Плоскопараллельное движения твердого тела (задача К 2)

5.3.1 Порядок решения задач при определении

кинематических параметров плоского движения твердого тела

Решение задач на плоское движение твердого тела рекомендуется выполнять в следующей последовательности:

- изобразить механизм в заданном положении, соблюдая заданные углы и размеры звеньев;

- установить виды движений звеньев механизма;

- определить скорость точки ведущего звена механизма;

- найти положения МЦС звеньев, совершающих плоское движение;

- определить расстояния от МЦС до точек механизма, скорости которых необходимо рассчитать по условию задачи, и вычислить эти скорости из соответствующих пропорций;

- проверить найденные скорости точек механизма, используя теорему о проекциях скоростей двух точек на прямую, соединяющую эти точки;

- используя метод полюса, найти ускорения точек А и В механизма и угловую ускорение звена АВ;

5.3.2 Условие задачи К 2

Плоский механизм (рисунки 15, 16, 17, 18) состоит из трех или четырех стержней и одного или двух ползунов.

Для всех вариантов принять:

- угловая скорость кривошипа О₁А: ₁ = 2, 0 с^-1;

- длина стержней механизма:

₁ = 0,4 м; ₂ = 1,5 м; ₃ = 1,2 м; ₄= 0,6 м; АС = ВС.

В соответствии с заданными кинематическими параметрами ведущего звена механизма определить:

1) скорости указанных на рисунке точек и угловые скорости звеньев методом МЦС;

2) проверить найденные скорости точек, используя теорему о проекциях скоростей двух точек на прямую их соединяющую;

3) ускорения точек А и В механизма и угловое ускорение звена 2 методом полюса.

5.3.3 Пример решения задачи К 2

Исходные данные к расчету :

Угловая скорость кривошипа .

Длины стержней : .

Определить кинематические параметры движения точек и звеньев механизма в соответствии с условием задачи.

Решение

Изобразим механизм в заданном положении, соблюдая заданные углы и размеры звеньев (рисунок 12). Механизм рекомендуется изобразить в масштабе М 1:10.

Рисунок 12

Определяем скорости точек и угловые скорости звеньев механизма.

Звено совершает вращательное движение. Зная угловую скорость звена , определим скорость точки А: . Вектор направлен перпендикулярно звену 1 в сторону его вращения.

Звено АЕ совершает плоскопараллельное движение. Точка Е принадлежит одновременно этому звену, совершающему плоскопараллельное движение и звену ЕО₂, вращающемуся вокруг оси, проходящей через точку . Так как направление скоростей и двух точек звена 2 известны, то мгновенный центр скоростей (МЦC) звена – точка находится на пересечении перпендикуляров проведенных к векторам скоростей и . Скорости точек пропорциональны их расстояниям до МЦС и связаны соотношением

. (5)

Так как - равносторонний, то , и тогда

Направление угловой скорости определим по направлению вектора скорости точки А. Точка D так же принадлежит звену 2. Вектор скорости точки D направлен перпендикулярно отрезку DP₂ в сторону, соответствующую направлению угловой скорости (рисунок 13).

В отрезок DP₂ является высотой :

.

Тогда .

Вектор скорости точки D направлен перпендикулярно отрезку DP₂ в сторону, соответствующую направлению угловой скорости звена 2.

Скорость точки Е звена 2 можно определить, используя теорему о проекциях скоростей двух точек. Проекции скоростей двух точек на прямую, их соединяющую (на прямую АЕ), равны между собой:

.

Откуда = =3м/с.

Угловую скорость звена 3, вращающегося вокруг неподвижной оси , определим по известной скорости точки Е:

.

Звено АЕ совершает плоскопараллельное движения. Скорость точки D известна по модулю и направлению. Ползун В движется в горизонтальных направляющих, следовательно , направление вектора скорости точки В известно. МЦС звена 4 – точка находится на пересечении перпендикуляров, проведенных к векторам и . Скорости точек Д и В связаны соотношением

. (6)

Из находим ;

.

Тогда .

Направление угловой скорости определяем по направлению вектора скорости : .

Скорость точки В найдем по теореме о проекциях скоростей точки D и В на прямую ВD: ;

.

Теперь определим ускорение точек А и Е и угловое ускорения звена АЕ. Звено равномерно вращается вокруг оси , поэтому ускорение точки А будет представлено только его нормальной составляющей

.

А

Е

Рисунок 13

Так как точка Е принадлежит вращающемуся звену 3, ускорение точки Е будет представлено двумя составляющими :

, (8)

где ;

.

Вектор направлен вдоль звена 3 к оси вращения . Вектор направлен перпендикулярно нормальной составляющей ускорения (рисунок 14).

Ускорение во вращательной составляющей плоского движения так же представлено двумя составляющими :

, (9)

где

О1

А

1200

600

600

О3

D

B

Рисунок 14

Вектор направлен от точки Е к полюсу – точке А. Вектор направлен перпендикулярно нормально составляющей. С учетом уравнений (8) и (9) равенство (7) примет вид :

. (10)

В векторном равенстве (10) ускорение и известны только по направлению, остальные векторы определены по модулю и по направлению. Для нахождения неизвестных величин спроецируем равенство (6) на две взаимно перпендикулярные оси Х и Y, направляя ось Х вдоль звена АЕ.

На ось Х : .

Откуда

.

Знак минус показывает, что действительное направление вектора противоположно принятому первоначально.

На ось Y :

.

Откуда

Угловое ускорение звена АЕ : .

Направление углового ускорения определяем по направлению вектора .

Полное ускорение точки Е найдем по формуле

.