Разложение функций в обобщенный ряд и интеграл Фурье

Применение принципа суперпозиции состояний (см. § 2, п. 4) в квантовой механике тесно связано с разложением функций в ряд или интеграл Фурье. Напомним основные математические положения о разложениях функций. Пусть задана функция φ = φ (k, x), причем k есть дискретно изменяющаяся величина, играющая роль параметра,

а под х понимается совокупность трех координат точки пространства. Если значения k пронумеровать в определенном порядке, то можно рассматривать систему функций, в которой функции можно различать по номеру и писать φ_k (х) вместо φ(k, х), причем k = 1, 2, 3

и т. д.

Система функций φ_k (х) называется ортонормированной, если все функции

φ_k(х) нормированы на единицу и попарно ортогональны.

Условие ортонормированности выражается соотношением

где δ_ik — символ Кронекера (δ_ik = 0 при I /=к и δ_ik =1 при i = k).

Система φ_k(х) называется полной, если не существует функции, ортогональной ко всем функциям системы и не входящей в эту систему.

Допустим, что в интервале а < х < b задана полная ортонормированная система функций φ_k(х). Тогда любая непрерывная однозначная ограниченная и квадратично-интегрируемая в интервале (а, b) функция ψ(х) может быть представлена в виде ряда

, (7.1)

где числа С_к определяются формулой

ь

Они называются коэффициентами Фурье, а ряд (7.1) — обобщенным

рядом Фурье. Этот ряд в указанном интервале сходится, и сходится к

функции г|> (х) (за исключением конечного числа изолированных

точек, к которым относятся точки разрывов непрерывности, концы

интервала и др.).

Пусть имеется система функций ср (k, x) с непрерывно изменяю-

изменяющимся параметром k. Она называется ортонормированной или нор-

нормированной на б-функцию (сведения о б-функции приведены в при-

приложении I), если выполняется соотношение

*(k\x)(f(k,x)dx = 8(k' — k). G.2)

Ортонормированная система ср (k, x) называется полной, если не

существует функции, ортогональной ко всем функциям системы и не

входящей в эту систему.

Произвольную непрерывную и квадратично-интегрируемую

функцию г|з (х) можно представить в виде интеграла Фурье:

Ъ {х) = \ С (k) у {k, x) dk, G.3)

где коэффициент Фурье С (k) находят по формуле

Интеграл G.3) для полной системы функций ср (k, x) сходится,

и сходится к функции г|> (х) (везде, кроме ограниченного числа изо-

изолированных точек).

Из математики известны условия полноты системы функций tp (k, x):

2 <f'k(x')yb{x) = b(x— x'). G.3а)

71Для системы функций с непрерывно изменяющимся параметром k условие

приобретает вид

\ <р* (*, х') Ф (k, х) dk = 6(x—x'). G.3 б)

В самом деле, подставляя в формально написанное равенство G.1) коэффи-

коэффициенты Фурье Ск, получаем

ь

\

Отсюда для выполнения равенства G.1) достаточно выполнения условия G.3 а).

(Так же доказывается и условие G.3 6).)

Можно дать и иную трактовку сходимости разложений G.1) и G.3). Равен-

Равенство G.1) имеет смысл, т. е. справедливо, если квадратичная погрешность разложе-

разложения равна нулю:

) I ф(*) —2iC*<p*(je) I dx = Q.

а

Отсюда иемедлеиио следует достаточное условие справедливости равенства G.1):

ь

^C\Ck = \^'{x)^{x)dx. G.3 в)

а

Аналогично для разложения G.3) имеем

\ С (ft) С (ft) dkJ\ V (х) Мр (х) dx. G.3 г)

Условия G.3 в) и G.3 г) также необходимы, т. е. для полной

системы функций ф* (х) и непрерывной ty (x) всегда выполняются.

Установим связь разложений функций с принципом суперпозиции

состояний. Пусть г|з (х) есть волновая функция состояния некоторой

механической системы. Разложим ее в ряд по функциям ср* (х). На

основании равенства G.1) или G. 3) состояние ty может рассматри-

рассматриваться как суперпозиция состояний ср* (или ср (k, x)) с вероятностями

ClCk (или плотностью вероятности C*(k)C(k)). Такой смысл при-

придается разложению функции состояния в обобщенный ряд или

интеграл Фурье: оно выражает суперпозицию состояний.

Как указывалось ранее (§ 2), волновые функции суть комплексные непрерывные однозначные функции от координат и времени.

Как правило, они квадратично-интегрируемые, т. е. не только везде ограничены по модулю, но и достаточно быстро убывают до нуля на бесконечности, что и обусловливает возможность их использования для описания связанных состояний микрочастицы в

ограниченной (и в большинстве случаев очень малой) области пространства.

Но эти же свойства необходимы и для разложений в ряд или интеграл.

В квантовой механике используются и функции, ие являющиеся квадратично-

интегрируемыми Не удовлетворяет этому условию \|)-функция свободной частицы

(§ 3, п. 5) Эта и некоторые другие подобные ей функции фактически не отвечают

реальным физическим состояниям, реальным объектам, а описывают сильно идеали-

идеализированные модели и играют вспомогательную роль. Так, для каждой микрочастицы

известна в конечном счете область локализации в пространстве — это может быть атом, молекула, макроскопическое тело и т. д. Локализованной частице соответствует уже ие плоская волна, а волновой пакет, т. е. быстро затухающая и квадратично-интегрируемая функция состояния. В каждом конкретном случае может быть выяснена роль функции, не удовлетворяющей условию квадратичной интегрируемости, и установлена ее связь с реальными состояниями.

Изучаемые ниже математические соотношения, в которые входят волновые функции, распространяются не только на квадратично-интегрируемые функции, но и путем соответствующих предельных переходов — на ограниченные (по модулю) функции, необязательно затухающие иа бесконечности.

Отметим также, что разложение функций состояний в ряд, а также все действия, которые производятся ниже над функциями с помощью операторов физических величин, не затрагивают переменную t — время, т. е. относятся к произвольному, но фиксированному

моменту времени. По этой причине время t всегда рассматривается как параметр, а переменные х, у, г — как аргументы ^-функции.

Линейные операторы.

Оператор есть символ для обозначения действия или программы действий, которые нужно совершить над некоторой функцией, чтобы получить другую функцию. Операторы

обозначаются большими латинскими буквами со «шляпкой» наверху, например А, В, ... Если оператор стоит рядом с функцией и слева от нее, то это означает, что он действует на функцию (говорят, применяется к функции или умножается на функцию). В результате

получается новая функция тех же переменных:

A i|) = cp.

(Функции <|)Иф должны относиться к одному классу функций; невозможен, например, переход от функции действительного переменного к функциям комплексного.)

Программа действий, заключенная в операторе, может быть выражена математическими символами или словами. Укажем примеры:

1) А =х — оператор умножения на переменную х\

2) В=— оператор дифференцирования по х;

3) С = {перейти к комплексно-сопряженному выражению) —оператор комплексного сопряжения.

Результаты действий названных операторов выражаются равенствами

1) ЛФ = хФ; 2) %=|J; 3) Сервер*.

Оператор называется линейным, если для него выполняется условие

Г(С,ф, + С2ф2)=С,Гф,+С2Гф2, G.4)

где ф| и ф2 — некоторые функции, а С\ и С2 — постоянные (комплексные) числа. (Число слагаемых С*ф* неограничено.) Например, операторы дифференцирования и операторы умножения на переменную величину линейны, оператор же возведения в степень не является линейным.

Согласно условию G.4) постоянные множители можно выносить за знак линейного оператора (и вносить под него), а действие такого

оператора дистрибутивно по отношению к сложению функций. Далее

используются только линейные операторы.

Символы операторов рассматриваются как самостоятельные математические объекты, над которыми можно производить ряд математических действий: сложение, умножение, возведение в степень, разложение в степенной ряд. Л

Определим сумму и произведение операторов. Оператор С называется суммой операторов Л и В, если выполняется равенство

Из определения следуют формулы

С=А

Сложение ассоциативно и коммутативно:

Оператор С называется произведением операторов Л и В, если

справедливо равенство

Сф = Л (Вф).

Скобки указывают порядок действий. Произведение операторов

обозначается так же, как и произведение чисел:

С=АВ.

Операция умножения в общем случае некоммутативна: АВфВА.

Операторы, для которых АВ = ВА, называются коммутирующими.

Оператор АВ — ВА называется коммутатором операторов Л и В. Он

обозначается символом [А, В]:

[А,В]=АВ — ВА.

Для коммутирующих операторов [А, В] = 0.

Пример 7.1. Произведение операторов.

Если А—х и В=— , то АВ = х— , причем AB<tip = A (Bi|))=jc— i)j.

В то же время ВА=—- х> поэтому

Отсюда заключаем, что АВфВА.

Пример 7.2. Коммутирующие операторы.

Если А =х и B = -fy , то [А, В]Ф = *|?-^ (*<р) = 0.

Операторы перестановочны, т. е. коммутируют.

74