Момент силы относительно произвольного центра, оси

При рассмотрении пространственной системы сил в определение момента силы относительно точки должны входить величина момента и направление перпендикуляра к плоскости, содержащей линию действия силы и центр момента. Отсюда вытекает следующее определение момента силы:

(1.1)

Рис 4

Рис3

Величина (модуль) момента равен , где α - угол между векторами и . По численной величине момент силы относительно точки равен удвоенной площади треугольника, построенного на силе как на основании и на центре момента как на вершине (рис 3). Вместо удвоенной площади треугольника можно взять площадь параллелограмма со сторонами, равными силе и отрезку , соединяющему центр моментов с точкой приложения силы. Если сила не равна нулю, то момент может обратиться в нуль только тогда, когда линия действия силы проходит через центр момента. Итак, момент силы относительно некоторого центра равен векторному произведению вектор-радиуса точки приложения силы и вектора силы. Точка приложения силы в данном случае не играет ника­кой роли (рис 4). Действительно, если вектор приложен в точке В на той же прямой, то

и

так как векторное произведение . Понятие момента свободного вектора лишено всякого смысла. Заметим, что , где H-кратчайшее расстояние от линии действия силы до выбранной точки О (его часто называют, и не без основания, плечом силы). Тогда можно дать ещё одно определение момента силы. Моментом силы относительно точки назовем вектор, равный по величине произведению силы на кратчайшее расстояние линии действия ее до точки и направленный по перпендикуляру к плоскости, содержащей силу и точку, в ту сторону, откуда, вращение тела силой представляется происходящим против хода часовой стрелки.

Рис 5

Обратимся теперь к определению момента силы относительно оси (рис 5). Спроектируем силу на плоскость П, перпендикулярную к этой оси (отрезок ab), и возьмем момент проек­ции силы относительно точки О (пересечения, для определённости, оси OZ с плоскостью П). Момент силы численно равен удвоенной площади ОАВ. Алгебраическую величину равную произведению проекции на плоскость, перпендикулярную оси и кратчайшего расстояния от линии действия проекции силы до точки пересечения оси и плоскости назовем моментом силы относительно оси, знак будем определять в зависимости от направления вращения силы : со знаком плюс, если для наблюдателя, смотрящего на плоскость с конца оси, вращение проекции силы вокруг точки представится совершающимся против часовой стрелки, и со знаком минус в противоположном случае. Из определения момента силы относительно оси следует, что он может быть равным нулю в двух случаях:

1) если линия действия силы пересекается с осью и

2) если линия действия силы парал­лельна оси, т.е.- если сила и ось лежат в одной плоскости.

Приняв указанное определение момента силы относительно оси, легко показать, что проекция вектора момента силы относительно некоторой точки на ось, проходящую через точку, равна моменту силы относительно этой оси.

Для доказательства заметим, что модуль вектора момента силы относительно точки О (рис.5) равен двум площадям треугольника ОАВ - , а момент силы относительно оси ОZ равен, по определению, двум площадям треугольника Оав - , но cosα= , так как угол α между вектором и осью ОZ равен углу между плоскостью перпендикулярной вектору момента силы и плоскостью П, а площадь есть проек­ция площади ; следовательно , что и требовалось доказать. Полученный результат позволяет, там, где необходимо, считать момент силы относительно оси и не считать проекцию вектора момента силы на ось.