Закон радиоактивного распада

Пусть некоторое радиоактивное вещество содержит в себе N атомов с неустойчивыми ядрами. Закон N=N(t) изменения числа радиоак­тивных ядер с течением времени можно установить следующим образом. Пусть dN есть приращение функции N = N(t), которое она получила за время от некоторого момента t до t + dt. Так как эта функция является убывающей, ее приращение dN < 0. Поэтому число ядер, которые испы­тали за время dt радиоактивный распад, равно - dN. Очевидно, что это число должно быть пропорционально числу N(t) радиоактивных ядер и времени dt:

- dN = λ N dt. (23.9)

Коэффициент пропорциональности λ называется постоянной распада. Каждое радиоактивное вещество характеризуется своей постоянной рас­пада. Уравнение (23.9) есть дифференциальное уравнение с разделяю­щимися переменными, т.е. его можно записать в виде

Интегрирование этого равенства приводит к зависимости

N ( t ) = N₀ e ^–λt (23.10)

которая выражает собой закон радиоактивного распада. В этой формуле N_o - постоянная интегрирования, которая равна числу радиоактивных ядер, имевшихся в веществе в момент времени t = 0.

Найдем отношение чисел N(t) и N(t + Т) радиоактивных ядер в мо­менты времени t и t + Т:

Если это отношение равно 2, то промежуток времени Т называется пе­риодом полураспада:

e^λT = 2 (23.11)

По определению период полураспада есть время, в течение которого ко­личество радиоактивных ядер уменьшается в два раза.

Ядерные реакции

Превращение одного атомного ядра X в ядро У другого химическо­го элемента может происходить не только самопроизвольно, но также при взаимодействии с какой-нибудь частицей а, которую называют бом­бардирующей. Такое превращение называется ядерной реакцией. Кроме ядра У среди продуктов реакции всегда присутствует еще одна (или не­сколько) быстрая частица Ь, которая называется испускаемой. Таким образом, ядерную реакцию условно можно записать так:

X + a → Y + b,или X ( a, b ) Y

В качестве частиц а и b в ядерной реакции могут участвовать нейтрон n, протон р, ядро тяжелого водорода ²₁Н - дейтон, а-частица или γ-квант.

Ядерная реакция может произойти только в том случае, когда частица а подлетает к ядру X так близко, что между ними начинают действовать ядерные силы. Незаряженные частицы, например нейтроны, могут про­никать в атомные ядра, обладая любой кинетической энергией. Так как атомное ядро X имеет положительный заряд, для осуществления ядер­ной реакции с положительно заряженной частицей а необходимо, чтобы эта частица обладала достаточно высокой кинетической энергией для преодоления кулоновских сил отталкивания. Пучки заряженных частиц с энергией, достаточной для проникновения в атомные ядра, получают в специальных устройствах, называемых ускорителями, где заряженные частицы приобретают высокие энергии, двигаясь в сильных электриче­ских и магнитных полях. В лабораторных условиях ядерные реакции протекают при падении потока частиц на мишень, которая обычно пред­ставляет собой очень тонкую пластинку, изготовленную из исследуемого вещества.

Первая ядерная реакция была осуществлена при облучении азота а-частицами от радиоактивного источника. При этом некоторые ядра азо­та превращались в ядра кислорода и испускали протон. Эта реакция описывается уравнением

или

При бомбардировке атомов лития искусственно ускоренными прото­нами была вызвана ядерная реакция

, или

Следует отметить, что во всех ядерных реакциях сохраняются числа ну­клонов и заряд частиц.

При взаимодействии любых частиц должны выполняться законы со­хранения импульса и энергии. Не должны быть исключением и взаи­модействия частиц в ядерных реакциях. Закон сохранения импульса в ядерной реакции (23.12) выражается равенством

, (23.13)

где , , , и - импульсы частиц X, а, Y и b соответственно. Закон сохранения энергии с учетом выражения (23.3) можно записать так:

M_X c² + T_X + m_a c² + T_a = M_Y c² + T_Y + m_b c² + T_b (23.14)

где M_X , T_X , m_a, T_a , M_Y , T_Y, m_b, T_b ~ массы покоя и кинетические энергии частиц, участвующих в реакции.

Разность Q кинетических энергий частиц-продуктов реакции и частиц, вступающих в реакцию,

Q = T_Y + T_b - T_X -T_a , (23.15)

называется энергией реакции. Используя эту величину, уравнение (23.14), выражающее закон сохранения энергии, можно преобразовать к виду

T_X + T_a + Q = T_Y + T_b, (23.16)

где

Q = ( M_X + m_a – M_Y – m_b ) c² (23.17)

Как видно из этой формулы, энергия реакции является ее энергетиче­ской характеристикой. Зная массы покоя частиц, участвующих в ре­акции, можно вычислить энергию реакции по формуле (23.17). Реак­ции, для которых энергия Q > 0, называются экзотермическими. Из равенства (23.15) следует, что для таких реакций суммарная кинетиче­ская энергия продуктов реакции выше кинетической энергии исходных частиц. Это означает, что после реакции внутренняя энергия и темпера­тура вещества повышаются. В таком случае говорят, что реакция идет с выделением тепла, которое приводит к нагреванию вещества. Экзотер­мические ядерные реакции используют для получения тепловой энергии с целью дальнейшего ее превращения в электрическую энергию.

Потенциальный барьер при а-распаде шубин

Поле ядра соколов стр 537

Капельная модель ядра

Одной из задач ядерной физики является объяснение эксперименталь­но установленной зависимости удельной энергии связи е нуклонов в ядре от массового числа А. Удовлетворительное объяснение этой зависимо­сти можно получить при помощи капельной модели ядра. Согласно этой модели под действием ядерных сил нуклоны в ядре расположены так близко друг к другу, что ядро становится похожим на каплю жидкости. Найдем зависимость радиуса R ядра от массового числа А. Пусть v -объем одного нуклона. Если представить себе ядро как шар из плотно прилегающих друг к другу нуклонов, то его объем будет приближенно равен произведению числа нуклонов в ядре на объем одного нуклона:

И.з этого равенства вытекает соотношение

R ~ А^1/3 (23.18)

которое согласуется с результатами измерений радиусов атомных ядер. Пусть е есть средняя энергия связи одного нуклона в ядре, обусло­вленная действием ядерных сил. Эту величину будем считать одинако­вой для всех ядер. Таким образом, в первом приближении энергия связи будет

E_cв

Е_св~ёА. (23.19)

Эту формулу можно сделать более точной следующим образом. Нукло­ны, расположенные у поверхности ядра, имеют в своем окружении мень­шее число частиц, чем нуклоны внутри ядра. Поэтому эти поверхност­ные нуклоны слабее связаны с ядром и энергия связи, приходящаяся на один такой нуклон, должна быть более низкой. Таким образом, среднюю энергию связи (23.19) следует уменьшить на величину, пропорциональ­ную числу поверхностных нуклонов, которое, в свою очередь, пропорцио­нально площади поверхности ядра. В силу зависимости (23.18) площадь поверхности ядра

4 π R² ~ A^2/3

В результате получим более точную формулу

E_cв = A – k₁ A^2/3 , (23.20)

где k₁ - коэффициент пропорциональности. Эту формулу также можно уточнить, если еще учесть энергию кулоновского отталкивания протонов. Энергия взаимодействия двух протонов определяется выражением

где r - расстояние между этими протонами. Потенциальная энергия вза­имодействия всех Z протонов ядра равна произведению средней энергии взаимодействия пары протонов на число

пар протонов в ядре. Так как среднее расстояние между протонами пропорционально радиусу R ядра, энергия кулоновского взаимодействия протонов будет пропорциональна выражению

~ A^5/3

где учтено, что для стабильных ядер

Кулоновское отталкивание протонов делает ядро менее устойчивым и уменьшает энергию связи. Поэтому с учетом энергии кулоновского вза­имодействия протонов выражение (23.20) следует изменить так, чтобы энергия связи стала

E_cв = A – k₁ A ^2/3 – k₂ A^5/3 (23.21)

где k₂- еще один коэффициент пропорциональности. Эта формула при­водит к зависимости удельной энергии связи нуклонов в ядре от массо­вого числа

ε ( A ) = - k₁ A^-1/3 – k₂ A^2/3 (23.22)

которая качественно правильно описывает аналогичную эксперимен­тальную зависимость ε = ε ( A ).

Деление тяжелых ядер

Рассмотрим реакцию самопроизвольного распада ядра X на два ядра Y₁и Y₂ :

X → Y₁+ Y₂.

По определению (23.17) энергия этой реакции

Q = ( M – M₁ – M₂) c² , (23.23)

где М, M₁ и М₂ - массы ядер X, Y₁ и Y₂ соответственно. Энергии связи нуклонов в этих ядрах таковы:

,

где i = 1, 2;

и есть суммы масс нуклонов, входящих в

состав ядер X , Y₁и Y₂ . Так как ядра Y₁ и Y₂ формируются из тех же самых нуклонов, из которых состояло ядро X, справедливы равенства

и A = A₁ + A₂

где A, А₁ и А₂ - массовые числа ядер X, Y₁ и Y₂.

С учетом записанных соотношений преобразуем формулу (23.23) к виДУ

Выразим энергии связи ядер через соответствующие значения удельной энергии связи:

В результате придем к следующему выражению для энергии реакции распада ядра:

Q = A₁ε ( A₁) + A₂ ε ( A₂) - ( A₁ + A₂) ε ( A₁ + A₂) ≡

≡ A₁ (ε ( A₁) – ε ( A₁ + A₂) + A₂ (ε ( A₂) – ε ( A₁ + A₂) (23.24)

Как следует из этой формулы, энергия реакции распада ядра будет по­ложительной, если справедливы неравенства

ε ( A₁) > ε ( A₁ + A₂) A₂ (ε ( A₂) > ε ( A₁ + A₂)

Эти неравенства выполняются, когда функция ε = ε ( A )убывает при уве­личении массового числа А. Таким свойством обладают удельные энер­гии связи нуклонов в тяжелых ядрах. Поэтому реакция распада тяже­лого ядра является экзотермической. Ее осуществляют в специальных ядерных реакторах, которые используются на атомных электростанциях как источники тепловой энергии.