Уравнение изогнутой оси балки на упругом основании

Рассмотрим балку, которая лежит на грунте.

рис.16.15 рис.16.16

Такой моделью описываются ленточные фундаменты, дорожные полотна, обшивки трехслойных панелей типа сэндвич.

Грунт противодействует внешним силам некоторой погонной силой . Выразим ее через прогиб . Для этого вырежем малый элемент (см. рис.16.15 и рис.16.16). Сравнивая рис.16.13 и рис.16.16 видим, что элемент балки, фактически представляет собой мерный стержень, для которого реакция определяется по 16.16, т.е. реакция балки с прогибом связана соотношением:

.

Далее запишем уравнение равновесия элемента балки и уравнение ее изогнутой оси

(16.17)

(16.18)

(16.19)

Из рис.16.15 видно, что на балку действует две погонные силы: и . Тогда получим:

(16.20)

Здесь знак «-» перед поставлен потому, что осадка v элемента имеет отрицательный знак, а реакция должна быть противоположна погонной силе .

Подставим (16.18) в (16.20):

.

Подставляя сюда (16.19) получаем искомое уравнение:

. (16.21)

Решение запишем в виде суммы:

.

Простой подстановкой в (16.21) можно проверить, что решение имеет вид:

. (16.22)

Здесь .

Частное решение находим, подставляя = B в уравнение (16.21):

.

Остальные константы получают из геометрических соображений (условий закрепления) и условий статики на концах балки.

Бесконечная балка на упругом основании

Этой моделью можно описать, например, поведение дорожного полотна с автомобилем веса Р. Погонная сила представляет собой погонный вес полотна. Мы можем представить общее решение как сумму решения 2-х задач: задачи о действии только силы веса q_веса и задачи о действии только силы Р. Здесь соответствует случаю когда, действует лишь q_веса.

Прогиб , который содержит, , соответствует случаю , . Рассмотрим этот случай.

рис.16.17

Пусть s – расстояние от силы Р до сечения.

Слева и справа прогиб симметричный, поэтому исследуем прогиб v только справа, то есть, найдем функцию v(s).

Для отыскания учтем, что прогиб должен быть ограничен при любых s. Однако первые 2 слагаемых не ограничены, т.е.

при .

Отсюда вытекает, что должно быть .

Хотя для анализа решения можно и не искать С₃, С₄, найдем их для иллюстрации того как находится выражение для прогиба.

В силу симметричности задачи под силой должно быть

.

По теореме Ферма имеем соотношение:

.

Подставляя получаем:

(16.23)

Отсюда:

(16.24)

Следующее уравнение относительно получим из статических соображений. Виду симметричности задачи реакция основания справа (см. рис 16.18) известна: .

рис.16.18

Как видно из рис.16.18 в сечении под силой (при s = 0) согласно определению поперечной силы

. (16.24)

Из уравнения (16.18) получим:

. (16.25)

Подставляя s = 0 находим из (16.24):

.

Отсюда: .

Итак: .

Анализ решения.

Изобразим графически полученные решения. Если нет силы Р, то согласно решению балка оседает как жесткое тело на величину (см.рис. 16.19).

рис.16.19 рис.16.20

Если есть только сила , то осадка имеет волнообразный, но затухающий характер, как это изображено на рис. 16.20. Видно, что при отсутствии силы веса под действием только силы Р некоторые области балки приподнимаются над нулевым уровнем грунта.

Балка не будет приподниматься над первоначальным уровнем (т.е. будет отрицательным) только тогда, когда:

.

Суммарная осадка балки для этого случая изображена на рис.16.21.

рис.16.21

Практические выводы из решения. Для того чтобы фундамент или дорожное полотно, не отрывались от грунта под действием сосредоточенной силы необходимо, чтобы погонный вес фундамента или полотна был достаточно большой. Это означает, что толщина фундамента или дорожного полотна должна быть достаточно велика.

Потеря устойчивости

Рассмотрим сжатый стержень.

рис.17.1 рис.17.2

Пусть сила Р приложена в центре тяжести сечения стержня. На первый взгляд у силы Р нет плеча, значит , значит, для изгиба нет причин.

Это справедливо при малых Р. Однако при некотором значении Р происходит резкая смена прямолинейной формы в криволинейную при малейшем поперечном воздействии (см.рис.17.2)

Это явление называется потерей устойчивости.

Сила Р, при которой это происходит, называется критической, а соответствующее ей напряжение называют критическим напряжением:

.

Опыт показывает, что для потери устойчивости стержня требуется меньшая сила, чем для разрушения , например, кубика из того же материала сжатием. Таким образом:

, .

здесь Р* - разрушающая сила.

Уменьшая критическое напряжение σ_кр на коэффициент запаса k_уст получают допустимое напряжение [σ]_уст , больше которого не должно быть рабочее напряжение:

|σ| ≤[σ]_уст.

Для удобства расчетов часто пользуются таблицами, в которых приводится коэффициент φ, показывающий, насколько [σ]_уст меньше основного допустимого напряжения [σ]:

φ=[σ]_уст / [σ].

Если на растяжение и сжатие разрушающие напряжения различны, то под φ понимают величину:

φ=[σ]_уст / [σ]_сж.

Формула Эйлера

Впервые формулу для вычисления вывел Л. Эйлер.

рис.17.3

Рассмотрим балку, потерявшую устойчивость, т.е. (см. рис.17.3)

Изгиб здесь имеет место под действием момента , где v – прогиб. Для отыскания используем уравнение изогнутой оси балки:

(17.1)

Получили дифференциальное уравнение для .

Обозначим

.

Тогда

(17.2)

Решение этого уравнения можно записать в виде:

(17.3)

т.к. легко проверить, что слева в (17.2) получиться то же самое, что и справа.

Константы В и С отыскиваем из условий закрепления:

(1): на левом краю

(2): на правом краю

Это дает:

(1): на левом краю

(2): на правом краю

Отсюда

(1):

(2):

При , значит прогиба нет, т.е. нет потери устойчивости. Поскольку это противоречит исходному предположению, то рассмотрим уравнение

Оно имеет следующие решения:

, (17.4)

где

Рассмотрим решения (17.4).

1) - это решение не подходит, т.к. стержень не изогнется без нагрузки.

2)

3) ,

Второе решение дает: (см. рис. 17.4)

Третье решение дает: (см. рис. 17.5)

Рис. 17.4 Рис. 17.5

Ясно, что при уже произойдет изгиб, и дальнейшее повышение нагрузки невозможно, т.е. до величины нагрузка Р увеличиться не может. Аналогично и для других решений (17.4). Таким образом, получим что:

(17.5)

(17.6)

Мы рассмотрели изгиб в вертикальной плоскости, аналогично можно рассмотреть изгиб в горизонтальной плоскости, тогда получим:

(17.7)

Очевидно, что изгиб произойдет в той плоскости, которая требует меньшее значение . Видно, что в (17.6) и (17.7) отличаются только моментом инерции. Таким образом, нужно взять тот случай, в котором момент инерции меньше:

(17.8)

Известно, что момент инерции достигает наименьшего значения относительно одной из главных центральных осей. Следовательно, для вычисления необходимо найти главные центральные оси и главные моменты, а затем выбрать из них наименьшее.

Важные примечания.

1) Здесь предполагалось, что в обеих плоскостях опоры - шарнирные.

2) При выводе формулы предполагалось, что стержень упругий и соблюдается закон Гука, поскольку уравнение изогнутой оси балки получено при условии, что стержень линейно упругий. Таким образом, формула верна только тогда, когда справедлив закон Гука.

Рис. 17.6

Таким образом, формула Эйлера справедлива только тогда, когда:

(17.9)

3).. Вывод формулы Эйлера можно провести и из других соображений, а именно из закона сохранения энергии, полагая что , где

,