Теоретические сведения. Понятие центра тяжести является одним из важнейших в механике

Понятие центра тяжести является одним из важнейших в механике.

Центром тяжести тела называют центр системы параллельных сил, которую приближенно образуют силы тяжести его элементарных частиц. Радиус-вектор центра тяжести можно вычислить по формуле

(1)

где — радиус-вектор точки приложения силы тяжести элементарной части тела, принятой за точку, — сила тяжести элементарной частицы, — сила тяжести всего тела, — число частей на которые разбито тело. Центр тяжести является точкой приложения равнодействующей силы тяжести, если силы тяжести его отдельных частей считать системой параллельных сил.

Для однородного тела вес любой его части пропорционален объему этой части: , а вес тела пропорционален объему всего тела, т.е. , где – вес единицы объема.

Подставив эти формулы в (1), получим координаты центра тяжести объема

(2)

Аналогично для тела, представляющего собой однородную плоскую и тонкую пластину справедливы формулы

(3)

Точно также получаются формулы для координат центра тяжести линии:

(4)

Таким образом, центр тяжести однородного тела определяется, как центр тяжести соответствующего объема, площади или линии.

Способы определения координат центров тяжести тел.

Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно или в плоскости симметрии, или на оси симметрии, или в центре симметрии.

Разбиение. Если тело можно разбить на конечное число таких частей, для каждой из которых положение центра тяжести известно, то координаты центра тяжести всего тела можно непосредственно вычислить по формулам (2)-(4). При этом число слагаемых в каждом из числителей будет равно числу частей, на которые разбито тело. Т.о.

(5)

Дополнение.Этот метод используется при вычислении центров тяжести тел, имеющих отверстия. В этом случае исходное тело дополняют до целого, при этом, в отличие от обычного метода разбиения площадь дополнительной части берется в формуле (5) со знаком минус.

Интегрирование.Если тело нельзя разбить на несколько конечных частей, положения центров тяжести которых известны, то тело сначала разбивают на произвольные малые объемы, затем в формулах (1)-(4) переходят к пределу, стягивая все объемы в точку. Тогда имеем

(6)

Аналогичные формулы можно получить для координат центров тяжестей площадей и линий.

Понятие об устойчивости равновесия. Для тела, закрепленного наложенными связями не жестко, возникает вопрос об устойчивости равновесия. Если действующие силы стремятся вернуть тело в положение равновесия ( когда оно из этого положения выведено), то рассматриваемое положение равновесия является устойчивым, в противном случае равновесие будет неустойчивым. Практически тело может находиться в равновесии только когда положение равновесия устойчиво.

Характер равновесия можно исследовать, используя условия равновесия тела (см. лаб. раб. 1). При этом справедливо следующее утверждение: равновесие тела считается устойчивым, если его центр тяжести занимает наинизшее положение, и неустойчивым – когда наивысшее.

Рассмотренный метод исследования применим лишь в простейших задачах. Более сложные случаи исследуются динамическими методами.

Порядок выполнения работы.

Лабораторная работа предполагает выполнение следующих заданий:

ð определить положение центра тяжести плоского сечения,

ð определить положение центра тяжести твердого тела и получить условия устойчивости равновесия тела.

Порядок выполнения работы заключается в следующем:

Для каждого задания

1. Получить аналитическим методом решение задачи в общем виде.

2. С помощью системы Mathcad выполнить вычисления при заданных значениях параметров.

3. Занести в тетрадь для лабораторных работ:

A. постановку каждого задания,

B. краткие теоретические сведения,

C. решение задачи в общем виде,

D. результаты вычислений при заданных значениях параметров,

E.

изобразить положение центров тяжести.

Варианты задания №1

Варианты задания №2

При каком соотношении обеспечивается устойчивое равновесие тела, если плотности тел равны и соответственно

Параметр	ВАРИАНТ
		2,5		3,5	0,5		0,2	0,1	0,3	0,7	0,8		0,4	3,5	0,6

Параметр	ВАРИАНТ
		2,5		3,5	0,5		0,2	0,1		0,7	0,9		0,7	3,5	0,6

Параметр	ВАРИАНТ
		2,5		3,5	0,5	1,5	0,2	0,1	0,3		0,4		0,4		0,6

А)

Б)

Контрольные вопросы по ПМ (Статика).

Вопросы для повторения к теме 2

1. Дайте определение системы сходящихся сил.

2. Как найти равнодействующую системы сходящихся сил графическим методом?

3. Как определить равнодействующую системы сходящихся сил аналитическим методом?

4. Сформулируйте условие равновесия системы сходящихся сил.

5. Сформулируйте геометрическое условие равновесия системы сходящихся сил.

6. Сформулируйте аналитическое условие равновесия системы сходящихся сил.

7. Сколько и каких уравнений можно составить при рассмотрении равновесия плоской системы сходящихся сил.

8. Сколько и каких уравнений можно составить при рассмотрении равновесия пространственной системы сходящихся сил.

9. Как направлена равнодействующая системы сил, если сумма проекций этих сил на ось y равна нулю?

10. Сформулируйте теорему о трех непараллельных силах?

11. Будет ли находиться в равновесии тело, если к нему приложены три силы, лежащие в одной плоскости, а линии их действия пересекаются в одной точке?

12. Как определить модуль равнодействующей силы, если заданы модуль и направление одной составляющей , а также направления другой составляющей и равнодействующей?

13. Как определить модуль равнодействующей силы, если заданы модули обеих составляющих и и направление равнодействующей?

14. Как определить модуль равнодействующей силы, если заданы направления обеих составляющих и и равнодействующей?

15. Можно ли единственным способом разложить заданную силу на три составляющие, если заданы их модули?

Вопросы для повторения к теме 3

1. Сформулируйте определение алгебраического момента силы относительно точки.

2. Как определить плечо силы относительно точки?

3. В каком случае момент силы считают положительным, а в каком — отрицательным?

4. Сформулируйте определение векторного момента силы относительно точки.

5. Как направлен векторный момент силы?

6. Как определить проекции векторного момента силы на оси координат, если известны проекции силы на соответствующие оси и координаты точки приложения силы?

7. Сформулируйте определение момента силы относительно оси.

8. В каких случаях момент силы относительно оси равен нулю?

9. Какая связь существует между моментом силы относительно оси и векторным моментом силы относительно точки, лежащей на оси?

Вопросы для повторения к теме 4

1. Как найти равнодействующую двух параллельных сил, направленных в одну сторону, и точку ее приложения?

2. Как найти равнодействующую двух параллельных, неравных по модулю, сил, направленных в разные стороны, и точку ее приложения?

3. Что такое пара сил?

4. Можно ли пару сил заменить равнодействующей?

5. Чем характеризуется пара сил?

6. Какие две пары называют эквивалентными?

7. Сформулируйте свойства пар.

8. Условия равновесия пар сил.

9. Как можно уравновесить пару сил?

Вопросы для повторения к теме 5

1. Как привести силу к заданному центру?

2. Сформулируйте теорему о приведении произвольной системы сил к простейшему виду (теорему Пуансо).

3. Что такое главный вектор?

4. Что такое главный момент?

5. Как определить модуль главного вектора и главного момента?

6. Как зависит главный момент от выбора центра приведения?

7. К какому простейшему виду можно привести произвольную пространственную систему сил, если:

а) главный вектор равен нулю, а главный момент не равен нулю;

б) главный вектор не равен нулю, а главный момент равен нулю;

в) главный вектор и главный момент не равны нулю, а скалярный инвариант равен нулю.

8. В каком случае произвольная пространственная система сил приводится к динаме?

9. Какую совокупность сил называют динамой?

10. Что такое центральная винтовая ось?

11. Сформулируйте теорему Вариньона о моменте равнодействующей.

12. Сформулируйте векторные и аналитические условия равновесия произвольной пространственной системы сил.

13. Сколько и каких уравнений равновесия можно составить для пространственной системы параллельных сил?

14. Сколько и каких уравнений равновесия можно составить для произвольной плоской системы сил?

15. Сколько и каких уравнений равновесия можно составить для плоской системы параллельных сил?

Вопросы для повторения 8

1. Почему система параллельных сил всегда приводится к равнодействующей, если главный вектор и главный момент не равны нулю?

2. Запишите векторную формулу для определения центра параллельных сил.

3. Что называют статическим моментом системы параллельных сил относительно центра?

4. По каким скалярным формулам можно определить центр тяжести тела?

5. Перечислите основные способы определения положения центра тяжести тел.

6. В чем заключается метод симметрии?

7. В чем заключается метод разбиения на части?

8. В чем заключается метод отрицательных площадей?