Исследование дисперсной фазы аэрозоля в приближении сплошной среды

Совокупность (ансамбль) упорядоченно движущихся частиц можно рассматривать как некоторую квазисплошную среду (аэрозольную жидкость), к которой с определенными оговорками применимы уравнения классической гидродинамики. Поле скоростей аэрозольной жидкости описывается уравнением движения, в котором лагранжева производная заменена на эйлерову субстанциональную производную :

(4.1)

Для достаточного мелких частиц (Re<0.5, C_D =24/Re) приближенное решение уравнения движения частиц можно представить в виде:

(4.2)

В частности для поля скоростей среды из частиц, на которые действует только сила тяжести, получим:

, (4.3)

где - скорость гравитационного осаждения. В общем случае стационарное двумерное поле скоростей среды из частиц произвольного размера и формы описывается уравнениями:

(4.4)

Трудности численного решения уравнений в частных производных (4.4) связаны не только с их нелинейностью (коэффициенты F, C_D и Re являются функциями ), но и с неоднозначностью граничных условий для V_x и V_y.

В связи с этим может быть использован другой, алгоритмический метод построения поля скоростей аэрозольной жидкости, основанный на непосредственном интегрировании уравнений движения частиц. Эти уравнения решаются для полного набора начальных положений частицы, соответствующих центрам ячеек, на которые расчетная область разбивается равномерной прямоугольной сеткой. В качестве скорости аэрозольной жидкости в центре каждой ячейки принимается среднее арифметическое значение скоростей всех частиц, попадающих в данную ячейку со всех возможных начальных положений.

Плотность квазижидкости из упорядоченно движущихся частиц, представляющая их массовую концентрацию, подчиняется уравнению неразрывности. Если газ считать несжимаемым , а внешние силы потенциальными ( такими являются сила тяжести и электрические силы), то аэрозольная жидкость будет также несжимаемой, т.е. . В этом случае уравнение неразрывности для частиц можно переписать так:

или в развернутом виде

(4.5)

Линейное уравнение с частными производными первого порядка (4.5) может быть решено методом характеристик. Уравнению (4.5) соответствует система обыкновенных дифференциальных уравнений

которая сводится к системе уравнений движения частицы:

(4.6)

Рассмотрим общее решение системы (4.6):

, ,

Определив постоянные С₁, С₂, С₃ с помощью начальных условий

, ,

получим решение (4.6), определяющее траекторию движения частицы, которая начинается в точке P(x₀, y₀, z₀):

, , (4.7)

Разрешив уравнения (4.7) относительно начальных координат частицы, получим:

, , (4.8)

Подставив уравнение (4.6) и соотношения (4.7) в уравнение (4.5), сведем его к обыкновенному дифференциальному уравнению по t:

(4.9)

Решение уравнения (4.9) в лагранжевых координатах удовлетворяющее начальному условию

имеет вид:

(4.10)

Соотношение (4.10) определяет концентрацию частиц в любой точке траектории их движения (4.7). Для получения поля концентраций частиц необходимо после вычисления интеграла (4.10) перейти к эйлеровым координатам x, y, z с помощью обратного преобразования (4.8). Однако, поле концентраций упорядоченно движущихся частиц можно исследовать и с помощью соотношений (4.10, 4.7), выбрав достаточно густую сетку траекторий движения частиц.

Распространение частиц аэрозоля в турбулентной газовой среде описывается уравнением переноса и диффузии дисперсной фазы, которое в общем случае записывается в виде:

(4.11)

где - тензор коэффициентов турбулентной диффузии. Уравнение (4.11) отражает материальный баланс частиц в бесконечно малом объеме аэрозоля.

Проинтегрировав это уравнение по области W, в которой ищется решение, с помощью теоремы Гаусса получим уравнение баланса массы частиц в этой области:

где

- интенсивность выделения частиц в области W,

- поток частиц через поверхность S, ограничивающую область W,

(4.12)

- плотность потока частиц.

Практическое применение уравнения (4.11) осложнено тем, что до настоящего времени не найдено аналитических выражений коэффициентов турбулентной диффузии частиц. В каждом конкретном случае - для атмосферной турбулентности, для вентилируемых помещений или течений газов в трубах и каналах эти коэффициенты определяются экспериментально и выражаются с помощью эмпирических формул. В частности, установлено что компоненты тензора турбулентной диффузии на твердых стенках обращаются в нуль.

Будем исходить из модели изотропной однородной турбулентности в рамках которой тензор коэффициентов турбулентной диффузии вырождается в константу.

В этом случае уравнение (4.7) принимает вид :

(4.13)

где

Здесь D_t ,D_б - коэффициенты турбулентной и броуновской диффузии частиц.

Результаты экспериментальных исследований показывают, что модель изотропной однородной турбулентности с достаточной для инженерных приложений точностью описывает распределение концентрации частиц в турбулентных потоках.

Так как турбулентная диффузия частиц существенно превосходит их броуновскую диффузию, то для основной части потока будем считать

В пристенных слоях, вследствие затухания турбулентных пульсаций преобладает броуновская диффузия, поэтому

Отметим, что процесс броуновской диффузии захватывает лишь мельчайшие субмикронные частицы. При нормальных условиях для частиц размером d = 1 мкм D_б = 2.4×10^-11. Интенсивность броуновского осаждения частиц на твердые поверхности пренебрежительно мала по сравнению с другими механизмами осаждения.

Уравнение (4.12) необходимо дополнить краевыми условиями, обеспечивающими существование и единственность решения, а также отражающими физические особенности взаимодействия частиц с ограничивающими поверхностями.

Различают следующие виды поверхностей :

1. Абсолютно непоглощающие поверхности, не удерживающие коснувшихся с ними частиц в силу их отскока (рикошета) или сдувания потоком газа. Нормальная составляющая потока частиц на таких поверхностях обращается в ноль.

(4.14)

2. Абсолютно поглощающие поверхности, например, смазанные или орошаемые стенки, которые удерживают все коснувшиеся с ними частицы. Уловленные такими поверхностями частицы можно условно считать прошедшими через них (приближение прозрачных стенок).

3. Промежуточные по поглощающей (удерживающей) способности поверхности.

Вид граничных условий определяется не только свойствами поверхностей, но и размерами частиц. Так, упорядоченный перенос мельчайших частиц к непроницаемым поверхностям обычно очень мал или вовсе отсутствует, а осаждение частиц в результате броуновской диффузии имеет место. Это дает основание принять для вида поверхности следующее граничное условие:

(4.15)

Для сравнительно крупных (инерционных ) частиц абсолютно поглощающие поверхности можно рассматривать как условно проницаемые (прозрачные), а поток дисперсной фазы на них - чисто конвективным.

(4.16)

В рамках модели изотропной однородной турбулентности это достигается с помощью граничного условия вида:

(4.17)

На участках поверхности S, через которую аэрозоль входит в область W или выходит из нее (входные и выходные проемы) также принимаем условия (4.16) или (4.17), что позволяет однозначно удовлетворить уравнение материального баланса.

Стенкам, которые лишь частично удерживают коснувшиеся к ним частицы, соответствует граничное условие :

(4.18)

Нормальная составляющая плотности потока частиц на такую стенку равна:

(4.19)

Отсюда следует, что величина a характеризует уменьшение потока частиц на стенку, вызванное их вторичным уносом .

Таким образом, в зависимости от конкретных условий на поверхностях, ограничивающих потоки аэрозоля, могут ставиться граничные условия различных видов: для концентрации частиц, ее нормальной производной или же для плотности потока частиц. В частности уравнение (4.12) имеет единственное решение при следующих наборах граничных условий:

(4.20)

или:

(4.21)

Здесь условия V_n < 0 и V_n > 0 соответствуют упорядоченному переносу частиц поверхность S в область W или из нее через приточные (вытяжные) проемы или поглощающие поверхности, а условие соответствует отсутствию такого переноса.

Физическим условием однозначности решения уравнения (4.12) является выполнение закона сохранения массы газа и примеси.

В трехмерном случае уравнения (4.7) и (4.12) могут быть решены только численно.

В рамках же одно- и двумерных приближений для распределения концентрации частиц можно найти аналитические зависимости, позволяющие с достаточной для инженерной практики точностью решать многие прикладные задачи.