис.Б.2 При выбранном направлении вращения колес I и II предположим еще, что сателлит IV вращается вокруг оси АВ в том же направлении, что и колеса I, II, а его относительное вращение вокруг своей оси CD совпадает с направлением вращения часовой стрелки, если смотреть справа. Тогда переносные и относительные скорости точек M₁ и М₂ будут направлены так, как показано на Рис.Б.2.

Рис.Б.2 Расчетная схема действия сил, полученная при решении задачи

По теореме о сложении скоростей имеем:

υ_е1 - υ_r1= υ₁ ,υ_е2 + υ_r2= υ₂ , (Б.2)

где υ_е1= ω_е R_1;υ_r1=ω_r r₁;υ_е2=ω₂ R₂;υ_r2=ω_r r₂

Подставляя эти значения в равенства (Б.2), получим:

ω_е R₁ - ω_r r₁= υ_1,,ω_еR₂+ ω_r r₂= υ_2..

Используя исходные данные и ранее найденные значения (Б.1) скоростей v₁ v₂, приходим к системе линейных уравнений относительно искомых угловых скоростей:

или (Б.3)

Решая систему уравнений (Б.3), находим:

ω_е = 6 с^-1, ω_r = 4 с^-1.

Положительные значения угловых скоростей ω_е и ω_r означают, что принятые направления относительного и переносного движений сателлита IV соответствуют действительным.

ПРИЛОЖЕНИЕ В.1

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Обозначение	Наименование	Единица СИ
A a,b,c,h,l С с с D, d е е F FO FТР f G g I Ix, Iy, Iz Ixy,Ixz,Iyz k k L M	Амплитуда колебаний Длина Ускорение Ускорение переносное Ускорение кориолисово Ускорение нормальное Ускорение относительное Ускорение касательное Единичный вектор направления по бинормали Постоянная интегрирования Коэффициент жесткости Постоянная Коэффициент угловой жесткости Диаметр Число 2,7183 Смещение Сила Амплитуда вынуждающей силы Сила трения Пара сил Коэффициент трения скольжения Сила тяжести, вес Ускорение свободного падения Момент инерции относительно оси Моменты инерции относительно координатных осей Центробежные моменты инерции Единичные векторы направления по координатным осям Угловая частота собственных колебаний Коэффициент восстановления Кинетический потенциал Момент пары сил	м м м/с2 м/с2 м/с2 м/с2 м/с2 м/с2 Н/м - Н*м/рад м   м Н Н Н     Н м/с2 кг*м2 кг*м2 кг*м2 - рад/с   Дж Н*м

ПРИЛОЖЕНИЕ В.2

MO (М) Мф m mv (К) N n n n1,n2 P p p Q, (К) Q q q R R R S T T T v ve vr X, Y, Z x,y,z,s z	Главный момент системы сил относительно точки О Момент силы относительно точки О Главный момент сил инерции Масса Количество движения материальной точки Нормальная реакция Единичный вектор направления по главной нормали Частота вращения Частота вынуждающей силы Собственная частота механической системы Сила в зацеплении зубчатых колёс Угловая частота вынуждающей силы Давление Количество движения механической системы Обобщенная сила Интенсивность распределённой нагрузки Обобщённая координата Сила реакции, сопротивления, реактивная Радиус Главный вектор внешних сил Радиус - вектор Радиус, полярный радиус Импульс силы, ударный импульс Кинетическая энергия Период колебаний Время Скорость Скорость переносная Скорость относительная Составляющая сила реакции Координата Число зубьев зубчатого колеса, шестерни	Н*м Н*м Н*м кг кг*м/с Н - об/мин Гц Гц Н рад/с Н/м2 кг*м/с - Н/м - Н м - - м Н*с (кг*м/с) Дж с с м/с м/с м/с Н м -

ЛИТЕРАТУРА

1. ГОСТ2.105 – 95 ЕСКД. Общие требования к текстовым документам.

2. ГОСТ 2.102 – 68 ЕСКД. Виды и комплектность конструкторских документов.

3. ГОСТ 2.106 – 95 ЕСКД. Текстовые документы.

4. ГОСТ 2.109 – 95ЕСКД. Эскизный проект.

5. ГОСТ 2.004 – 88 ЕСКД. Общи требования к выполнению конструкторских и технологических документов на печатающих и графических устройствах вывода ЭВМ.

6. ГОСТ 2.304 – 81 ЕСКД. Шифры чертежные.

7. Сокращение отдельных слов и словосочетаний приводят в соответствие с ГОСТ 7.12 — 93 и ГОСТ 7.11-78.

8. ГОСТ 7.1 - 84 «Библиографическое описание документа. Общие требования и правила составления».

9. ГОСТ2.316 – 68 ЕСКД. Правила нанесения на чертежах надписей, технических требований и таблиц.

10. Методологические основы научных исследований: Учебное пособие. / Под общей редакцией Ю. Д. Земенкова. – Тюмень: Издательство «Вектор Бук». 2005. – 288с.

11. Лачуга Ю.Ф. М. Теоретическая механика : КолосС, 2005. – 576с.

12. Справочник для студентов технических вузов: С74 высшая математика: физика: теоретическая механика: сопротивление материалов / А. Д. Полянин, В.Д.Полянин, В. А. Попов и др. М.: АСТ: Астрель, 2005. – 735с.

13. Молотников В.Я. Основы Теоретической механики. – Ростов н/Д: «Феникс», 2004. – 384с.

14. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике Под ред. А.А. Яблонского. - М.: Интеграл-Пресс, 1998. - 384с.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Правила оформления. 3

2. Методика решения задач статики. 14

2.1 Статически определимые и неопределимые задачи. 20

3. Методика решения задач динамики. 22

ПРИЛОЖЕНИЕ А. (Титульный лист курсовой работы) 25

ПРИЛОЖЕНИЕ Б. (Пример оформления контрольного задания) 26

ПРИЛОЖЕНИЕ В.1, B2 Список основных обозначений физитческих величин 28

Методические указания, по изучению дисциплины «Теоретическая механика» студентами технических специальностей всех форм обучения.

Составитель:Гольцов В.С., доцент, к.т.н.

ЛР№____________от_______________

Подписано к печати Бум. писч.№1

Заказ № Уч. – изд. л.

Формат 60х¹/16Усл. печ. л.____

Отпечатано на RISO GR3750Тираж_____экз.