Необходимые и достаточные признаки симметрии
Рассмотрим математическую формулировку преобразований симметрии.
Введем некоторый оператор , который действует на любое состояние системы
по правилу:
,
где - новое состояние системы.
И потребуем, чтобы обратное преобразование переводило систему обратно в исходное состояние, т.е.
.
Таким образом, из этих соотношений следует, что , т.е. произведение
и
есть тождественное преобразование.
Все операции в квантовой механике инвариантны относительно этого преобразования. Рассмотрим оператор :
и подействуем на это выражение оператором
:
.
Если на систему еще подействовать тождественным оператором , то мы получаем такое выражение:
.
Обозначим оператор и тогда получим выражение:
.
Таким образом, любое соотношение между физическими величинами после преобразования не меняет вид:
.
Найдем класс преобразований, которые оставляют без изменения измерения. Для этого выясним вид оператора, при котором амплитуда вероятности оставалась бы без изменений. Потребуем, чтобы . Подробнее рассмотрим
:
.
Таким образом, из рассмотренного соотношения вытекает, что данное преобразование оставляет амплитуду вероятности неизменной, если равен единичному оператору, т.е.
.
А это есть унитарное преобразование.
При унитарном преобразовании эрмитовский оператор переходит в эрмитовский. Покажем это. Пусть - эрмитовский оператор. Докажем, что после унитарного преобразования
тоже будет эрмитовским оператором. Здесь
. То есть нужно доказать тот факт, что если
, то после преобразования должно получиться
.
.
Унитарное преобразование есть преобразование симметрии данной физической системы, если после преобразования не меняются уравнения физической системы.
Будем исходить из уравнения Шредингера:
.
Определим класс преобразований :
, не меняющих это уравнение, то есть нужно посмотреть, при каких условиях преобразование
переводит уравнение Шредингера для вектора
в уравнение такого же вида только для вектора
.
Для этого подействуем на уравнение Шредингера оператором :
Таким образом, у нас есть два условия (необходимое и достаточное), при выполнении которых преобразование есть преобразование симметрии:
1)
2)
Микроскопическая обратимость во времени
В квантовой механике
Введем оператор обращения во времени, действующий по закону:
.
Вектор комплексный, и мы можем ввести оператор
комплексного сопряжения:
.
Запишем новый оператор . И теперь, если к оператору
применить необходимое и достаточное условия, то он будет считаться преобразованием симметрии. А отсюда следует, что уравнения движения инвариантны относительно обращения во времени.
Таким образом, все физические величины делятся на два класса: которые меняют знак при обращении времени (например, скорость, импульс) и которые не меняют (например, координата, кинетическая энергия).