Спин электрона. Матрицы Паули и их свойства
Операторы спина обозначаются . Все выражения, полученные в § 19, 20 для общего момента
справедливы как для орбитального
, так и для спинового момента
. Поэтому, согласно общей теории момента,
(22.1)
(22.2)
Спин может иметь как целые, так и полуцелые значения. В соответствие с этим выделяют два класса частиц: с целым спином – бозе-частицы и с полуцелым спином – ферми-частицы.
Рассмотрим элементарный случай, когда :
. (22.3)
И проекцию спина на произвольно выбранное направление, например на ось OZ:
. (22.4)
Т.к. операторы спина коммутируют с операторами координаты и импульса, то полный набор физических величин с учётом спина может быть представлен двумя комбинациями:
1)
2)
Представим спиновые операторы и состояния системы в матричном виде (в –представлении). Для этого сначала выберем базисные вектора. Т.к.
определяет состояние частицы с учётом спина, то введём следующие обозначения:
(22.5)
где - ортонормированные вектора выбранного базиса. Любое состояние
можно записать с помощью этих базисных векторов:
,
где вектор нормированный, т.е.
. В состоянии
при измерении проекции спина на ось OZ мы получим значение
с вероятностью
и
с вероятностью
. Таким образом, вектор
можно записать как
.
Найдём вид матрицы в
-представлении.
,
где элементы матрицы вычисляются следующим образом:
Откуда
. (22.6)
Для нахождения вида операторов и
определим вид операторов
и
. Согласно уравнению (20.22)
,
,
.
Тогда
и матрица примет вид
. (22.7)
Матрица получается из матрицы
путём перестановки строк и столбцов матрицы (транспонирования матрицы
):
. (22.8)
Операторы и
выражаются через операторы
следующим образом:
Откуда получаем вид операторов и
:
или
(22.9)
(22.10)
Таким образом, для случая спиновые матрицы являются двухрядными. Принято записывать их в следующем виде:
(22.11)
где - матрицы Паули в
-представлении:
(22.12)
Матрицы Паули обладают следующими свойствами.
Свойство 1. Любая двухрядная матрица может быть представлена через матрицы Паули и единичную матрицу.
(22.13)
Свойство 2. Собственные значения любой матрицы Паули есть .
Найдём матричное представление собственных векторов матрицы Паули (например )
.
С одной стороны,
с другой
.
Откуда
,
.
Таким образом, . Аналогичным образом находим
.
Аналогично определяются собственные вектора операторов .
Свойство 3.
. (22.14)
Доказательство. Доказательство проведём для оператора .
Свойство 4.
(22.15)
Свойство5.
(22.16)
Доказательство. Следует из свойства 4.
С учётом спина волновая функция должна зависеть не только от пространственных переменных, но и от спиновых: .
Рассмотрим состояние электрона с учётом спина:
Согласно принципу суперпозиции состояний, если система может находиться в состояниях и
, то она может находиться и в состоянии
. (22.17)
где - нормированный вектор. Матрица (22.17) называется спинором.