Частица в двумерном ящике

Волновая функция и операторы физических величин.

В квантовой механике состояние системы характеризуется волновой функцией . Физический смысл волновой функции заключается в том, что величина определяет плотность вероятности обнаружить частицу в точке x в момент времени t. Волновая функция нормируется согласно условию:

,

где интеграл берется по всей области определения функции.

В квантовой теории каждой величине ставится в соответствие оператор. Например, оператор координаты – умножение на x, т.е. . Оператор импульса вводится так:

Оператор кинетической энергии:

,

где m – масса частицы.

Оператор потенциальной энергии:

.

Важную роль в квантовой механике играет оператор полной энергии (гамильтониан):.

.

В состоянии, описываемом волновой функцией , измеряемые физические величины не имеют точно определенных значений. Это означает, что при проведении физического эксперимента по измерению какой-либо физической величины A могут быть получены различные значения. Поэтому будем говорить о среднем значении физической величины A. Оно может быть определено с помощью волновой функции, характеризующей состояние , по следующему закону:

где черта означает усреднение по квантовому состоянию. Например,

Рассмотрим определение средних значений физических величин на конкретном примере гауссового пакета:

Тогда получим:

Таким образом, волновая функция соответствует частице, локализованной вблизи точки и обладающей x-проекцией импульса, равной .

В частном случае

Она описывает неподвижную точку частицу, локализованную вблизи начала координат

Дисперсия физической величины. Соотношение неопределенностей Гейзенберга.

Введем понятие дисперсии физической величины A в состоянии .

Определим дисперсию как результат усреднения оператора по волновой функции состояния:

Величина есть неопределенность величины A в данном состоянии и характеризует среднеквадратичное отклонение от среднего значения при измерении величины A.

Например:

Т.о. частица локализована вблизи точки в области , а неопределенность ее импульса

Из этих соотношений получаем:

Это частный случай соотношения неопределенностей Гейзенберга. При любом другом виде мы бы получили

Определим среднее значение кинетической энергии в состоянии, описываемом выражением :

Отметим прежде всего, что , как можно было ожидать с классической точки зрения. Более того, если , то получим , т.е. среднее значение кинетической энергии частицы отлично от нуля даже для неподвижной частицы. Физическая причина этого заключается в неопределенности импульса частицы. Причем, чем меньше область локализации частицы, тем больше величина дисперсии . Это и приводит к увеличению средней кинетической энергии с уменьшением .

Собственные значения и собственные функции операторов физических величин.

Может ли оказаться так, что в заданном состоянии некоторая физическая величина имеет точно определенное значение? Да, может.

Для этого необходимо, чтобы волновая функция была собственной функцией оператора , т.е.

Действительно, для состояния , удовлетворяющего этому уравнению, имеем:

т.е. для волновой функции, являющиеся собственной функцией оператора , дисперсия физической величины A равна 0. Это означает, что физическая величина A имеет точно определенное значение, совпадающее с собственным значением оператора A, соответствующим собственной функции .

Рассмотрим свободное движение частицы.

В данном случае = = , т.е. оператор Гамильтона совпадает с оператором кинетической энергии.

Задача заключается в решении уравнения:

Вводя величину , перепишем уравнение в виде:

откуда находим:

Как видно, собственные функции оператора Гамильтона свободного движения частицы совпадают с собственными функциями оператора импульса, причем собственные значения операторов и связаны обычным соотношением . Этот результат можно сформулировать иначе: мы определили состояние, в котором могут быть точно определены E и p одновременно.

Общее решение уравнения

может быть записано в виде

Как видно, это решение есть суперпозиция двух состояний, характеризующиеся импульсами и

Определение собственных значений оператора

:

Отсюда находим:

Однако волновая функция такого вида не может описывать какое-либо реальное состояние частицы, т.к. она не может быть нормирована. С физической точки зрения задание состояния означает, что частица равномерно «размазана» по всему пространству, т.е. неопределенность её положения в пространстве неограниченно велика. Именно и это утверждает соотношение неопределенностей. Поэтому:

Нестационарное уравнение Шредингера.

До сих пор, изучая свойства квантовомеханической системы, мы предполагали, что волновая функция, описывающая её состояние, известна. Перейдем к вопросу о том, как определить состояние системы его эволюцию во времени.

В классической механике состояние частицы задается её координатой и скоростью. Причем, если известны значения этих величин в начальный момент времени , т.е.

,

,

с помощью уравнений Ньютона

(здесь V(x) – внешнее потенциальное поле) мы можем определить эволюцию системы во времени.

В квантовой теории такой подход оказывается неприемлемым с самого начала. Действительно, одновременное точное задание координаты и скорости частицы, как этого требует классическая теория, является невозможным, поскольку противоречит соотношению неопределенностей. С другой стороны, поскольку состояние системы однозначно характеризуется волновой функцией , в квантовой механике для описания движения мы должны определить ее эволюцию во времени. В общем случае, волновая функция может быть определена из нестационарного уравнения Шредингера:

,

где

– гамильтониан.

Уравнение

должно быть дополнено начальным условием вида

С физической точки зрения поставленная задача означает, что если известна волновая функция системы в начальный момент времени, решив уравнение Шредингера, мы можем определить состояние системы в любой другой момент времени.

Стационарное уравнение Шредингера.

Рассмотрим важный частный случай решения уравнения Шредингера. Пусть потенциал V не зависит от времени, т.е. . Попробуем решить задачу методом разделения переменных: будем искать решение уравнение в виде:

.

Подставляя это выражение в

,

получим:

,

где штрих означает дифференцирование функций и по своим аргументам.

Заметим, что левая часть этого равенства есть функция времени и не зависит от координаты x, в то время как правая, наоборот, зависит от x и не зависит от t. Поскольку

должно выполняться при любых x и t, мы приходим к выводу, что левая и правая части есть константы, не зависящие от x и t. Обозначим её буквой E, запишем:

,

откуда находим

.

Для пространственной части волновой функции получим следующее уравнение:

,

или вспоминая, что

,

,

т.е. задачу на собственные значения и собственные функции оператора Гамильтона. Состояния, описываемые собственными функциями гамильтониана, называются стационарными.

Уравнение

,

описывающее спектр энергетических состояний системы, называется стационарным уравнением Шредингера.

Как видно, волновая функция стационарного состояния имеет общий вид

,

где E – энергия стационарного состояния.

В таких состояниях плотность вероятности не изменяется во времени (поэтому такие состояния и называются стационарными).

Действительно из

получаем:

Подведем итог: полученные результаты означают, что если система в начальный момент времени находилась в одном из стационарных состояний (т.е. её волновая функция имела вид

,

где – собственная функция гамильтониана), то эволюция системы во времени описывается выражением

,

где E – собственное значение гамильтониана (энергия), соответствующее собственной функции . При этом не только плотность вероятности, но и средние значения всех измеряемых физических величин от времени зависеть не будут.

Если же начальное состояние системы от времени, для изучения эволюции системы необходимо решать нестационарное уравнение Шредингера.

Рассмотрим стационарные состояния, описывающие свободное движение частицы. Отметим, прежде всего, что сама такая постановка вопроса выглядит на первый взгляд несколько странной, поскольку с классической точки зрения движение частицы (материальной точки) есть существенно нестационарный процесс, за исключением случая, когда её скорость равна нулю. Тем не менее, волновая функция стационарного состояния, описывающая свободное движение, имеет вид:

,

где p – импульс частицы, а – её энергия.

Прямой постановкой выражения

в уравнение Шредингера

с легко убедиться, что выражение для является его решением. С другой стороны, волновая функция не может быть нормирована на единицу, что делает невозможным интерпретировать её как плотность вероятности обнаружить частицу в той или иной точке пространства. Действительно из

получаем:

а

Такая ситуация означает, что частица равномерно размазана по всему пространству. Это понятно: ведь в состоянии

точно определена не только энергия E, но и импульс p. А в этом случае соотношение неопределенностей не позволяет сказать что-либо о координате, в которой находится частица. Такая ситуация в принципе несводима к классической картине движения, что существенно затрудняет понимание квантовомеханических законов движения. Тем не менее, сейчас мы установим конкретный физический смысл решения

.

Для этого вычислим плотность тока вероятности в этом состоянии:

,

где – скорость частицы.

Классическое выражение для классического потока частиц имеет вид:

где n – плотность частиц, а – их скорость.

Сопоставление выражений для j и J показывает, что состояние

,

описывающее поток частиц в пространстве с единичной плотностью. В случае если плотность частиц в потоке равна n, мы должны выбрать – функцию в виде:

Одномерное движение волнового пакета во внешнем стационарном поле.

Свободное движение частицы.

В качестве простейшего примера рассмотрим свободное движение (V(x) = 0) частицы в квантовой и классической механике. Уравнение Ньютона в этом случае интегрируется элементарно: , т.е. частица движется прямолинейно и равномерно.

В квантовой теории задача несколько сложнее: мы должны решить уравнение

с начальным условием

.

Для определенности в качестве начального условия выберем волновой пакет гауссовой формы:

Будем искать решение в виде разложения в интеграл Фурье:

Подставляя это выражение в

,

получим уравнение для Фурье-компоненты :

Интегрируя, получим:

,

где

,

С_k – постоянная интегрирования, которая должна быть определена из начальных условий.

Разложим начальную волновую функцию в интеграл Фурье. Тогда для коэффициентов разложения получим:

Здесь . Учитывая, что

,

получим:

Заметим, что величина C_k дает распределение импульсов в состоянии . Точнее есть плотность вероятности обнаружить у частицы импульс .

Независимость коэффициента C_k от времени означает, что при свободном движении распределение по импульсам у частицы не изменяется.

Выражение

,

Позволяют еще раз проиллюстрировать соотношение неопределенностей Гейзенберга. Действительно, как видно из выражения для , неопределенность координаты частицы . С другой стороны, из

следует, что основной вклад в волновую функцию вносит часть спектра волновых чисел, для которых

.

Следовательно, независимо от выбора a имеем , что соответствует соотношению

.

Определим, наконец, волновую функцию свободно движущейся частицы. Подставляя в

выражение

и производя интегрирование по , получим:

Проанализируем полученное выражение и сопоставим результаты классического и квантового рассмотрения.

Определим средние значения координаты и импульса в этом состоянии:

,

Как видно, «в среднем» квантовая частица движется также как классическая материальная точка массы m с импульсом . Однако, в отличие от классического случая квантовая частица не имеет определенного значения координаты: она как бы «размазана» около точки с дисперсией

.

При этом плотность вероятности обнаружить частицу в данной точке

пространства есть:

Решение для трех различных моментов времени представлены на рисунке:

Движение гауссового волнового пакета в свободном пространстве

Как видно, волновой пакет в процессе движения сохраняет свою гауссову форму, но расплывается с течением времени. При этом время расплывания есть величина и не зависит от среднего значения импульса частицы. Последний результат можно было получить и, не решая уравнение Шредингера. Действительно, начальный волновой пакет характеризовался разбросом импульсов , или разбросом скоростей

.

Оценивая время расплывания как

,

получим величину

,

что совпадает со строго полученным результатом.

Мы видим, что чем меньше начальная область локализации частицы, тем быстрее происходит ее «расплывание». В то же время, если мы рассматриваем движение частицы на временах

,

то расплыванием описываемого ее пакета можно пренебречь. Если при этом расстояние, проходимое частицей

значительно превышает ширину пакета, т.е.

,

то неопределенностью координаты частицы можно пренебречь и считать, что движение происходит по обычной классической траектории. С другой стороны, при

ширина пакета определяется выражением

Поэтому при выполнении условия для любых моментов времени получим

,

т.е. движение частицы может считаться классическим.

Таким образом, условие

является условием перехода к классическому пределу. Перепишем его в виде

(где – средняя скорость пакета).

Последнее соотношение показывает, что с увеличением массы частицы переход к классическому рассмотрению облегчается.

Барьерные задачи

В данном разделе рассмотрим задачи, в которых потенциал внешнего поля принимает ограниченное значение во всем пространстве.

Прямоугольная потенциальная стенка.

Пусть потенциал V(x) задается следующим выражением:

причем величина V₀ может быть как положительной, так и отрицательной.

Пусть слева на такую потенциальную «ступеньку» падает частица с энергией E.

С точки зрения классической механики движение частицы носит строго детерминируемый характер: в случае E>V₀ (при V₀<0 это условие выполнено для всех E) частица пройдет через ступеньку в область x>0. Наоборот, при E<V₀ произойдет отражение частицы. В квантовой механике ситуация может быть не столь однозначной.

Рассмотрение квантовомеханической задачи мы начнем с решения стационарного уравнения Шредингера

Поскольку потенциал V(x) является разрывной функцией, мы должны решить уравнение Шредингера в областях x < 0 и x > 0 и провести «сшивание» полученных решений, исходя из предположения, что в точке разрыва x = 0 волновая функция и ее первая производная непрерывны. С физической точки зрения такие условия означают непрерывность потока вероятности в точке разрыва потенциала.

Проведем рассмотрение поочередно для случаев E>V₀ и E<V₀.

a) E>V₀

Запишем стационарное уравнение Шредингера в областях x < 0 и x > 0 в виде:

где

Общие решения уравнений

записываются в виде:

Волновая функция должна быть ограничена во всем пространстве. Поэтому следует положить . Раньше мы видели, что волновая функция вида

описывает поток частиц с плотностью

и скоростью

,

движущийся в положительном направлении оси x. Поэтому функция в виде

означает, что слева от барьера существует два потока частиц: падающий на барьер и отраженный от него. Определим коэффициент отражения от барьера, как отношение этих потоков:

Для определения коэффициентов A и B проведем «сшивание» функций и в точке x=0. Получим:

Выражая коэффициенты и через (этот коэффициент определят плотность падающего потока), получим:

Тогда

,

а коэффициент прохождения

.

Полученный результат непосредственно следует из выражений для и

.

Действительно:

,

а, следовательно, из непрерывности потока вероятности следует, что , т.е. или . Эти результаты совпадают с результатами классического решения задачи об отражении частицы от потенциальной стенки, высота которой V₀ больше энергии частицы. Тем не менее, характер квантовомеханического решения задачи

принципиально отличен от классического: в квантовой механике существует отличная от нуля вероятность обнаружить частицу в области x > 0. Эту величину можно вычислить так:

Эта вероятность тем больше, чем меньше величина V₀– E, и в случае неограниченно возрастает.

b) E > V₀

Поступая аналогично предыдущему случаю, запишем решение уравнения Шредингера в зонах x < 0 и x > 0 в виде:

где ,

Заметим, что в области x > 0 в общем случае следовало бы записать слагаемые, описывающие волны, бегущие как направо, так и налево. Однако, мы, исходя из физической постановки задачи, предположили, что волна, движущаяся в отрицательном направлении оси x, отсутствует.

Проведя «сшивание» функций и и их производных при x = 0, получим:

откуда:

Определим, наконец, коэффициенты отражения и прохождения частицы:

При этом, как легко увидеть,

R + D = 1.

Полученный нами результат существенно разошелся с результатом, ожидаемым с классической точки зрения. Действительно при E > V₀ мы бы получили , . Однако, в случае классическое и квантовое решение задачи совпадают: разлагая выражения

,

в ряд по малому параметру

,

получим:

Полученные зависимости для классического и квантового случаев приведены на рисунке:

Вероятность прохождения потока частиц через «потенциальную ступеньку» в зависимости от энергии частицы (пунктир – классический результат)

Как видно, существенное отличие результатов наблюдается лишь в достаточно узком интервале энергий частицы вблизи V₀.

Рассмотренная нами стационарная картина процесса неадекватна постановке задачи о движении классической частицы (материальной точки) в поле «потенциальной ступеньки». Действительно, использованное выше представление о потоке частиц с заданной энергией с математической точки зрения означает задание волновой функции в виде плоской волны, т.е. исключает вопрос о локализации частицы в какой-либо области пространства. В результате за рамками рассмотрения остается вопрос о пространственно-временной картине движения частицы в потенциальном поле. Изучение такой картины процесса желательно как с точки зрения прямого сопоставления классического и квантового решения рассматриваемой задачи, так и в связи с невозможностью в рамках традиционного стационарного подхода дать ответ на ряд вопросов, возникающих при изучении явления. Например, было бы интересно увидеть, где локализована частица в «момент» (в процессе) рассеяния и какова длительность этого процесса, как при этом изменяется ее скорость движения, каковы скорость прошедших и отраженных частиц, где и с какой вероятностью мы обнаружим частицу в конкретный момент времени.

Ответ на эти вопросы может дать только решение нестационарного уравнения Шредингера.

Математическая постановка задачи заключается в следующем: мы должны решить уравнение:

,

где потенциал задается выражением 3.1.1, а волновая функция начального состояния

К лабораторным работам. Пакет «NSSE»

Главное меню пакета «NSSE»

Всюду, если это особо не оговаривается, начальное состояние частицы определяется как

,

где – импульс частицы, – ширина начального распределения. При этом вместо величины вводится энергия

,

задаваемая в качестве начального условия.

Число пространственных точек, на которых ищется решение уравнения Шредингера, составляет 64, 128 или 256. Пользователь может ввести числа 1, 2 или 3, что соответствует поиску решения уравнения Шредингера на 64, 128 ли 256 точках.

В процессе демонстрации на экран выводится потенциальных профиль , величина , определяющая распределение плотности вероятности обнаружить частицу в различных точках пространства, другая необходимая информация.

Классическое движение частицы в потенциале моделируется с помощью уравнения