XIX. Трение скольжения

При попытке сдвинуть одно тело относительно другого возникает сила препятствующая этому. Она называется силой трения.Гладкая поверхность – это идеализированная поверхность, когда нет трения. Реальные поверхности шероховатые. Силу трения находят из уравнений равновесия. В предельном случае, когда тело вот-вот выйдет из состояния покоя силу трения можно определить по формуле: F_тр = N∙f, где: N – сила нормального давления, f – коэффициент трения ( безразмерная величина), определяется экспериментально.

Коэффициент трения не зависит от площади соприкасающихся поверхностей, незначительно зависит от скорости. Коэффициент трения покоя больше коэффициента трения движения и незначительно уменьшается с увеличением скорости.

Реакция шероховатой поверхности R (рис. 29), есть сумма нормальной реакции N и силы трения. Она отклонена от нормали. Максимальный угол отклонения реакции шероховатой поверхности от нормали – φ, называется углом трения.Его можно найти по формуле:

tg φ = F_тр/N = f. Если равнодействующая F внешних сил, приложенных к телу, проходит внутри угла трения, то тело не выйдет из равновесия при сколь угодно, большей силе .

XX. Трение качения.

В теоретической механике все тела считаются абсолютно твердыми. Если бы это было так, то тело (рис. 30) вышло бы из состояния покоя при сколь угодно малой силе F, т.к. сумма моментов сил, приложенных к телу не равна 0. Но этого не происходит. В действительности, все тела деформируемы, поэтому нормальная реакция N (рис. 31) смещается в направлении действия силы на некоторое расстояние

и образует вместе с силой тяжести пару сил, препятствующую качению. Смещение (δ), при котором начинается качение, называется коэффициентом трения качения, измеряется в см. В механике, в случае, если сопротивление качению необходимо учесть, тела считают абсолютно твердыми, но к ним прикладывают момент M (момент сопротивления качению), препятствующий качению тела (рис. 32). Величина момента сопротивления качению может быть найдена по формуле: M =N∙δ.

Условие, при котором начинается качение, имеет вид: F ∙ R N ∙ δ или:

F N ∙ δ/R.

Здесь R – радиус колеса. Условие, при котором начинается скольжение:

F F_тр = f ∙ N.

Поскольку f >> δ/R, то при скольжении надо приложить силу много большую, чем при качении.

Задача С1

Жесткая рама (рис. С1.0-С.1.9, табл. С1) находится под действием пары сил с моментом М = 20кН×м и двух сосредоточенных сил, значения которых указаны в таблице. В точке С к раме привязан трос, перекинутый через блок и несущий на конце груз весом Р=25 кН. Определить реакции связей вызываемые действующими нагрузками. При окончательных расчетах принять а = 0,5 м. Проверка решения в конце обязательна.

Указания.Задача С1 – на равновесие тела под действием произвольной плоской системы сил. Данные для решения задачи взять из таблицы С1. При вычислении момента силы F часто удобно разложить ее на составляющие F’ и F’’, для которых плечи легко определяются, и воспользоваться теоремой Вариньона, тогда:

Таблица С1

Силы
F1= 10 кH	F2= 20 кH	F3= 30 кH	F4= 40 кH
Номер условия	Точка приложения	α1 град	Точка приложения	α1 град	Точка приложения	α1 град	Точка приложения	α1 град
	H		-	-	-	-	K
	-	-	D		E		-	-
	K		-	-	-	-	E
	-	-	K		H		-	-
	D		-	-	-	-	E
	-	-	H		-	-	D
	E		-	-	K		-	-
	-	-	D		-	-	H
	H		-	-	D		-	-
	-	-	E		K		-	-

Рис. С1.0 Рис. С1.1

Рис. С1.2 Рис. С1.3

Рис. С1.4 Рис. С1.5

Рис. С1.6 Рис. С1.7

Рис. С1.8 Рис. С1.9

ПримерC1.

Изогнутый стержень BCDА (рис. С1) имеет в точке А неподвижную шарнирную опору, а в точке В – подвижную шарнирную опору на катках. Все действующие нагрузки и размеры показаны на рисунке.

Дано: F = 25 кН, α = 60˚, Р = 18 кН, γ = 75˚, М = 50 кН×м, β = 30˚, α = 0,5 м. Определить: реакции в точках А и В, вызываемые действующими нагрузками.

Решение.

1.Рассмотрим равновесие пластины. Проведем координатные оси xy и изобразим действующие на раму силы: силу , пару сил с моментом М, натяжение троса (по модулю Т=Р) и реакции связей (реакцию неподвижной шарнирной опоры А изображаем двумя ее составляющими, реакция подвижного шарнира направлена перпендикулярно опорной плоскости).

2. Для полученной плоской системы сил составим три уравнения равновесия. При вычислении момента силы относительно точки А воспользуемся теоремой Вариньона, т.е. разложим силу на составляющие и учтем, что Получим:

(1)

(2)

(3)

Подставив, в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив эти уравнения, определим искомые реакции.

Проверкой является уравнение суммы моментов от сил и реакций относительно точки, которую еще не рассматривали в процессе решения задачи. Например:

(4)

Если реакции найдены верно, то уравнение (4) обратится в тождество.

Ответ: x_А=-8,5 кН; y_А=-23,3 кН; R_B=7,3 кН. Знаки указывают, что силы и направлены противоположно показанным на рис. С1.

Задача С2

Конструкция состоит из жесткого угольника и стержня, которые в точке С или соединены друг с другом шарнирно (рис. С2.0 – С2.5), или свободно опираются друг о друга (рис. С2.6-С2.9).

На каждую конструкцию действует: пара сил с моментом М=60 кН×м, равномерно распределенная нагрузка интенсивности q = 20 кН/м и еще две силы. Эти силы, направления и точки их приложения указаны в табл. С2; там же в столбце «Участок» указано, на каком участке действует распределенная нагрузка. Определить реакции связей в точках А, В, С и D, вызванные заданными нагрузками. При окончательных расчетах принять: а = 0,2 м. Направление распределенной нагрузки на различных по расположению участках указано в табл. С2а.

Указания. Задача С2- на равновесие системы тел, находящихся под действием плоской системы сил. При ее решении можно рассмотреть сначала равновесие всей системы в целом, а затем – равновесие одного из тел системы, изобразив его отдельно, или же сразу расчленить систему и рассмотреть равновесие каждого из тел в отдельности, учтя при этом закон о равенстве действия и противодействия. Проверка решения обязательна.

Таблица С2

Сила					Участок
F1= 10 кH	F2= 20 кH	F3= 30 кH	F4= 40 кH
Номер условия	Точка приложения	α1, град	Точка приложения	α2, град	Точка приложения	α3, град	Точка приложения	α4, град
	K		-	-	H		-	-	CL
	-	-	L		-	-	E		CK
	L		-	-	K		-	-	AE
	-	-	K		-	-	H		CL
	L		-	-	E		-	-	CK
	-	-	L		-	-	K		AE
	E		-	-	K		-	-	CL
	-	-	H		L		-	-	CK
	-	-	K		-	-	E		CL
	H		-	-	-	-	L		CK

Таблица С2а

Участок на угольнике	Участок на стержне
горизонтальный	вертикальный	Рис. 1,2,4,6,8	Рис. 0,3,5,7,9

ПримерC2. На угольник ABC (<ABC=90˚), конец А которого жестко заделан, в точке С опирается стержень DE (рис. С2, а).

Стержень имеет в точке D неподвижную шарнирную опору и к нему приложена сила , а к угольнику – равномерно распределенная на участке КВ нагрузка интенсивности q и пара с моментом М.

Дано: F=10кН, М=5кН×м, q=20 кН/м, а=0,2 м. Определить: реакции в точках А, С, D, вызванные заданными нагрузками.

Решение.

1. Для определения реакции расчленим систему и рассмотрим сначала равновесие стержня DE (рис. С2, б). Проведем координатные оси xy и изобразим действующие на стержень силы: силу , реакцию ,направленную перпендикулярно стержню, и составляющие реакции шарнира D. Для получения плоской системы сил составляем три уравнения равновесия:

(1)

(2)

(3)

2. Теперь рассмотрим равновесие угольника (рис. С2, в). На него действуют сила давления стержня , направленная противоположно реакции , равномерно распределенная нагрузка, которую заменяем силой , приложенной в середине участка КВ (численно Q = q×4a = 16кН), пара сил с моментом М и реакция жесткой заделки, слагающаяся из силы, которую представим составляющими , и пары с моментом М_А. Для этой плоской системы сил тоже составляем три уравнения равновесия:

(4)

(5)

(6)

При вычислении момента силы разлагаем ее на составляющие и и применяем теорему Вариньона. Подставив, в составленные уравнения числовые значения заданных величин, и решив систему уравнений (1) – (6), найдем искомые реакции. При решении учитываем, что численно N’=N в силу равенства действия и противодействия.

Здесь также необходимо выполнить проверку правильности определения реакций путем составления уравнения моментов относительно точки соединения составных частей конструкции (точки С) для всей системы в целом.

Ответ: N= 21,7 кН, Y_D=-10,8 кН; Х_D=8,8 кН,Х_А=-26,8кН, У_А = 24,7 кН,

М_А = -42,6кН×м. Знаки указывают, что силы и момент М_А направлены противоположно показанным на рисунках.

Задача С3

Ферма, состоящая из 7 стержней, и пяти узлов закреплена, как показано на рис. С3.0. - С3.9. В узлах фермы приложены две сосредоточенные силы, значения которых и точки их приложения указаны в таблице С3. Здесь же даны размеры фермы. Требуется методом вырезания узлов определить усилия во всех стержнях фермы. Для трех стержней фермы (по усмотрению студента) сделать проверку методом сечений. При расчете принять α=60⁰.

Указание. Вначале необходимо составить уравнения равновесия для всей фермы в целом, и определить три неизвестные реакции опор.

Таблица С3

Силы
F1= 10 кH	F2= 20 кH	F3= 30 кH	F4= 40 кH
Номер условия	а, м	H, м	Точка приложения	α1 град	Точка приложения	α2 град	Точка приложения	α3 град	Точка приложения	α4 град
			С		-	-	-	-	D
			-	-	E		C		-	-
			E		-	-	-	-	C
			-	-	E		C		-	-
			C		-	-	-	-	D
			-	-	D		-	-	C
			E		-	-	C		-	-
			-	-	C		-	-	E
			E		-	-	D		-	-
			-	-	D		C		-	-

ПримерС3.

В узлах фермы С и D (рис. С3) приложены силы: F₁ =10 кH, и F₂ =20 кH. Определить усилия во всех стержнях фермы методом вырезания узлов. Кроме того, определить усилия в стержнях 2, 3, 4 методом сечений. Размеры указаны на рисунке.

1. Определим реакции опор: x_A, y_A, R_B.

Для этого составим уравнения равновесия для всей фермы в целом.

(1)

(2)

(3)

Решая уравнения (1,2,3), находим: x_A = - 16,309 кН; y_A = 1,752 кН; R_B = 15,297 кН.

2. Определим усилия в стержнях фермы методом вырезания узлов. Вначале будем полагать, что все стержни растянуты, тогда их реакции будут направлены во внутрь стержней. Покажем все силы, действующие на узел А (рис. С3а). Поскольку в узле А сходится только 2 стержня, то усилия в этих стержнях можно определить из уравнений равновесия:

Отсюда:

Далее можно рассмотреть равновесие узла В ( в нем сходится два стержня) или узла С (рис. С3б). В узле С сходится три стержня, но усилие s₁ нами уже определено, поэтому из уравнений равновесия можно найти s₂ , s₃ . Угол α определим из треугольника АЕС: , тогда: α = 36,9º, и sin α = 0,6; cos α = 0,8.

Составим уравнения равновесия:

Решая эту систему уравнений, находим: s₃ = 11,254 кH, s₂ = -17,663 кH. Отрицательные значения усилий в первом и втором стержнях показывают, что эти стержни не растянуты, как предполагалось, а сжаты.

Далее можно рассмотреть равновесие узла Е и определить s₅ , s₆ . Из уравнения проекций на ось у для узла D, можно найти усилие в седьмом стержне – s₇. Уравнения равновесия для узла В должны обратиться в тождество, они являются уравнениями проверки.

3. Определим усилия в стержнях 2,3,4 методом сечений. Рассечем ферму сечением I-I (рис. С3в), и составим уравнения равновесия для части фермы, лежащей слева от сечения.

(4)

(5)

(6)

Из уравнения (4) находим s₂ = -17,663 кH.

Из уравнения (5) находим s₃ = 11,254 кH. Из уравнения (5) находим s₄ = 16,309 кH.

Сравнивая эти результаты с полученными ранее, делаем вывод о том, что задача решена правильно.

Задача С4

Шесть невесомых стержней соединены своими концами шарнирно друг с другом в двух узлах и прикреплены другими концами (тоже шарнирно) к неподвижным опорам А, В, С, D (рис. С4.0-С4.9, табл. С4). Стержни и узлы (узлы расположены в вершинах Н, К, L, или М прямоугольного параллелепипеда) на рисунках не показаны и должны быть изображены решающим задачу по данным таблицы. В узле, который в каждом столбце таблицы указан первым, приложена сила Р=200 Н; во втором узле приложена сила Q=100 H. Сила образует с положительными направлениями координатных осей х, y, z углы, равные соответственно: a₁ = 45°, b₁ = 60°, g₁ = 60°, а сила Q – углы: a₂ = 60°, b₂ = 45°, g₂ = 60°. Грани параллелепипеда, параллельные плоскости xy, - квадраты. Диагонали других (боковых) граней образуют с плоскостью xy угол j=60°, а диагональ параллелепипеда образует с этой плоскостью угол Q=51°. Определить усилия в стержнях.

Указания. Задача С4 – на равновесие пространственной системы сходящихся сил. При ее решении следует рассмотреть отдельно равновесие каждого из двух узлов.

Таблица С4

Номер условия
Узлы	H, M	L, M	K, M	L, H	K, H
Стержни	HM, HA, HB, MA, MC, MD	LM, LA, LD, MA, MB, MC	KM, KA, KB, MA, MC, MD	LH, LC, LD, HA, HB, HC	KH, KB, KC, HA, HC, HD
Номер условия
Узлы	M, H	L ,H	K, H	L, M	K, M
Стержни	MH, MB, MC, HA, HC, HD	LH, LB, LD, HA, HB, HC	KH, KC, KD, HA, HB, HC	LM, LB, LD, MA, MB, MC	KM, KA, KD, MA, MB, MC

Рис. С4.0 Рис. С4.1

Рис. С4.2 Рис. С4.3

Рис. С4.4 Рис. С4.5

Рис. С4.6 Рис. С4.7

Рис. С4.8 Рис. С4.9

ПримерС4.

Конструкция состоит из невесомых стержней 1, 2, …,6, соединенных друг с другом (в узлах К и М) и с неподвижными опорами А, В, С, D шарнирами (рис. С4). В узлах К и М приложены силы и , образующие с координатными осями углы a₁, b₁, g₁ и a₂, b₂, g₂ соответственно (на рисунке показаны только углы a₁, b₁, g₁).

Дано: Р = 100 Н, a₁ = 60°, b₁ = 60°, g₁ = 45°, Q = 50 H, a₂ = 45°, b₂ = 60°, g₂ = 60°;

y = 30°, j = 60°, d ≈ 74°. Определить: усилия в стержнях 1 - 6.

Решение.

1. Рассмотрим равновесие узла К, в котором сходятся стержни 1, 2, 3. на узел действуют сила и реакции стержней, которые направим по стержням от узла, считая стрежни растянутыми. Составим уравнения равновесия этой пространственной системы сходящихся сил:

(1)

(2)

(3)

Решив уравнения (1), (2), (3) при заданных числовых значениях силы Р и углов, получим: N₁ = 349 H, N₂ = - 345 H, N₃ = 141 H.

2. Рассмотрим равновесие узла М. На узел действует силы , стержней. При этом по закону о равенстве действия и противодействия реакция направлена противоположно , численно же: N′₂ = N₂.

Составим уравнения равновесия:

(4)

(5)

(6)

При определении проекций силы на оси х и у в уравнениях (4) и (5) удобно сначала найти проекцию этой силы на плоскость xOy

(по величине ), а затем найденную проекцию на плоскость спроектировать на оси. Решив систему уравнений (4), (5), (6) и учитывая что: , найдем, чему равны N₄, N₅, N₆.

Ответ: N₁ = 349 H; N₂ = - 345 H; N₃ = 141 H; N₄ = 50 H; N₅ = 329 H; N₆ = - 66 H.

Знаки показывают, что стержни 2 и 6 сжаты; остальные – растянуты.

Задача С5

Две однородные прямоугольные, тонкие плиты жестко соединены (сварены) под прямым углом друг к другу, и закреплены, как показано на рис. С5.0-С5.9.

Размеры плит указаны на рисунках; вес большей плиты Р₁ = 5 кН, вес меньшей плиты Р₂ = 3 кН. каждая из плит расположена параллельно одной из координатных плоскостей (плоскость xy горизонтальная). На плиты действует пара сил с моментом М = 4 кН×м, лежащая в плоскости одной из плит, и две силы. Значения этих сил, их направления и точки приложения указаны в табл. С5; при этом силы и лежат в плоскостях, параллельных плоскости xy, сила - в плоскости, параллельной xz, и сила в плоскости, параллельной yz. Точки приложения сил (D, E, H, K) находятся в углах или в серединах сторон плит. Определить реакции связей в точках А и В и реакцию стержня (стержней). При подсчетах принять a = 0,6 м.

Указания. Задача С5 – на равновесие тела под действием произвольной пространственной системы сил. При ее решении учесть, что реакция сферического шарнира (подпятника) имеет три составляющие (по всем трем координатным осям), а реакция цилиндрического шарнира (подшипника) – две составляющие, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси шарнира (подшипника). При вычислении момента силы часто удобно разложить ее на две составляющие , параллельные координатным осям (или на три); тогда, по теореме Вариньона,

Таблица С5

Силы
Номер условия	F1=6кН	F2=8кН	F3=10кН	F4=12кН
Точка приложения	a1, град	Точка приложения	a2, град	Точка приложения	a3, град	Точка приложения	a4, град
	E		H		-	-	-	-
	-	-	D		E		-	-
	-	-	-	-	K		D
	K		-	-	D		-	-
	-	-	E		-	-	D
	H		K		-	-	-	-
	-	-	H		E		-	-
	-	-	-	-	H		K
	D		-	-	K		-	-
	-	-	E		-	-	H

ПримерС5.

Горизонтальная прямоугольная плита весом Р (рис. С5) закреплена сферическим шарниром в точке А, цилиндрическим (подшипником) в точке В и невесомым стержнем DD'. На плиту в плоскости, параллельной xz, действует сила , а в плоскости, параллельной yz, — пара сил с моментом М.

Дано: Р=3 кН, F=8 кН, М = 4 кН-м, a = 60°, АС=0,8 м, АВ = 1,2 м, ВE=0,4 м, ЕH = 0,4 м. Определить: реакции опор A, Bи стержня DD'.

Решение. 1. Рассмотрим равновесие плиты. На плиту действуют заданные силы и пара с моментом M, а также реакции связей. Реакцию сферического шарнира разложим на три составляющие Xа, Ya, Za, цилиндрического (подшипника) — на две составляющие Хв, Z_B(в плоскости, перпендикулярной оси подшипника); реакцию стержня направляем вдоль стержня от D', предполагая, что он растянут.

2. Для определения шести неизвестных реакций составляем шесть уравнений равновесия действующей на плиту пространственной системы сил:

Подставив в составленные уравнения числовые значения всех заданных величин, и решив эти уравнения, найдем искомые реакции.

Ответ: X_A = 3,4 кН; Y_A = 5,1 кН; Х_В=-7,4 кН; Z_B=2,1 кН; N=5,9 кН, Z_A=4,83 кН. Знак минус указывает, что реакция Х_В направлена противоположно показанной на рис. С5.