Ферма наименьшего веса

Оптимальной можно назвать прочную строительную конструкцию, выполняющую заданные в проекте функции, и в то же время легкую в изготовлении (технологичную) и требующую наименьшего расхода материалов. Последнее условие

Рис.6.2

особенно важно, так как стоимость материалов часто составляет большую часть расходов на строительство.

Попытаемся, например, установить, какие условия нужно соблюсти, чтобы ферма с параллельными поясами, изображенная на рис. 6.2 имела минимальный вес.

Предположим , что при заданном пролете число панелей не меняется, а варьируется только высота фермы h..

Рассмотрим две фермы: с высотой h₁ и h₂. Во второй ферме решетка показана пунктиром. Установим некоторые общие зависимости, связывающие усилия в элементах обеих ферм. Усилиям в ферме с высотой h₁ будем придавать индекс 1, в фермах с высотой h₂ - индекс 2.

Усилие в любой панели верхнего или нижнего пояса определяется из уравнения

Рис.6.3

равновесия с использованием моментной точки. Например, в третьей панели для нахождения усилия О₁ в первой ферме и О₂ во второй используется одна и та же моментная точка n-1 (рис.6.3).

, (7.6)

- это балочный момент, равный в обоих случаях сумме моментов всех левых сил относительно узла n-1. Поэтому

(8.6)

Подобное соотношение получается аналогичным образом и для усилий в нижнем поясе, если использовать моментную точку n:

(9.6)

Отсюда можно сделать вывод, что в любой панели усилия в поясах ( О или U) связаны зависимостью

(10.6)

Усилие в раскосах получают, проектируя все силы, попавшие в сечение, и нагрузки на вертикаль. Рассмотрим опять третью панель фермы 1.

(11.6)

Выражение в скобках соответствует поперечной силе в балке с пролетом, равным пролету фермы .Обозначив эту поперечную силу , получаем зависимость

(12.6)

Рассматривая то же сечение в ферме 2 , получаем подобное уравнение для нахождения

(13.6)

Отсюда следует, что в каждом сечении устанавливается простая зависимость

(14.6)

Усилия в стойках не зависят от высоты фермы: часть стоек не работает ( нулевой стержень перечеркнут одной чертой), стойки под силами сжаты , т.е.

(15.6)

Предположим, что ферма изготовлена из материала, имеющего постоянный объемный вес. Тогда ферма наименьшего веса будет иметь и наименьший объем и задача сводится о нахождению фермы наименьшего объема, выдерживающую заданную нагрузку.

Объем U любого элемента фермы равен

U = А , (16.6)

Где А – площадь сечения стержня, l – длина стержня.

Длины стержней верхнего и нижнего пояса постоянны и равны d. Длина стоек h – величина переменная, которую и будем варьировать при решении задачи. Длина раскосов равна .

(17.6)

Предположим также , что допускаемое напряжение на растяжение и сжатие постоянно и равно [ . Тогда площадь сечения любого элемента фермы можно определить по формуле

A = . (18.6)

Здесь S усилие в любом элементе фермы, т.е O, U, V или D.

Подставляя ( 18.6 ) в ( 16.6 ), получаем формулы для подсчета объемов элементов фермы

U_стойки =

U_пояса = (19.6)

U_{раскоса} =

Учитывая соотношения (10.6, 14.6 и 15.6 ) , выражения для объемов отдельных стержней можно представить как функции одной переменной – высоты фермы h.

U_стойки = С₁ h, где С₁ =

U_пояса = С₂ где С₂ = (20.6)

U_{раскоса} = С₃ где С₃ =

Здесь введены обозначения С₁ , С₂ и С₃ для тех компонентов выражений (20.6), которые не зависят от изменения h.

Объем всей фермы получают, суммируя объемы всех ее элементов

U_фермы = U_стойки + U_пояса + U_{раскоса} =

= (21.6)

Исследуя объем фермы на экстремум, приравняем нулю производную от U_фермы по h.

(22.6)

В каждом конкретном случае уравнение (21.6 ) позволяет найти соотношение между h и d, при котором ферма будет иметь наименьший объем, и, следовательно, наименьший вес.

Покажем расчет на примере фермы, изображенной на рис. 6.4

Из условий симметрии:

V_A = V_B =

Рис.6.4

В симметричной ферме можно ограничиться нахождением усилий в стержнях лежащих по одну сторону от оси симметрии.

Из равновесия узла А (рис. 6.5 ) получаем

Рис.6.5

Из равновесия левой части фермы относительно сечения второй панели ( рис 6.6 ), получаем

Из равновесия узла 6 получаем Рис.6.6

V₁₆ = P, U_A6 = U₆₅ .

Результаты расчета удобно свести в таблицу.

Элемент фермы	Длина Стержня l	Усилие	Площадь Сечения A =	Объем элемента UЭ= А
DA1		-
О12	d	-2F	2F [	2F [
D15
V16	h	F	F/[ .	Fh/[
UA6	d			[
U65	d		[ ]	[ ]

Общий объем фермы равен удвоенной сумме величин, расположенных в последнем столбце таблицы

U_фермы =2 (23.6)

Приравнивая производную по h нулю, получаем

U_фермы =2

h = . (24.6)

Итак, ферма будет иметь наименьший объем (вес) если тангенс угла наклона раскоса к поясу будет равен 1,527., а угол составит 56⁰ 45’.

Подставляя (24.6 ) в (22.6) получаем наименьший объем фермы

U_фермы =18,33 . (25.6)

Если h = d, то объем фермы получается равным

U_фермы = , (25.6)

то есть на 9,1% больше, чем в “оптимальном” варианте.

Замечание:

Наиболее удобно конструировать узлы фермы, если раскосы подходят к поясам под углом около 45⁰ .Поэтому по технологическим соображениям не всегда удается спроектировать ферму наименьшего веса.

Вопросы для самоконтроля

1.Какие усилия (растяжение или сжатие) возникают в элементах верхнего пояса балочной фермы при действии вертикальной нагрузки?

2.Какие усилия возникают в стержнях нижнего пояса балочной фермы при действии вертикальной нагрузки?

3.В чем различие напряженных состояний балочных ферм с разным очертанием верхнего пояса при действии вертикальной нагрузки?

4.Какой математический прием применяется для определения фермы наименьшего веса?

Глава 7