Устойчивость сжатых стержней

Относительно короткие и массивные стержни рассчитывают на сжатие, т.к. они выходят из строя в результате разрушения или остаточных деформаций. Длинные стержни небольшого поперечного сечения под действием осевых сжимающих сил изгибаются и теряют равновесие, то есть работают одновременно на изгиб и сжатие. Для характеристики состояний таких стержней вводят понятие устойчивого и неустойчивого равновесия.

Равновесие считают устойчивым, если за счет сил упругости после снятия внешней отклоняющей силы стержень восстановит первоначальную форму (рис. 132).

Рис. 132

Если упругое тело после отклонения от равновесного положения не возвращается к исходному состоянию, то говорят, что произошла потеря устойчивости, а равновесие было неустойчивым.

Потерю устойчивости под действием центрально приложенной продольной сжимающей силы называют продольным изгибом

.На устойчивость равновесия влияет величина сжимающей силы.

Наибольшее значение сжимающей силы, при которой прямолинейная форма стержня сохраняет устойчивость, называют критической силой. Даже при небольшом превышении критического значения силы стержень недопустимо деформируется и разрушается.

Расчет на устойчивость

Расчет на устойчивость заключается в определении допускаемой сжимающей силы и в сравнении с ней силы действующей:

; ; ,

где F — действующая сжимающая сила;

[F] — допускаемая сжимающая сила, обеспечивает некоторый запас устойчивости;

F_кр — критическая сила;

[s_y] — допускаемый коэффициент запаса устойчивости.

Обычно для сталей [s_y] = l,8 ÷ 3; для чугуна [s_y] = 5; для дерева [Sy] ≈ 2,8.

Способы определения критической силы

Расчет по формуле Эйлера

Задачу определения критической силы математиче­ски решил Л. Эйлер в 1744 г.

Для шарнирно закрепленного с обеих сторон стержня (рис. 133) формула Эйлера имеет вид

,

где Е – модуль упругости;

J_min – минимальный осевой момент инерции стержня;

l – длина стержня.

Рис. 133

Потеря устойчивости происходит в плоскости наименьшей жесткости, поэтому в формулу входит минимальный из осевых моментов инерции сечения (J_x или J_y).

Формулу распространили на другие формы закрепления стержней, рассмотрев форму потери устойчивости в каждом случае. Длина стержня заменяется ее приведенным значением, учитывающим форму потери устойчивости в каждом случае: l_прив = μд, где μ — коэффициент приведения длины, зависящий от способа за­крепления стержня (рис.134).

Формула для расчета критической силы для всех случаев

.

Рис. 134