Закон сохранения механической энергии

При движении под действием потенциальных сил сумма кинетической и потенциальной энергий системы в каждом ее положении остается величиной постоянной.

Т+П=const

Малые колебания точки около положения устойчивого равновесия.

Малые колебания системы представляют собой такое движение системы, при котором значения обобщенных координат, определяющих положение системы, и обобщенных скоростей в любой момент времени настолько малы, что их можно рассматривать как величины первого порядка малости.

Свободные незатухающие колебания и их свойства.

или

Свойства:

1) амплитуда и начальная фаза колебаний зависят от начальных условий; 2) частота k, а следовательно, и период Т колебаний от начальных условий не завися и являются неизменными характеристиками данной колеблющейся системы.

Уравнение свободных колебаний при отсутствии сопротивления.

x=c₁cos(kt)+c₂sin(kt)

Частота и период свободных незатухающих колебаний.

Промежуток времени Т, в течение которого точка совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний.

Величина , обратная периоду и определяющая число колебаний, совершаемых за одну секунду, называется частотой колебаний.

Амплитуда и фаза свободных незатухающих колебаний.

Амплитуда наибольшее отклонение точки от положения равновесия.

X=asin(kt+α) a-амплитуда a=√x₀²+(x²\k² )

Фаза колебаний определяет положение точки в данный момент, направление ее последующего движения.

Дифференциальное уравнение свободных колебаний при сопротивлении, пропорциональном

Скорости.

y+k²y=0

Уравнение свободных колебаний при сопротивлении, пропорциональном скорости.

y=Asin(kt+β)

Период свободных колебаний при сопротивлении, пропорциональном скорости.

T=2π\k=2π√ƒ_cт\g

Декремент колебаний.

Декремент обозначает убывание. Декремент- отвлеченное число e^-nT*\2

e^-nT*\2=A_i+1\A_i=(Ae^-n(t_i+T*\2))\Ae^-nt

T*-период затух колебаний.

Логарифмический декремент колебаний.

Логорифмич декремент- натуральный логарифм декремента: -nT*\2

-nT*\2=-πn\√R²-n² (n-коэф затухания)

Случай апериодического движения

Апериодическое движение точки при n ³ k или b ³ 2 . При n > k корни характеристич-ого ур-я вещественны, общее решение: , обозначая С₁=(В₁+В₂)/2, С₂=(В₁-В₂)/2, (ch, sh – гиперболические косинус и синус), если ввести В₁= Аshb, В₂= Аchb, то – это уравнение не колебательного движения (апериодического), т.к. гиперболический синус не является периодической функцией. При n = k корни характеристич. ур-я вещественны, равны и отрицательны: z₁=z₂= – n, общее решение: , или , движение также апериодическое.