Приближение слабой связи
В качестве исходного состояния (нулевого приближения) выбирается энергетический спектр свободного электрона (рис. 7.2), а периодический потенциал кристаллической решетки
рассматривается как малое возмущение.
Исходное уравнение:
Из теории возмущений (без учета вырождения) поправки к энергии первого порядка определяются диагональным матричным элементом матрицы оператора возмущений:
, (7.48)
т.е. результат аналогичен приближению сильной связи, так как – это среднее значение оператора возмущений.
Поправка второго порядка:
(7.49)
Рис. 7.2. Энергия свободного электрона в одномерном кристалле при равной нулю амплитуде периодического потенциала
С помощью этой поправки вычисляется поправка первого порядка волновой функции:
(7.50)
Недиагональные матричные элементы:
(7.51)
Чтобы найти явный вид матричных элементов оператора возмущения, представим в виде разложения в ряд Фурье по обратной решетке:
(7.52)
Для кубической решетки
Недиагональный матричный элемент (7.51) в единице объема:
(7.53)
Таким образом, недиагональные матричные элементы могут быть равны нулю или при
. Тогда поправка второго порядка:
(7.54)
Волновая функция
(7.55)
Эти условия означают, что вдали от особых точек энергия электрона в кристалле не отличается от энергии свободного электрона и только в особых точках возмущение со стороны кристаллической решетки велико. Эти точки определяют границы зон Бриллюэна (рис. 7.3).
Рис. 7.3. Энергетический спектр электронов в кристалле в приближении слабой связи
Условие (7.55) соответствует вырождению, когда одному значению энергии соответствуют две волновые функции и
. Это означает, что уже в нулевом приближении необходимо учитывать обе волновые функции, т.е. рассматривать теорию возмущений с учетом вырождения. Нулевое приближение вырожденного состояния:
(7.56)
без вырождения b = 0.
Снова находим , но с учетом вырождения (7.56):
(7.57)
Обозначим ,
, с учетом вырождения (7.56) уравнение (7.57) имеет вид:
(7.58)
(7.59)
(7.60)
Нетривиальное решение системы (7.60) возможно, если детерминант равен нулю:
(7.61)
Учитывая U11 = U22 = <U> ® 0, из (7.61) имеем:
(7.62)
(7.63)
(7.64)
1. В первом приближении спектр энергии свободного электрона понижается на величину <U> без изменения зависимости .
2. При наложении возмущения со стороны кристаллической решетки на свободное движение электрона энергия электрона
терпит разрыв на границах зоны Бриллюэна
. В этих точках
.
3. В результате разрыва энергии имеем зоны разрешенных и запрещенных энергий.
4. Все электрофизические свойства кристалла можно рассматривать в пределах первой зоны Бриллюэна.