Статика деформируемых прямых стержней

Целью настоящей главы является изучение равновесия дефор­мируемого твердого тела, т.е. такого тела, у которого расстояние между двумя произвольными точками может изменяться. Изучение равновесия деформируемого твердого тела будет рассматриваться как следующая модель равновесия абсолютно твердого тела, так как таких тел, в силу самого определения, в природе нет. При этом необходимо напомнить известный принцип затвердевания: если де­формируемое твердое тело (в дальнейшем ДТТ) находится в рав­новесии, то при затвердевании его равновесие не нарушится. По­лезна еще следующая формулировка принципа затвердевания: в число условий равновесия ДТТ входят условия равновесия того абсолютно твердого тела, которое образуется из данного ДТТ при его затвердевании. Из этой формулировки следует, что уравнения равновесия системы твердых тел являются необходимыми, но не достаточными условиями равновесия деформируемой системы тел.

Главным методом изучения статики ДТТ является метод се­чений. Этот метод предполагает возможность разделения тела некоторым сечением на 2 части без изменения состояния каждой из частей, если эффекты их взаимодействия заменить непрерывно распределенными по сечению внутренними силами — напряжения­ми. Равновесие деформируемых твердых тел будем рассматривать на примере равновесия тонких прямых стержней. Тонкими стерж­нями называются стержни, у которых размеры поперечного сече­ния весьма малы по сравнению с его длиной. Важным понятием для дальнейшего рассмотрения является определение оси стержня. Проведем несколько сечений в стержне и определим их центры. Соединим их, при этом получим некоторую ломаную кривую. Если эти сечения проводить очень близко друг к другу, то получим не­прерывную линию — ось стержня. Линия, соединяющая центры сечений стержня, назовем осью стержня. Очевидно, что у прямого стержня ось — прямая, линия. Если сечение проведено перпенди­кулярно к оси, то напряжения перпендикулярные сечению стержня будем называть нормальными напряжениями и обозначать их бу­квой , а напряжения, действующие в плоскости сечения, - касательными напряжениями и обозначать буквой τ . Размерности напряжений . Изменение расстояния между частицами тела, изменение формы и размеров тела назовем его деформациями. Введем еще два важных положения:

1. Гипотеза плоских сечений. Будут рассматриваться такие задачи, в которых сечение, проведенное перпендикулярно оси недеформированного стержня, останется плоским и после деформации.

2. Принцип Сен - Венана. По нему предполагается, что можно детально не рассматривать характер приложенных нагрузок на расстоянии, достаточно удаленном от области их приложения. Этим утверждается, что вид нагрузки влияет на распределение напряже­ний и деформаций только в достаточно малой области приложения конкретной нагрузки.

Дифференциальные уравнения равновесия стержня

Выделим из стержня элемент длины dz и заменим действие на него отброшенных частей слева и справа силой, равной главному вектору и парой сил с моментом, равным главному моменту системы сил, приложенных в соответствующем сечении (согласно теореме

Пуансо). Слева будут а спра­ва . Кроме того, на стержень может действовать распределенная нагрузка q{z) (рис. 68 ). При равновесии должны выполняться условия; главный вектор и главный момент системы сил долж

Рис 68 ны равняться нулю. Из него следует

,

После сокращений и отбрасывания слагаемых более чем первого порядка малости получим два векторных уравнения равновесия

В проекциях на оси координат 0XYZ получим систему из 6 уравне­ний

,

(6.4)

Отличие полученных уравнений ДТТ (6.4) от уравнений равновесия для твердого тела очевидно: необходимо решать систему из шести дифференциальных уравнений. Так как рассматривается прямолинейный стержень, то все силы зависят только от одной координаты z. В более сложных задачах получаются уравнения в частных производных, зависящих и от других координат. С математической точки зрения, стержень представляет собой объект, в котором задача отыскания напряжений сводится к определению сил и моментов, связанных с точками оси стержня, они зависят от положения точки на оси стержня - одной координаты, в нашем случае Z. Более того, будем предполагать, что все внешние силы приложены к точкам оси стержня.

Уравнение характеризует растяжение стержня, уравнение — кручение стержня. Система уравнений

определяет изгиб стержня в плоскости YQZ, система уравнений

— изгиб в плоскости X0Z.