Другие условия закрепления

Рассмотрим случай консольной балки:

Рис. 17.7

Будем пользоваться геометрической аналогией. Эта задача аналогична приведенной ниже:

Рис. 17.8

Правая её половина точно такая же, как рассматриваемая балка, следовательно:

Рассмотрим теперь случай защемления с двух концов:

Рис. 17.9

Здесь только половина балки, а именно её серединная часть изгибается как шарнирная:

Рис. 17.10

Таким образом:

Введем параметр n – число волн, которые образуются при продольном изгибе балки, тогда получим:

Пользуясь этой аналогией, получим еще одну (приближенную) формулу для случая, изображенного на рис. 17.11:

Рис. 17.11

В расчетной практике вместо n используют - коэффициент приведенной длины :

Запишем формулу Эйлера с помощью нового обозначения:

(17.10)

Кроме того, в теории устойчивости вводят параметр:

(17.11)

Здесь - безразмерная величина, являющаяся относительной длиной, называется гибкостью.

Для корня вводят специальное обозначение:

(17.12)

Аналогично,

(17.13)

Величины - называются радиусами инерции сечения.

В новых обозначениях получим:

(17.14)

Это наиболее употребительный вид формулы Эйлера.

Предельная гибкость. Длинный стержень.

Рассмотрим условие применимости формулы Эйлера (17.9):

Подставим сюда (17.14):

Отсюда:

Или:

Обозначим правую часть через:

Таким образом, формула Эйлера применима, если:

То есть, если условная длина достаточно большая, то формула Эйлера применима. Поэтому такие стержни называют длинными.

Формула Ясинского.

Он изучил более 2000 экспериментов и показал, что если , то можно вычислять по формуле:

Это и есть формула Ясинского.

Здесь a и b константы материала. Например, для стали:

Кроме того, для стали предел текучести

Из формулы Ясинского видно, что если очень мал, то

Это означает, что для изгиба стержня-образца требуется больше усилий, чем для того, чтобы сплющить этот образец. Поэтому формула Ясинского справедлива только тогда, когда:

Это условие применимости формулы Ясинского.

Отсюда , или

Если ,

то этот стержень называют стержнем средней длины.

Если же:

,

то стержень называют коротким:

Продольный изгиб

Снова рассмотрим изгиб балки под действием продольной центральной силы Р, но предварительно изогнутой приложенными по концам сосредоточенными моментами m (см. рис. 17.12). Этот момент может быть вызван внецентренным нагружением продольной силой Р, если он имеет эксцентриситет е, то m=Ре.

Рис. 17.12

Уравнение изогнутой оси примет вид

Деля на и принимая уже использованное выше обозначение , решение этого уравнения запишем в виде

Как и при выводе формулы Эйлера, константы В и С отыскиваем из условий закрепления:

(1): на левом краю

(2): на правом краю

Это дает:

(1): на левом краю

(2): на правом краю

Отсюда

(1):

(2):

При Р=Р_кр ,то есть при , имеем

Тогда из выражения для В вытекает, что

Следовательно, при Р→Р_кр получаем неограниченно большие прогибы:

Таким образом, при внецентренном нагружении (или при наличии предварительного изгиба) балка может выдержать продольную сжимающую силу, которая не может быть больше Р_кр

Кручение валов