Критерии длительной прочности

Вязкие (или реологические) свойства твердых тел устанавливаются главным образом по данным опытов на ползучесть. Ползучестью называется накапливание деформации во времени при постоянном напряжении.

Рис. 16. Общий вид кривой ползучести

На рис. 16 показана типичная кривая ползучести при фиксированном эффективном напряжении сжатия (или растяжения) и определенных внешних условиях (температура, давление, влажность). На этой кривой выделяют условно три стадии ползучести:

АВ – неустановившаяся, она характеризуется уменьшением скорости деформации;

ВС – установившаяся, скорость постоянная;

СД – прогрессирующая, скорость деформации растет вплоть до момента разрушения.

Деформация образца на первом участке сопровождается структурными изменениями, которые затрудняют ползучесть, происходит упрочнение. Выход на участок ВС означает, что материал исчерпал способность упрочняться, и вследствие этого уменьшилась скорость деформации. Ускоренная ползучесть на участке СД объясняется зарождением и развитием трещин. Участок вертикальной оси 0А соответствует мгновенной деформации , коротая в зависимости от уровня напряжения может быть либо упругой, либо содержать мгновенную пластическую деформацию. В любой момент времени полную накопленную деформацию можно определить в виде суммы , где - деформация ползучести.

Рис. 17. Серия кривых ползучести Рис. 18. Семейство изохронных кривых ползучести

1. Теория старения

Для описания участков кривой ползучести используются различные теории (гипотезы). Так, для описания первых двух участков кривой чаще других используется теория старения, согласно которой полная деформация является функцией напряжения и времени при фиксированных внешний условиях (давление, температура, влажность и т.д.), т.е. . Эта функция задается серией кривых ползучести (рис. 17), которые затем перестраиваются в изохронные кривые в координатах (рис. 18). Техника подобной перестройки очевидна. Проведем на рис. 17 вертикальную прямую, соответствующую . Точки пересечения этой прямой с кривыми ползучести определяют пары значений и . Построив их в соответствующей системе координат, получим кривую для момента времени (см. рис. 18). Подобным образом строятся кривые для других моментов времени. Эту серию кривых называют семейством изохронных кривых. Кривая мгновенного деформирования (t = 0) также является изохронной.

Экспериментально установлено, что совокупность изохронных кривых можно описать с помощью следующей эмпирической формулы

, (2.83)

где - параметры ползучести.

Для вязкопластичного тела функция нелинейная, определяется согласно (2.68). Для вязкоупругого тела , и с учетом (2.83) деформацию вычисляют по формуле

. (2.84)

Рис. 19. К определению параметров ползучести

а – деформационная кривая; б – исходная кривая по ползучести; в – преобразованная кривая по текучести

Чтобы определить параметры ползучести, достаточно располагать кривой мгновенного деформирования (рис. 19, а) или хотя бы одной кривой ползучести (рис. 19, б). Измерив на кривой ползучести ординаты , соответствующие моментам времени при , откладываем их по оси абсцисс на диаграмме мгновенного деформирования; полученные ординаты обозначаем через . Теперь построим новый график (рис. 19, в). По оси абсцисс отложим , по оси ординат - . Из соотношения (2.83) должно выполняться равенство

.

Откуда - величина отрезка, отсекаемого построенной прямой на оси ординат, а - ее угловой коэффициент. Естественно, более точные результаты получатся, если использовать несколько кривых ползучести.

Характерно, что параметр близок к 0,3 для различных горных пород.

По теории старения для описания сложного напряженного состояния

пользуются теми же уравнениями обобщенного закона Гука [см формулу (2.73)], в которых надо модули упругости G и пластичности заменить функциями времени и соответственно.

Ниже приведены средние значения параметров и для некоторых горных пород при времени, заданном в с.

коэффициенты
Песчаник	0,0046	0,283
Известняк	0,0067	0,299
Глина кембрийская	0,01	0,2
Аргеллит	0,0158	0,279
Алевролит	0,0368	0,285
Галит	0,085	0,2
Каменная соль	0,15	0,246

Благодаря простоте и удобству, теория старения нашла широкое применение в практике инженерных расчетов. Но в силу того, что эта теория исходит из опытов на ползучесть при постоянных нагрузках, ею можно пользоваться только в условиях постоянства напряженного состояния или медленного монотонного его изменения.

Для общего случая нагружения твердого тела используют уравнения состояния хорошо разработанной

2. теории наследственной ползучести.

Ограничимся лишь уравнением состояния линейной теории наследственной ползучести при одноосном упругом сжатии (растяжении) образца переменным во времени напряжении :

(2.85)

или, если известна деформация ползучести , то

, (2.86)

где аналитически связанные функции K(t) и R(t) называются соответственно ядром ползучести и резольвентой ядра ползучести.

Физический смысл функций K(t) и R(t) простой: функция - скорость ползучести при постоянном единичном напряжении, а функция

- скорость изменяющегося во времени напряжения, необходимого для поддержания постоянной единичной деформации.

Отсюда ясен экспериментальный метод определения функции K(t) по кривой ползучести и R(t) – по релаксационной кривой. Если теория не подвергается сомнению, то необходимость в экспериментальном определении резольвенты отпадает, так как функция R(t) находится аналитически по известному ядру ползучести.

В литературе известно несколько видов ядер ползучести. Наиболее употребляемым является ядро типа Абеля:

, (2.87)

используя которое в уравнении (2.85) при , получим уравнение (2.84) теории старения, в котором

.

Поэтому из сопоставления уравнений (2.84) и (2.86) легко установить, что резольвентой ядра ползучести (2.87) является функция

.

Теория наследственной ползучести включает в себя как частные случаи все известные упрощенные теории, например такие, как:

а) релаксационная теория упруговязких сред Максвелла;

б) теория упруговязкой среды Кельвина – Фойгта (модель Кельвина – Фойгта);

в) теория вязкопластичной среды Шведова – Бингама (модель Шведова – Бингама).

Дифференцируя обе части уравнения (2.85) по t и принимая в нем ядро , получим уравнение Максвелла

. (2.88)

Если в начальный момент времени под действием напряжения деформация образца составила и в дальнейшем поддерживается постоянной , то из уравнения (2.87) следует закон релаксации напряжения

,

где называется периодом релаксации напряжений.

При постоянном напряжении ( ) из уравнения (2.88) следует, что тело течет подобно вязкой жидкости.

Аналогично можно получить уравнение Кельвина – Фойгта

и уравнение Шведова – Бингама

где - предел текучести (см. рис. 12).

3.Теория установившегося течения

Если участок АВ кривой ползучести (см. рис. 16) мал и им можно пренебречь, то применяют теорию установившегося течения, согласно которой скорость ползучести в каждый момент времени зависит от напряжения при фиксированных внешних условиях, т.е. имеем кинетическое уравнение ползучести

.

Удобными аналитическими аппроксимациями функции являются:

степенная зависимость

, (2.89)

и экспоненциальная

, (2.90)

где - некоторая характерная скорость, которую удобно выбрать за единицу масштаба; - параметры ползучести в условиях опыта.

Рис.20. Характерный вид ступенчатого нагружения образцов при испытаниях их на ползучесть

рис.16

Экспресс-метод определения параметров ползучести заключается в следующем: серия образцов подвергается ступенчатому нагружению (при фиксированных ) по некоторой программе (рис. 20). На каждой ступени нагружения снимается кривая зависимости деформации от времени, по которой определяется скорость ползучести. Таким образом, для каждого образца (порядковый номер j) получается последовательность из точек диаграммы (N – число ступеней). Если принять закон ползучести в форме (2.89), то эти точки, нанесенные в координатах , определяют прямую . Параметры и для каждого образца находятся методом наименьших квадратов. После этого проводится осреднение полученных характеристик для разных образцов.

Совершенно аналогично находятся параметры экспоненциального закона ползучести (2.90), которому соответствует линейная зависимость .

Таблица 20

Порода	ºС	В МПа	т
Галит		7,94	7,7
	5,19	7,7
	3,71	7,7
Бишофит		2,76	4,28
Гипс, насыщенный водой		1,9	4,88

В табл. 20 приведены значения параметров ползучести В и т некоторых горных пород, вычисленных по данным литературных источников при .

При описании сложно-напряженного состояния по этой теории уравнения (2.73) – (2.75) также справедливы, если в них компоненты деформации заменить компонентами скоростей деформации и соответственно интенсивность деформации сдвига Г – на интенсивность скоростей деформации сдвига Н, т.е. в общем случае будет

. (2.91)

4. Теория разрушения

Для описания третьего участка кривой ползучести и прогнозирования момента разрушения применяется теория разрушения, согласно которой кинетическое уравнение ползучести принимается в виде

,

где - структурный параметр, называемый функцией поврежденности или растрескивания.

Так как повреждение тела начинается на самых ранних этапах деформирования и возрастает с течением времени вплоть до разрушения, то функция должна удовлетворять условиям

, (2.92)

где - время до начала разрушения.

Накопление повреждений – случайный процесс, и поэтому, согласно представлениям статистической физики, изменение поврежденности можно описать некоторым кинетическим уравнением вида

.

Функцию F и параметры процесса определяют экспериментально с привлечением практических и теоретических соображений. При этом существенно, чтобы функция и параметры могли быть найдены из достаточно простых опытов.

Если внешние условия фиксированы и с течением времени структурных изменений нет, то скорость роста поврежденности определяется приведенным напряжением, равным , где - функция сплошности [17]. Тогда процесс ползучести и сопутствующий ему процесс разрушения описывается следующей системой кинетических уравнений:

Удобной аппроксимацией функции F является степенная зависимость

, (2.93)

где A > 0 – некоторый коэффициент; - показатель трещинообразования, соответствующий определенным внешним условиям.

Если разрушению предшествуют малые деформации, то можно пренебречь изменением напряжений во времени и из уравнения (2.93) при условии (2.92) найти время до начала разрушения:

(2.94)

Сопоставляя время t с экспериментальным временем разрушения, можно найти параметры A и n. Для этого проводятся испытания на длительную прочность, которые состоят в том, что серия образцов подвергается нагружению различной интенсивности, при этом время разрушения каждого образца фиксируется. Каждому значению напряжения соответствует свое время . Зависимость между и называется диаграммой длительной прочности. Она строится в логарифмических координатах.

Рис. 21. Диаграмма длительной прочности водонасыщенного гипса

1, 2 – соответственно при = 0 и = 100 МПа

В качестве примера на рис.21 показаны диаграммы длительной прочности водонасыщенного гипса, построенные по данным справочника [Справочник физических констант горных пород под редакцией С.Кларка]. Из формулы (2.94) имеем

.

По наклону прямой длительной прочности находим показатель n, а по положению некоторой точки (на рис. 21 ее координаты показаны пунктиром) определяют коэффициент А. для прямой 1: n = 6; ; для прямой 2: n = 7; .

Если процесс ползучести описать степенной зависимостью вида

,

то на втором и третьем участках кривой ползучести накапливаемую деформацию можно вычислить по формуле

(2.95)

сравнение этой зависимости с экспериментальной может служить контролем правильности выбранной аппроксимации.

Время , в течение которого исчерпывается несущая способность материала, является наиболее универсальным критерием длительной прочности или долговечностью материала. Наиболее известная в литературе формула для вычисления долговечности

(2.96)

получена С.Н. Журковым на основе термофлюктационной концепции для твердых полимеров и пригодна для горных пород. Здесь - период колебания атомов в твердых телах, для всех полимеров он примерно одинаков и равен с, для горных пород того же порядка; - энергия активации процесса термодеструкции; - структурно-чувствительный параметр; R – универсальная газовая постоянная Больцмана; T – абсолютная температура. Параметры и определяют по линейной диаграмме длительной прочности в координатах и . Согласно данным работы [8], для песчаника, песчанистого сланца и глинистых сланцев и 35 ккал/моль, соответственно.

Если напряжение зависит от времени, но скорость изменения напряжения невелика, структура и температура материала не изменяются, то согласно принципу суммирования повреждений время до разрушения определится из уравнения

, (2.97)

где - долговечность при постоянном напряжении, равном мгновенному значению .

В общем случае критерий разрушения имеет вид

.

Отсюда следует, что в любых условиях механического и теплового воздействия долговечность является функционалом от параметров напряжения, температуры и структуры тела.

В условиях сложного напряженного состояния в уравнениях (2.93) – (2.97) вместо необходимо использовать некоторое приведенное напряжение, в качестве которого чаще всего используется интенсивность напряжения [см. формулу (1.41)].

§ 8. ОБЩАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Получить аналитическое решение задачи механики деформируемого твердого тела – значит определить прежде всего компоненты вектора перемещения , тензоров деформаций и напряжения в любой точке области D, занятой телом, и в любой момент времени.

В общем случае, как показано ранее, 15 искомых функций должны удовлетворять следующим 15 уравнениям.

Трем уравнениям движения [см. формулу (2.9)]

. (2.98)

Шести уравнениям механического состояния

(2.99)

соответственно при упругой деформации изотропного тела [см. формулу (2.74)]; при упругопластической деформации изотропного тела [см. формулу (2.77)]; при ползучести среды [см. формулу (2.91)]. Возможны уравнения другого вида, связывающие компоненты и , в зависимости от рассматриваемого состояния тела и действующих факторов.

Шести уравнениям совместимости (неразрывности) деформаций Сен-Венана [см. формулу (1.24)]

(2.100)

и т.д. (остальные уравнения получаются круговой заменой индексов) при рассмотрении кратковременного напряженно-деформированного состояния тела. При изучении ползучести тела используются шесть аналогичных уравнений совместимости скоростей деформаций .

В уравнениях (2.98) – (2.100) использована декартова система координат и следующие введенные ранее обозначения: - проекции массовых сил и ускорения; - плотность тела; - модуль сдвига; - коэффициент Ламе; - модуль объемного сжатия; Е, v – модуль Юнга и коэффициент Пуассона; и - модули пластичности и ползучести, являющиеся соответственно функциями интенсивности деформации сдвига Г и интенсивности скорости деформации сдвига Н (см. лекцию 1); - компоненты девиатора деформации; - объемная деформация; - компоненты девиатора скорости деформации; - символ Кронекера:

где - скорость объемной деформации; и - компоненты тензоров деформаций и скоростей деформаций; связанные соответственно с компонентами перемещения и скорости соотношениями Коши:

(2.101)

При переходе к криволинейной системе координат вид всех уравнений, кроме уравнений (2.99), изменится. В лекции 1 приведены формулы перехода к цилиндрической системе координат.

Для однозначного определения напряженно-деформированного состояния тела к уравнениям (2.98) – (2.100) необходимо присоединить начальное и граничные условия. Различают три основные граничные задачи механики деформируемого твердого тела.

Если на поверхности S, ограничивающей область D тела, задан вектор напряжения , то граничные условия записываются в виде (см. лекцию 1)

(2.102)

где - нормаль к поверхности S; - проекции вектора на оси выбранной системы координат; М – точка поверхности; t – время.

В этом случае говорят о первой основной граничной задаче.

Если на поверхности S заданы условия для компонент вектора перемещения (или скорости )

(2.103)

то говорят о второй граничной задаче, где - известные функции точек поверхности и времени.

В том случае, когда на одной части поверхности S задано условие вида (2.102), а на другой – вида (2.103), говорят о третьей основной граничной задаче, иногда ее называют смешанной граничной задачей.

Отличительная особенность первой основной граничной задачи состоит в том, что ее решение в зависимости от удобства можно строить в перемещениях (скоростях) или в напряжениях. Вторую и третью граничные задачи можно решать только в перемещениях (скоростях).

Решить задачу в перемещениях – значит представить исходную систему уравнений, граничные и начальные условия через функции . Для этого достаточно подставить формулы (2.99) и (2.101) в уравнения (2.98) и граничные условия (2.102), полученная таким образом система трех уравнений и трех граничных условий будет содержать только перемещения . В этом случае надобность в уравнениях (2.100) отпадает. Они могут служить лишь для контроля полученного решения.

Если первая граничная задача решается в напряжениях , то эти функции, кроме уравнений (2.98), должны удовлетворять и системе уравнений (2.100), в которой необходимо (или ) выразить через с помощью формул (2.99).

Ясно, что вид и характер исходной системы уравнений зависит от вида соотношений (2.99). С различными частными системами таких уравнений можно познакомиться по справочной литературе, учебникам и монографиям. При решении конкретных задач мы будем получать эти уравнения в упрощенном виде.

Определение напряженно-деформированного состояния тела не может быть самоцелью. Оно лишь предпосылка для оценки прочности, устойчивости, долговечности тела, конструкции или сооружения.

Лекция 7. Основные задачи механики сплошных сред в бурении