Скорость поступательного движения перпендикулярна оси относительного вращения
В этом случае векторы
и
перпендикулярны (рис. 79). На линии
, перпендикулярной плоскости, в которой расположены
и
, имеется точка
, скорость которой равна нулю. Определим ее расстояние от точки
.
По теореме сложения скоростей для точки
имеем
,
так как при вращении вокруг оси .
Учитывая, что скорости и
противоположны по направлению, получим
.
Так как , то
и, следовательно, точки
и
находятся на расстоянии
. (146)
Другие точки, имеющие скорости, равные нулю, располагаются на линии, проходящей через точку , параллельно оси вращения тела с угловой скоростью
. Таким образом, имеется мгновенная ось вращения, параллельная оси относительного вращения и проходящая через точку
. Для определения угловой скорости абсолютного вращения
вычислим скорость, например, точки
двумя способами. Считая движение сложным, имеем
.
Точка находится на оси относительного вращения, и поэтому
. Скорость переносного движения
в рассматриваемом случае переносного поступательного движения равна
. Следовательно,
,
. С другой стороны, эквивалентное абсолютное движение тела является вращением вокруг мгновенной оси, проходящей через точку
с угловой скоростью
. Поэтому для скорости точки
имеем
.
Приравнивая скорости точки , вычисленные двумя способами и используя (146), получаем
, или
, или
.
Вращение вокруг мгновенной оси должно иметь такое направление, чтобы скорость точки имела такое же направление, что и скорость
. Отсюда получаем совпадение направлений вращения относительного и абсолютного вращений. Следовательно,
. Таким образом, при сложении поступательного переносного и вращательного относительного движений твердого тела, у которого скорость поступательного движения перпендикулярна оси относительного вращения, эквивалентное абсолютное движение является вращением вокруг мгновенной оси, параллельной оси относительного вращения с угловой скоростью, совпадающей с угловой скоростью относительного вращения.
Такой же результат можно получить, если поступательное движение со скоростью заменить парой вращений
, выбрав
. Два вращения с угловыми скоростями
и
можно отбросить, так как
, и абсолютным движением окажется вращение с угловой скоростью
. Скорость поступательного движения равна моменту пары вращений. Приравнивая их, получим
или
,
что совпадает с (146).
Еще одна интерпретация рассмотренного случая получается, если рассмотреть параллельный перенос скользящего вектора угловой скорости в точку
. Такой перенос, как известно, следует компенсировать парой вращений, эквивалентной поступательному движению со скоростью
.
На поступательное переносное и вращательное относительное с осью вращения, перпендикулярной к скорости переносного движения, разлагается плоское движение твердого тела. Так, плоское движение без скольжения колеса по прямой (рис. 80) можно составить из поступательного движения колеса вместе с центром
со скоростью
и относительного вращательного вокруг оси, проходящей через точку
с угловой скоростью
. Это же движение можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через МЦС, который, совпадает с точкой
. Угловая скорость этого абсолютного вращения
, и оно имеет то же направление вращения, что и относительное вокруг оси, проходящей через точку
. Если в качестве точки
используется другая точка колеса, например точка
, то изменится только скорость переносного поступательного движения. Она будет равна скорости
точки
. Угловая скорость
вращения тела вокруг оси, проходящей через точку
, по величине и направлению будет той же самой, что и вокруг осей, проходящих через точки
и
.
Винтовое движение
Движение, при котором скорость переносного поступательного движения тела параллельна оси относительного вращения, называется винтовым движением твердого тела (рис. 81). Ось вращения тела в этом случае называется винтовой осью. При винтовом движении тело движется поступательно параллельно оси винтового движения и вращается вокруг этой оси. Винтовое движение не приводится к какому-либо другому одному простому эквивалентному движению.
При винтовом движении векторы
и
могут иметь как одинаковые, так и противоположные направления. Винтовое движение тела характеризуется параметром винтового движения, которым считают величину
. Если
и
изменяются с течением времени, то и параметры винтового движения являются переменными. В общем случае
,
,
, т.е.
есть перемещение тела вдоль оси винтового движения при повороте тела на один радиан.
Для скорости точки тела, совершающего винтовое движение, по теореме сложения скоростей имеем
.
Но ,
, где
– расстояние точки до винтовой оси. Скорости
и
перпендикулярны. Следовательно,
.
Учитывая, что , получаем
. (147)
Если тело вращается с постоянной угловой скоростью и имеет постоянную скорость поступательного движения, то такое движение тела называется постоянным винтовым движением. В этом случае точка тела при движении все время находится на поверхности кругового цилиндра с радиусом . Траекторией точки является винтовая линия. Кроме параметра в рассматриваемом случае вводят шаг винта, т.е. расстояние, на которое переместится какая-либо точка тела при одном обороте тела вокруг оси винтового движения. Угол поворота тела
при
вычисляется по формуле
. Для одного оборота тела
. Необходимое для этого время
.
За время точка переместится в направлении, параллельном винтовой оси, на шаг винта
.
Отсюда получается зависимость шага винта от параметра винтового движения
.
Уравнения движения точки тела по винтовой линии (рис. 82) в декартовых координатах выражаются в следующей форме:
;
;
.
В этих уравнениях величины ,
и
являются постоянными.
Общий случай
Пусть скорость переносного поступательного движения и угловая скорость относительного вращения
образуют угол
. Случаи, когда
, уже рассмотрены.
Разложим скорость
(рис. 83) на две перпендикулярные составляющие
и
. При этом направим
параллельно
. Тогда:
,
.
Переносное движение со скоростью
и относительное вращение с угловой скоростью
эквивалентны вращению вокруг оси, проходящей через точку
с угловой скоростью
(согласно случаю первому), причем
.
Скорость поступательного движения имеют все точки тела. Таким образом, получено винтовое движение с винтовой осью, отстоящей от первоначальной оси вращения на величину
.
Параметр полученного винтового движения
.
Общий случай переносного поступательного и относительного вращательного движений твердого тела оказался эквивалентным мгновенному винтовому движению.