Полный набор совместно наблюдаемых величин
Совместно наблюдаемыми величинами называются величины, которые можно одновременно измерить. Совокупность операторов образует полный набор совместно наблюдаемых величин, если выполняются условия коммутативности (
для всех
, взаимной независимости (ни один из операторов
не может быть представлен в виде функции от остальных, полноты (не существует оператора, коммутирующего со всеми
и не являющегося функцией от них). Для данного набора величин пространство состояний может быть реализовано как пространство функций
со скалярным произведением:
Операторы являются операторами умножения на соответствующие переменные:
Совместное распределение значений наблюдаемых:
БИЛЕТ 8
1 http://pskgu.ru/ebooks/mespdf1/ms172.pdf
2 2 Наиболее общая форма уравнения Шрёдингера — это форма, включающая зависимость от времени:
Зависящее от времени уравнение (общий случай) ![]() |
где — гамильтониан.
Пример нерелятивистского уравнения Шрёдингера в координатном представлении для точечной частицы массы , движущейся в потенциальном поле c потенциалом
:
Пример зависящего от времени уравнения Шрёдингера ![]() |
В данном примере гамильтониан .
В квантовой физике вводится комплекснозначная функция , описывающая чистое состояние объекта, которая называется волновой функцией. В наиболее распространённой копенгагенской интерпретации эта функция связана с вероятностью обнаружения объекта в одном из чистых состояний (квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности)[15][16] . Поведение гамильтоновой системы в чистом состоянии полностью описывается с помощью волновой функции.
Отказавшись от описания движения частицы с помощью траекторий, получаемых из законов динамики, и определив вместо этого волновую функцию, необходимо ввести в рассмотрение уравнение, эквивалентное законам Ньютона и дающее рецепт для нахождения в частных физических задачах. Таким уравнением является уравнение Шрёдингера.
Пусть волновая функция задана в n-мерном конфигурационном пространстве, тогда в каждой точке с координатами , в определенный момент времени t она будет иметь вид
. В таком случае уравнение Шрёдингера запишется в виде:
где ,
— постоянная Планка;
— масса частицы,
— внешняя по отношению к частице потенциальная энергия в точке
в момент времени
,
— оператор Лапласа (или лапласиан), эквивалентен квадрату оператора набла и в n-мерной системе координат имеет вид:
БИЛЕТ 9
1 Всю квантовую механику можно вывести исходя из 3 простых принципов:
1. Принцип относительности измерений. Результат измерения физической величины зависит от процесса измерения. Т. е. на языке операторов наблюдаемая физическая величина - это собственное значение оператора соответсвующей физ. величины.
2. Принцип неопределенности Гейзенберга. Координаты и импульс невозможно точно измерить одновременно.
3. Константа, определяющая связь классических и квантовых скобок Пуассона равна i/h, где i - мнимая единица, h - циклическая постоянна Планка. Этот принцип экспериментальный, т. к. значение h может быть получено путем сравнения собственных значений оператора энергии на соответсвующих уровнях.
2 Тензорное произведение — операция над линейными пространствами, а также над элементами (векторами, матрицами, операторами, тензорами и т. д.) перемножаемых пространств.
Тензорное произведение линейных пространств и
есть линейное пространство, обозначаемое
. Для элементов
и
их тензорное произведение
лежит в пространстве
.
Обозначение тензорного произведения произошло по аналогии с обозначением для декартова произведения множеств