Допустимых значений энергии частицы

Константу С найдем из условия нормировки ψ-функции:

(5.6)

откуда следует, что С = √(2/а) и, таким образом, решение нашего уравнения

имеет вид

(5.7)

Здесь необходимо отметить, что в стационарном состоянии к не есть волновое число волны де Бройля, ибо ψ-функция в данном случае не является плоской волной. Дело в том, что у частицы нет определенного импульса, имеется лишь распределение по k, а в основном состоянии (n = 1) вообще Δр~р. В этом смысле р ≠ ћk, хотя к строго определено. Это и есть проявление корпускулярно-волнового дуализма. Мы уже подчеркивали, что в квантовой механике можно говорить лишь о полной энергии системы, но нельзя делить ее на кинетическую и потенциальную.

Посмотрим, как выглядит наше решение (волновая функция и ее квадрат) при разных n. На рис. 5.2 а изображена волновая функция частицы в одномерной

потенциальной яме с бесконечными стенками; рис. 5.2 б — вероятность нахождения частицы в пространстве (на этом рисунке масштаб энергий уровней не соблюден).

Рис. 5.2 а- Волновая функция частицы в одномерной

потенциальной яме с бесконечными стенками

б - вероятность нахождения частицы в пространстве (на этом рисунке масштаб энергий уровней не соблюден)

Из полученного результата можно сделать следующие выводы:

1. Энергия частицы Е в потенциальной яме не может быть произвольной,

она принимает ряд дискретных значений.

2. Наименьшая возможная энергия

Е₁ = ћ²π²/(2mа²)

не соответствует «классическому» минимуму — дну ямы. Она называется нулевой энергией, и ее существование есть следствие принципа неопределенностей: ограничив частицу областью возможных значений координат (0, а), мы вносим разброс по импульсам, т. е. минимальная энергия всегда отлична от нуля.

Исходя из приведенных ранее соображений, — энергия основного состояния соответствует наименьшей возможной полной энергии нической системы, совместимой с принципом неопределенностей, — легко оценить энергию основного состояния частицы в прямоугольной яме ширины а с бесконечными стенками. В данном случае

Δх ~~ а,

а потому импульс частицы

р ~~ Δр ~ ћ/a.

Если отсчитывать, как это принято, энергию частицы от дна ямы, то ее минимальная энергия будет равна

Что, естественно, совпадает с выражением (5.5) для энергии при n = 1.

3. Спектр возможных значений энергии частицы в прямоугольной яме с

бесконечными стенками квадратичный (Е_n ~ n²).

4. Дискретность энергетических уровней с необходимостью приводит к

дискретности спектров излучения и поглощения энергии.

5. Как видно из рис. 5.2, по мере увеличения энергии (числа n) максимумы кривой |ф|² располагаются все ближе и ближе и картина «сливается», становясь классическим равномерным распределением, при котором частица с равной вероятностью может находиться в любой точке от 0 до а. Это еще одна иллюстрация уже упоминавшегося критерия: классическая механика соответствует условию а >> λ, т. е. при длинах волн, много меньших размеров системы, в которой движется (локализована) частица, квантово- механические особенности частиц оказываются несущественными.

Рассмотренный нами случай потенциальной ямы с бесконечными стенками имеет скорее методическое, нежели практическое значение. Реально мы имеем дело с ямами со стенками конечной высоты, и, разумеется, наиболее интересен вариант, когда потенциальная яма не одномерна, а трехмерна.

Рассмотрим простой трехмерный случай, когда потенциальная яма сферически симметрична относительно некоторого силового центра. Это означает, что U = U(r), где r = |r|. Ограничимся нахождением только сферически симметричных решений — решений, зависящих только от r, т. е. при ψ= ψ(r). Тогда в уравнении Шредингера для нашего случая

(5.9)

радиальная часть лапласиана, записанного в сферических координатах, име-

имеет вид

В отличие от одномерного уравнения, здесь появился новый член 2/r • d/dr.

Сделаем в (5.9) замену переменных: ψ= ξ/r. Тогда

и мы имеем

Получается, что наше уравнение для ф свелось к следующему уравнению

для функции ?:

(5.11)

Это уравнение математически тождественно уравнению для одномерного движения, но с одним отличием — при r = 0 функция ξ(r) должна не только быть конечной, но и обращаться в нуль, так как в противном случае функция ψ = ξ/r обращалась бы в бесконечность при r = 0. Поэтому задача о движении частицы в трехмерном сферически симметричном потенциале эквивалентна одномерной задаче с потенциалом, определяемым выражением

(5.12)

Нас будут интересовать состояния финитного движения, относящиеся к дискретному спектру энергий 0 < Е < U₀. Так как функция U(x) является ступенчатой, то для решения задачи удобно разбить область изменения x, как мы это делали при решении задачи о прохождении частицы через потенциальный барьер, на два участка с постоянными значениями U.

В области 0 < х < а уравнение Шредингера имеет вид

, (5.13)

а в области вне ямы:

(5.14)

Общие решения этих уравнений можно записать в виде

(5.15)

где индексами 1 и 2 обозначены решения внутри и вне ямы соответственно.

Из граничного условия ψ₁(0) = 0 следует, что а = 0. Чтобы волновая функция оставалась всюду конечной, необходимо соблюдение условия с = 0. И, наконец, из условия непрерывности волновой функции и ее производной по координате в точке х = а найдем

(5.16)

откуда получаем,

(5.17)

При выводе этого соотношения мы использовали тригонометрическое равенство

sin² a = tg²a/(l + tg² а)

и следующую из формул (5.13) и (5.14)

связь

к₁ ² + к₂ ² = 2mU₀/h².

Pis 5.3

Изобразив графически левую и правую части последнего уравнения (рис. 5.3),

найдем точки пересечения прямых с синусоидой. При этом корни данного уравнения, отвечающие собственным значениям Е, будут соответствовать тем точкам

рис 5.3 пересечения, для которых tg (к₁а) < 0, т. е. будут находиться в четных четвертях

окружности (эти участки оси абсцисс выделены на рисунке жирными отрезками).

Из графика видно, что корни уравнения (т. е. связанные состояния) существуют не всегда; пунктиром показано предельное положение прямой, соответствующей условию k₁a = π/2. Именно этим условием определяется минимальное значение энергии частицы в яме конечной глубины — ее нулевая энергия, равная величине

. (5.18)

Стационарные уровни возникают только в том случае, если Е < U₀. Поэтому уровни в потенциальной яме рассматриваемого типа возникают лишь при выполнении неравенства

. (5.19)

В левой части последнего неравенства стоят параметры потенциальной ямы, а в правой — только постоянные числа и универсальные постоянные. Если полученное нами условие не выполнено (потенциальная яма слишком узкая или слишком мелкая), в ней не помещается ни одного энергетического уровня. Иными словами, в таком случае, несмотря на то, что потенциал является для частицы притягивающим, связанного состояния не образуется.

Подобная ситуация реально встречается. Например, силы взаимодействия между двумя нейтронами являются силами притяжения, однако ядра, состоящего из двух нейтронов, в природе не существует. Аналогичным образом не существует и ядра, состоящего из двух протонов.

Следует отметить еще одно отличие классического и квантового поведения частицы в потенциальной яме. Согласно квантовой механике, частица, находящаяся в потенциальной яме со «стенками» конечной толщины (типа кратера вулкана), в результате туннельного эффекта может покинуть последнюю, даже если ее энергия меньше высоты стенок потенциальной ямы.

В этом случае говорят, что уровни энергии частицы являются квазистационарными, т. к. частица «живет» в таком состоянии конечное время. О подобных уровнях также говорят как о метастабилъных. Все уровни частицы в потенциале со стенками конечной толщины имеют конечную ширину, т. е. энергия такого состояния точно не определена (состояние не является строго стационарным); при этом ширина состояния зависит, естественно, от его энергии и формы потенциала.

Форма потенциальной ямы и ее размеры (глубина и ширина), определяемые физической природой взаимодействия частиц, могут быть различными.

Два частных случая формы потенциальных ям имеют очень большое значение в физике.

1. Кулоновская потенциальная яма

U = -Ze²/(4πе₀r)),

описывающая притяжение атомного электрона ядром с зарядом Z.

2. Потенциал гармонического осциллятора (U = kх²/2), играющий важную роль в физике твердого тела, электромагнитного излучения, колебательных спектров молекул, являющийся одной из моделей ядерного потенпотенциала.

Для одномерного движения справедлива так называемая осцилляционная теорема: волновая функция ψ(x) дискретного спектра, соответствующая (n + 1)-у по величине собственному значению Е_n, обращается в нуль (при конечных значениях х) n раз. Примером может служить рассмотренная выше задача о частице в прямоугольной яме (см. рис. 5.2).

Обсуждая вопрос о поведении системы при больших квантовых числах, мы показали, что при этих условиях поведение частицы утрачивает особенности, характерные для микромира — оно скорее напоминает ее классическоеповедение. Это является частным случаем более общего принципа —принципа соответствия, выдвинутого Бором, который гласит:

Любая новая теория, претендующая на большую общность, чем общепринятые теории, обязательно должна переходить в «старую» в тех условиях, в которых была построена и проверена на опыте «старая физика».

Квантовый осциллятор

Перейдем теперь к рассмотрению характерных задач квантовой механики, и прежде всего к задаче о квантовом осцилляторе. Общее для всех осцилляторов заключается в том, что их энергия складывается из двух частей. Одно слагаемое пропорционально квадрату отклонения осциллятора от положения равновесия — это потенциальная энергия. Если q — величина такого отклонения, то потенциальная энергия равна

(5.20)

Коэффициент 7 называется «жесткостью» осциллятора. Второе слагаемое — кинетическая энергия — может быть записано в виде

Т = βq′²/2, (5.21)

где q′ — скорость изменения величины q во времени. Величину β называют «массой осциллятора». Как бы ни был конкретно устроен осциллятор, его угловая частота ω = 2πv и период колебаний Т выражаются через жесткость γ и массу β следующим образом:

ω = √(γ/β)

T = 2π√(γ/β)

случае маятника можно считать, что роль жесткости играет ускорение силы тяжести g, а массы — длина маятника l (поскольку для маятника как кинетическая, так и потенциальная энергия — обе пропорциональны реальной механической массе). Таким образом можно рассмотреть сразу все осцилляторы независимо g от их физической природы. Иначе говоря, осциллятором является частица, движущаяся в потенциале

вида

U = (1/2)mω²x² (5.23)

Рис. 5.4

где ω — частота классического осциллятора (на рис. 5.4 изображен потенциал гармонического осциллятора и дано схематичное изображение волновой функции стационарного состояния). В общем случае это задача о малых колебаниях вблизи положения устойчивого равновесия. Нам несущественно, как реализован осциллятор: представляет ли он собой груз на пружинке или колебательный контур.

Согласно осцилляционной теореме, если частица движется в области размером L, то на этой длине должно укладываться целое число полуволн (т. е. должна образоваться стоячая волна):

L(E_n) ~ nλ/2 (5.24)

Поскольку длина волны де Бройля

λ = h/√( 2mE), (5.25)

то, если энергию отсчитывать от дна ямы, получаем

L_n = L(E_n) ~ πћn/√( 2mE_n). (5.26)

Найдем, как зависит в нашем конкретном гармоническом потенциале характерный размер L от энергии уровня Еn. Характерная область находится из условия

U(L) = Е_n. (5.27)

Из выражения для потенциала (5.23) получаем

Е_n~ (1/2) mω²L²_n —> L_n ~ √E_n/ω. (5.28)

С учетом (5.26) находим следующее соотношение

√E_n/ω ~ πћn/√( 2mE_n)

(5.29)

или

Е_n= Сnћω, (5.30)

где С — константа. Чтобы отыскать ее величину, воспользуемся принципом соответствия Бора, который в нашем случае означает, что при больших квантовых числах расстояние между соседними уровнями должно равняться классической частоте движения, т. е.

dE_n/dn = ћω_кл. (5.31)

Отсюда сразу следует, что С = 1.

Точное решение задачи о гармоническом осцилляторе приводит к спектру

его состояний

Е_n= (n + l/2)ћω. (5.32)

Таким образом, при n = 0 энергия равна не нулю, a E₀ = ћω/2. Это связано

с соотношением неопределенностей, и, как мы уже неоднократно подчеркивали, используя его, легко получить оценку нулевой энергии. Учитывая, что

р ~ ћ/2x, U = kх²/2, Е = kх²/2 + ћ²/(8mх²) (5.33)

и минимизируя полную энергию, находим характерную амплитуду нулевых

колебаний осциллятора

dE/dx = kх- ћ²/(4mх³) =0, —> х₀ = ⁴√(ћ²/(4km)). (5.34)

Подставляя (5.34) в выражение для энергии (5.33), получаем

Е₀ = ћω/2. (5.35)

Отметим, что спектр оказался эквидистантным. Кроме того, легко записать уравнение квантования энергии трехмерного осциллятора как сумму трех одномерных:

Е_n = ћω(n₁ + n₂ + n₃ + 3/2) = ћω (n + 3/2), (5.36)

где n = n₁ + n₂ + n₃ называют главным квантовым числом осциллятора.

Мы применили к осциллятору, не интересуясь его устройством, принципы квантовой механики, установленные первоначально для некой частицы, находящейся в потенциальной яме (электрона). Естественно ожидать, что общие принципы должны быть такими же и для других частиц.

Особо следует подчеркнуть одно важное свойство квантового осциллятора. Когда энергия минимальна, классический осциллятор находится в покое в положении равновесия, между тем как квантовый в наинизшем состоянии при n = 0 совершает колебания — «нулевые колебания». Кинетическая и потенциальная энергии этих колебаний ~ ћω. Среднее значение координаты осциллятора равно нулю, а среднее значение квадрата координаты дается приведенной выше формулой. Это замечательное свойство квантовых осцилляторов хорошо проверено на опыте и чрезвычайно важно для современной физики.

Если мы рассмотрим звуковые колебания твердого тела как набор квантовых сцилляторов, то получим, что при абсолютном нуле температуры все атомы твердого тела не неподвижны, а совершают нулевые колебания.

Это подтвердили опыты по рассеянию света при низких температурах. Если же рассмотривать электромагнитные волны как набор осцилляторов в пустом пространстве, то мы придем к заключению, что в пустоте, даже когда в ней нет частиц или квантов, должны происходить «нулевые колебания» электромагнитного поля, и эти колебания также были обнаружены.