Пример решения задачи №1 контрольного задания

Задана двухпролетная шарнирная балка и действующая на нее нагрузка(Рис.2.14)

Рис.2.14

Требуется

1.Построить эпюры М и Q.

2.Построить линии влияния R _B ,М _К и Q _К для сечения к и определить по ним опорную реакцию R _В ,М _К, и Q _К от заданной нагрузки.

1. Построение эпюр М и Q.

1.1 Выделяя "главные балки" (АВ и ДЕ) и "второстепенную" (СД),строят "поэтажную схему"(рис.2.15)

Рис.2.15

1.2 Начинают расчет с балки верхнего этажа (рис.2.16)

Балка CD/

Силу F₂ при расчете балки СД не учитываем, так как она на изгиб балки не влияет. Равномерно распределенная нагрузка оказывает одинаковое давление на опоры С и D. Поэтому

V _C = V _D = ql/2 = 2,4 ^. 3/2=3,6 kH

Нужно твердо знать формулу для вычисления изгибающего момента в середине пролета равномерно загруженной балки

M _max = ql²/8 = 2,4 ^. 3²/8 = 2,7 кНм.

Рис.2.16

1.3 Последовательно рассчитывают балки нижнего этажа.

Балка АВ (рис.2.17)

Рис.2.17

Опорные реакции определяют из условий равновесия

На конце левой консоли действует сосредоточенная сила равная сумме двух сил: силы F₂ = 2 кН и перевернутой опорной реакции балки верхнего этажа V_с = 3.6 кН.

S М _B =0; -6-14 ^.2 + V _A 4 + (2+3,6) ^.1,5=0

V _A = 6,40 кН;

M_A = 0: - 6 +14 -V_B + 5,6 =0

V _B = 13.20 kH

Проверка

Sy=0; 6,40-14 + 13,2-(2+3,6) = 19,6 – 19,6 = 0

Подсчитывают М и Q в характерных сечениях. Изгибающий момент М в каком либо сечении равен сумме моментов всех сил, действующих по одну сторону от этого сечения. Поперечная сила в каком либо сечении равна сумме проекций на нормаль к оси балки всех сил, лежащих по одну сторону от этого сечения.

М_A=- 6 кНм, М^{cередина пролета АВ} =- 6+6,4 ^.2 = 6,80 кНм;

М_К = - 6+ 6,4 - 14 3кНм М_B= - (2+3,6)^.1,5 = - 8,40 кНм.

Q ^прав _A = V _A =6,40кН, Q ^прав_{серед.пролета АВ} =V _A = 6,40кН;

Q ^лев_{середина пролета АВ} = 6,40-14 = -7,60кН; Q_K = 6,4 – 14 = - 7,60 кН

Q ^прав _B =-7,60+13,20=5,6 кН

Эпюру изгибающих моментов строим со стороны растянутых волокон и знаков можно не ставить. На эпюре поперечных сил знаки ставят обязательно.

Балка DE (рис.2.18)

Эпюры внутренних усилий М и Q в консольной балке удобно строить, начиная со свободного конца консоли, не определяя опорных реакций.

Рис.2.18

На участке, где действует равномерно распределенная нагрузка, моменты можно вычислять в трех точках: по концам и в середине участка. При вычислении изгибающего момента равномерно распределенная нагрузка заменяется равнодействующей.

М _D =0

М^{середине} консоли =-3,6 ^.1,25 - 2,4 ^.1,25 ^.0,625=- 6,375 кНм

М _E =-3,6 ^.2,5-2,4 ^.2,5 ^.1,25=- 16,50 кНм

Q _D =-3,6 кН

Q _E =-3,6-2,4 ^.2,5=-9,6 кН.

Составляя эпюры, построенные для отдельных элементов, изображая ординаты в одном, удобном масштабе, строят окончательные эпюры М и Q.(Рис.2.19)

Рис.2.19

2. Построение линий влияния и определение по ним V _В, M _k и Q _k от

заданной нагрузки.

Ориентируясь на «поэтажную» схему строят л.в. для балки АВ, а затем учитывают влияние верхнего этажа СD (рис.2.20).

Построение л.в.М_л. на основной балке АВ.

1. На левой опоре вверх откладывают отрезок длиной, равной расстоянию от опоры А до сечения к.
2. Конец отрезка соединяют с правой опорой.
3. На полученную линию сносят сечение.
4. Точку пересечения соединяют с левой опорой.5
5. Левую и правую ветви л.в. продолжают до конца левой и правой консольной части балки

Если единичный груз находится на верхнем этаже, то давление на основную балку передается только через опору С. Когда груз расположится на опоре D, то опорная реакция V_c будет равна нулю и основная балка выключается из работы.. Поэтому влияние верхнего этажа на расчетные усилия в сечении к отражается прямой, соединяющей конец отрезка (ординаты) л.в. в точке С с точкой D.

На участке DE ординаты обеих л.в.равны нулю: нагрузка, действующая на нижнем этаже не влияет на напряженное состояние другого нижнего этажа (АВ)

Линии влияния М и Q показаны на рис.2.20.

Рис.2.20

Определение М_k и Q_k по линиям влияния.

По правилам, изложенным на стр. 22-23, найдем расчетные величины усилий в сечении к от нагрузки, изображенной на рис.2.14.

Сосредоточенные силы умножаем на ординаты л.в. под этими силами, интенсивность нагрузки q умножаем на площадь л.в. под нагрузкой и сосредоточенный момент - на тангенс угла наклона л.в. к оси балки в месте приложения момента.

M _k = - 6 ^. 0,3 / 0,8+14 ^. 0,75+2 (-0,9375)+2,4 (-0,9375 ^. 3/2) = 3,0 kHм

Q _k =-6 (-0,2 / 0,8) + 14 (-0,5) + 2 (-0,375) + 2,4 (-0,375 ^. 3/2) = - 7,6 kH

Сравнивая полученные значения с величинами , полученными при построении эпюр, убеждаемся в их полном совпадении.