Построение ядра сечения

Рассмотрим некоторое сечение (рис.19.14).

рис.19.14 рис.19.15

Если точка приложения силы F находится на границе ядра сечения, то зоны растяжения не будет. Бесконечно малое удаление силы от ядра приведет к тому, что появится зона растяжения, значит для точек границы ядра нейтральная линия касается нашего сечения.

Следовательно, для построения ядра надо рассмотреть всевозможные касательные к сечению и найти для этих случаев точки приложения силы. Соединив затем эти точки, найдем ядро сечения.

Примечание:

Если контур состоит из прямых отрезков, то задача построения ядра сильно облегчается.

Рассмотрим процедуру построения ядра сечения.

Запишем уравнение I-ой нейтральной линии (рис.19.15). Это уравнение, проходящее через две точки 1-2:

. (19.9)

Уравнение (19.9) должно совпадать с уравнением (19.8). Таким образом, уравнение (19.9) известно, и известны , надо найти .

Для этого сначала полагаем x=0. Из соотношения (19.9) находим y, подставляем эти х, у в уравнение (19.8) и находим у_F.

Для отыскания х_F полагаем y = 0. Из формулы (19.9) находим x, подставляем эти х и у в уравнение (19.8) и находим х_F.

Важное примечание. Рассмотрим угловую точку В. Через точку В можно провести бесконечно много касательных.

Однако все прямые, проходящие через точку В, описываются уравнением, которое удовлетворяется при подстановке . Подставим их в уравнение (19.8):

.

Поскольку , - это известные числа, то в результате получим

,

где a,b,c – постоянные. Это есть уравнение прямой, на которой лежат точки границы ядра.

Таким образом, при переходе от стороны BC к стороне BD, искать не нужно, а нужно просто соединить прямой две точки границы ядра, которые получены для BC и BD.

Рассмотрим примеры. Найдем ядро сечения для прямоугольника.

рис.19.16

Для I-ой нейтральной линии уравнение прямой (19.9) имеет вид:

. (19.10)

Для (19.8) имеем:

, , .

Тогда (19.8) примет вид:

.

Умножая на получим:

. (19.11)

Полагаем сначала х = 0. Тогда из (19.10) вытекает, что . Подставляя в (19.11) получаем:

.

Найдем х_F. Поскольку в (19.10) можно принимать лишь , то полагаем , x – любое число, например x=b/2. Подставляя в (19.11), найдем:

.

Отсюда: .

.

Аналогично найдем точку границы ядра сечения для случая, когда нейтральная линия проходит вертикально (II-ая нейтральная линия) Тогда получим , .

Точно так же определяются еще 2 точки. В результате получим ядро сечения, изображаемое на рисунке (19.16) в виде ромба.

Для двутавра, швеллера, круга ядра сечения имеют виды, приведенные на (рис.19.17).

рис.19.17

Динамические задачи

В некоторых случаях на строительные конструкции воздействуют силы, которые быстро меняются со временем. Это может приводить к двум опасным последствиям:

1) Динамическое воздействие может превысить статическое воздействие внешних сил в разы и даже в десятки и сотни раз.

2) Может возникнуть явление резонанса.

Существует 2 способа решения задачи об определении динамического воздействия тел на конструкции. Они основаны соответственно на следующих двух законах: законе сохранения энергии и принципе Даламбера.

Удар

Рассмотрим задачу о падении груза веса F=mg с высоты Н (см.рис.20.1).

рис.20.1

Проектировщика интересует максимальная сила воздействия, которую назовем силой удара. Наряду с этой задачей рассмотрим фиктивную задачу, когда на стержень действует сила , которая равна весу тела F.

рис.20.2

Силу удара обозначим . Ясно, что: .

Введем коэффициент динамичности:

.

Тогда динамическое напряжение будет

. (20.2)

По закону Гука:

, значит .

Согласно (20.1) получим:

. (20.3)

Таким образом, проблема сводится к вычислению числа . Для его определения используем закон сохранения энергии.

Падая груз совершит некоторую работу. Эта работа не может исчезнуть, она превращается в энергию деформации сжатого стержня.

Обозначим: - работа силы Р; - энергия деформации стержня. Тогда

. (20.4)

Сначала вычислим W:

.

Здесь - путь, который пройдет сила Р. Из рис.20.1 видно, что:

.

Вычислим энергию деформации стержня:

.

Подставляя в закон сохранения энергии (20.4), получаем:

.

Сокращая на получим квадратное уравнение для :

.

Его решение имеет вид:

.

Учтем, что: .

Тогда получим:

. (20.5)

Это основная формула для вычисления коэффициента динамичности. Здесь H- высота падения груза;

- деформация стержня для фиктивной задачи при статическом нагружении (рис.20.2)

Следствия из формулы (20.5):

1) Если даже высота падения H=0, то согласно (20.5) внезапное нагружение удваивает силу веса груза.

2) Чем больше (то есть чем больше осадка стержня), тем меньше вредное воздействие удара, поскольку становится меньше. Из закона Гука следует, что этого можно добиться 3-мя способами:

.

1. Увеличить длину стержня

2. Уменьшить толщину стержня

3. Уменьшить жесткость (Е) стержня

Примечание: формулу (20.5) можно применять и при ударе по балке (рис.20.3). При этом под нужно понимать прогиб (см.рис.20.3):

рис.20.3