Геометрические понятия. Дифференцирование единичного вектора
Радиус кривизны и соприкасающаяся плоскость. В точке кривой линии проведем касательную
: (рис. 12). В другой близкой точке кривой
, отстоящей от точки
на расстоянии
, построим касательную
. В общем случае пространственной кривой касательные
и
будут
скрещиваться. Проведем в точке
прямую линию
, параллельную
. Угол
между линиями
и
называется углом смежности. Кривизной кривой
в точке
называют предел, к которому стремится угол смежности,
приходящийся на единицу расстояния
, причем
стремится к нулю, т.е.
.
Радиусом кривизны кривой в точке
называют величину, обратную кривизне кривой в этой точке, т. е.
.
Вычислим радиус кривизны дуги окружности радиусом
. (рис. 13). Дуга окружности длиной
, опирающаяся на центральный угол
, выражается зависимостью
. Для радиуса кривизны имеем:
,
т.е. для окружности радиус кривизны в каждой ее точке один и тот же и совпадает с радиусом окружности.
Участок кривой из малой окрестности какой-либо ее точки лучше всего аппроксимирует по сравнению с дугами других окружностей элемент дуги окружности, радиус которой равен радиусу кривизны кривой в рассматриваемой точке.
Для определения понятия соприкасающейся плоскости проводим вспомогательную плоскость через две пересекающиеся прямые и
(см. рис. 12). Предельное положение этой плоскости при совпадении в пределе точки
с точкой
называется соприкасающейся плоскостью кривой в точке
.
В случае плоской кривой соприкасающейся плоскостью для всех точек кривой является сама плоскость, в которой расположена эта кривая.
Естественный трехгранник. Построим в точке
кривой линии естественные оси этой кривой (рис. 14). Первой естественной осью является касательная
. Ее положительное направление совпадает с направлением единичного вектора касательной
, направленного в сторону возрастающих расстояний.
Перпендикулярно касательной располагается нормальная плоскость кривой. Нормаль, расположенная в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью
. Она является линией пересечения нормальной плоскости с соприкасающейся плоскостью. По главной нормали внутрь вогнутости кривой направим единичный вектор
. Он определяет положительное направление второй естественной оси.
Нормаль, перпендикулярная главной нормали, называется бинормалью. Единичный вектор , направленный по бинормали так, чтобы три вектора
,
и
образовывали правую систему осей координат, определит положительное направление третьей естественной оси.
Три взаимно перпендикулярные оси ,
и
, положительные направления которых совпадают с направлениями единичных векторов
,
и
, называются естественными осями кривой. Эти оси образуют в точке М естественный трехгранник. При движении точки по кривой естественный трехгранник движется вместе с точкой как твердое тело, поворачиваясь вокруг вершины, совпадающей с движущейся точкой.
Дифференцирование единичного вектора. Вычислим производную от единичного вектора по скалярному аргументу. В кинематике точки скалярными аргументами обычно являются время и расстояние по траектории. В качестве единичного вектора выберем , направленный по касательной к траектории, и вычислим его производную по времени.
Производная перпендикулярна самому единичному вектору
. Для доказательства этого используем тождество:
.
Дифференцируя по времени обе части этого тождества, получим
.
Каждый из сомножителей этого выражения не равен нулю, поэтому векторы и
перпендикулярны друг другу. Это справедливо для любого другого вектора, числовая величина (модуль) которого постоянна. Направим по вектору
единичный вектор
. Тогда
. (15)
Годографом вектора является кривая, расположенная на сфере единичного радиуса, так как единичный вектор изменяется только по направлению (рис. 15).
По определению модуля производной от вектора имеем
.
Длина малой хорды
с точностью до малых величин более высокого порядка равна длине дуги, которую стягивает хорда, т. е.
,
где
– угол, опирающийся на эту дугу. Используя это выражение, получим
.
Подставляя это значение в (15) и используя выражение для радиуса кривизны и переменную , получим
.
Радиус кривизны считаем положительным.
Вектор и совпадающий с ним по направлению единичный вектор
направлены параллельно предельному положению вектора
при
, стремящемся к нулю, т.е. они расположены в соприкасающейся плоскости кривой. Единичный вектор
перпендикулярен вектору
, направленному по касательной к кривой. Следовательно, вектор
направлен по главной нормали кривой в сторону ее вогнутости, так как в эту сторону направлено предельное положение вектора
.
Если имеем любой другой вектор с постоянным модулем, то для него остается справедливым все, что было получено для единичного вектора, только радиус годографа следует заменить его модулем
. Получим
, (16)
где – теперь единичный вектор, перпендикулярный вектору
и направленный параллельно
.
Формулу (16) можно выразить векторным произведением:
,
где – вектор угловой скорости поворота вектора
, модуль которого
. Вектор угловой скорости
следует направить перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы
и
, причем так, чтобы с его стрелки увидеть поворот вектора
к
в этой плоскости на угол 90° против часовой стрелки. Подробнее понятие вектора угловой скорости дается при рассмотрении вращения твердого тела вокруг неподвижной оси и в других случаях его движений.