Ламинарное и турбулентное течение жидкостей в щелевом канале
1. Ламинарное течение ньютоновской жидкости.Согласно соотношениям Коши и уравнениям состояния при течении жидкости в щели, отличными от 0 будут лишь одна скорость деформации и одно напряжение сдвига (10.1.1):
Из уравнений состояния сохранится лишь одно, а именно
. (10.2.1)
Сравнивая это уравнение с решением (10.1.3)
,
получаем дифференциальное уравнение относительно скорости
,
решение которого при граничном условии v(h) = 0, (2h - ширина щели) имеет вид
. (10.2.2)
Используя формулы (10.1.4), можно определять основные характеристики потока:
· объёмный расход
· среднюю скорость
· коэффициент сопротивления
,
где
· S, Sd - соответственно площади поперечного сечения и боковой смоченной поверхности канала;
· f = t / W- коэффициент трения Фаннинга;
· - касательное напряжение у поверхности канала;
- кинетическая энергия единицы объёма жидкости;
· b - длина поперечного сечения щели;
· - параметр Рейнольдса для плоской щели.
Например: при r = 1000кг/м3; vср = 1 м/с; 2h = 0,01 м; m = 0,01Па×с;
имеем: Reщ = 1000; l = 0,048; DP/L = 1200 Па/м. Таким образом, на каждые 1000 м гидравлические потери составят 1.2 МПа.
Ламинарное течение неньютоновской жидкости Шведова -Бингама. Используя соотношение (5.1) и подставляя его в (1.87) - интенсивность касательных напряжений и (1.88) - интенсивность скорости деформации сдвига при скорости деформации объёма (x = 0), будем иметь:
. (10.2.3)
Знак (-) выбран из-за того, что .
Система уравнений упрощается до одного уравнения
(10.2.4)
Сравнивая (10.2.4) с (10.1.3), получаем уравнение скорости
(10.2.5)
и формулу для вычисления ядра потока
. (10.2.6)
Интегрируя уравнение (10.2.5) при v (h) = 0, найдём следующее распределение скорости:
(10.2.7)
Отсюда следует:
Ø при h0 = h движение жидкости происходить не будет, т.к. v (x) = 0;
Ø условием существования движения является h0 < h или, используя формулу (10.2.6),
Если учесть, что начало движения рассматриваемой жидкости обусловлено не динамическим напряжением сдвига t0, а статическим t00 > t0, то условием страгивания покоящейся жидкости будет
.
По формулам (10.1.4) определяют основные характеристики потока (впервые получены М.П. Воларовичем и А.М. Гуткиным):
(10.2.8)
Как видно из полученных выражений, кинематические характеристики потока Q, vср и коэффициент сопротивления l зависят от градиента давления нелинейно, что вызывает трудности при решении обратной задачи.
Если исходить из того, что практический интерес представляет случай, когда DР >>DR0 (`h0<<1), то, приняв c (`h0) = 1- 3/2`h0, получим:
(10.2.9)
где - обобщённый параметр Рейнольдса; h* = h (1+ 1/4Senщ) - приведённая вязкость жидкости Шведова - Бингама; Senщ = t02h/hvср - параметр Сен-Венана для плоской щели.
Например, при r = 1350 кг/м3, t0 = 5 Па, h = 0.04 Па ×с; vср = 1 м/с, h = 0.02 м.Получим:
т.е. в этом случае на каждые 1000 м гидравлические потери составляют 0.675 МПа.
Неньютоновская жидкость Освальда - Вейля. Используя в системе уравнений Коши соотношения (10.1.1) и (10.2.3)
и
,
получим .
Сопоставляя это уравнение состояния с решением (5.3), приходим
к дифференциальному уравнению относительно скорости:
. (10.2.10)
Интегрируя это уравнение при граничном условии v (h) = 0, получаем распределение скорости:
, (10.2.11)
где .
Интегральные характеристики потока при этом будут
(10.2.12)
где - обобщённый параметр Рейнольдса,
- приведённая вязкость жидкости Освальда -Вейля для плоской щели.
При n = 1 и k = m формулы (10.2.11) - (10.2.12) совпадут с формулами (10.2.3) - (10.2.4).
Турбулентный режим течения. Когда параметры Re, Re* или Re’ больше критических значений, решение уравнения движения записывается в виде (сравните с (10.1.3)
.
Касательное напряжение sij в зависимости от типа жидкости связано со скоростью сдвига уравнениями вида (10.2.1), (10.2.3) или (10.2.10). Напряжение Рейнольдса в силу соотношений (10.2.3) удовлетворяет уравнению Прандтля:
, (10.2.13)
где принимается, что величина l линейно зависит от расстояния до стенки канала s = h-х , т.е.
ℓ = æS (10.2.14)
где æ - константа, определяемая из опыта.
Напряжение sij имеет существенное значение лишь в непосредственной близости от стенок канала, т.е. в узкой области, состоящей из ламинарного подслоя и буферной зоны, где ламинарные и турбулентные законы течения сравнимы между собой.
В основной области течения (турбулентное ядро) можно пренебречь напряжением. Поэтому после подстановки (5.17) и (5.18) в (5.16) получим следующее исходное дифференциальное уравнение:
при s ³ s1 , (10.2.15)
где t* = DRh/L – приведённое значение касательного напряжения; s1 – внешняя граница буферной зоны.
Упрощение t* введено Прандтлем без какого-либо физического обоснования, но большой погрешности в решение не вносит. Если, кроме того, ввести обозначение для динамической скорости на стенке канала , то уравнение (10.2.15) примет вид
при s ³ s1 .
Интегрируя это уравнение при условии , получаем универсальный закон распределения скорости:
при s ³ s1. (10.2.16)
Многочисленные экспериментальные подтверждения показали, что логарифмическое распределение (10.2.16) достаточно хорошо описывает профили скорости при турбулентных течениях различных жидкостей в плоских и круглых каналах с гладкими и шероховатыми стенками вплоть до больших значений параметра Рейнольдса (за исключением узких пристенных областей). Различия могут составлять лишь входящие параметры.