Движение тел при наличии трения

Существует два основных типа сил трения: сухое трение и вязкое трение.

1. Сухое (внешнее) трение.

Такое трение возникает при относительном перемещении двух соприкасающихся тел.

1) Силы трения покоя и скольжения.

Сила трения покоя равна по величине и противоположно направлена внешней силе

.

Максимальное значение силы трения покоя равно силе трения скольжения и пропорционально силе нормальной реакции, действующей на тело

, .

Коэффициент называется коэффициентом трения. Он зависит от вещества и качества поверхностей тел. Силы трения покоя и скольжения обусловлены взаимодействием молекул, находящихся вблизи поверхности соприкосновения тел. Такое взаимодействие происходит в области малых участков соприкосновения. Участки взаимодействия, или “пятна” составляют порядка 10^-3 от полной площади соприкосновения. Их общая площадь пропорциональна силе давления или нормальной реакции. Поэтому сила трения скольжения пропорциональна и не зависит от площади соприкосновения тел.

Силы трения покоя и скольжения приводят к целому ряду практически важных явлений.

Явление застоя

Такое явление возникает, если на тело действует упругая сила, пропорциональная смеще-нию. При условии тело может занять любое положение. Оно практически никогда не остановится в среднем положении, определяемом условием . Явление застоя может приводить к неправильным показаниям измерительных приборов, содержащих удерживающие пружины.

Явление заноса

Пусть некоторое тело покоится на наклонной плоскости с углом наклона . В этом случае . Если заставить тело скользить поперек наклонной плоскости, оно начнет соскальзывать вниз, так как в этом случае исчезнет сила трения покоя, а сила трения скольжения в начальный момент будет направлена против скорости. Исчезновение силы трения покоя в направлении, перпендикулярном скорости, называется явлением заноса. Оно проявляется при резком томожении автомобиля, когда исчезает сила трения покоя в попе-речном направлении и автомобиль “заносит”.

2) Трение качения

Если тело цилидрической или сферической формы без скольжения катится по твердой поверхности, то появляется другой тип силы трения – трение качения. Причина ее возникно-вения связана с пластической деформацией поверхности и соответствующим наклоном силы

, действующей на тело. Ее можно разложить на горизонтальную составляющую и вертикальную составляющую (рис. 1). Из опытных данных следует закон

,

где - коэффициент трения качения, - радиус тела. Для одинаковых материалов , то есть .

Это свойство использутся в подшипниках для уменьшения трения во вращающихся деталях машин.

2. Вязкое (внутреннее) трение.

Этот вид трения обусловлен взаимодействием молекул жидкости или газа при движении в них тела. При малых скоростях движения из опыта следует закон

.

Коэффициент вязкого трения зависит от свойств тела и той среды, в которой оно движется. При больших скоростях зависимость от скорости становится квадратичной

.

Что понимается в этих законах под малыми и большими скоростями мы обсудим в дальней-шем при рассмотрении явлений гидродинамики.

В качестве примера движения тела при наличии вязкого трения рассмотрим задачу о движении тела в вязкой среде под действием постоянной силы . Второй закон Ньютона в проекции на направление действия силы имеет вид:

.

Очевидно, сила может ускорять тело лишь до пре-дельной скорости . Разделяя переменные и проводя интегрирование, получаем зависимость скорости тела от времени

,

где - начальная скорость тела, - характерное время достижения скорости .

ЛЕКЦИЯ 11

Гармонические колебания. Физический маятник.

Периодическое движение – через равные промежутки времени (период ) движение повторяется.

Гармоническое колебание материальной точки – координата точки изменяется по гармони-ческому закону

.

Здесь - амплитуда колебания, - круговая (циклическая) частота, , - частота, - фаза колебания, - начальная фаза.

Скорость материальной точки, совершающей гармоническое колебание:

.

Исодя из этого выражения, можно говорить, что при гармоническом колебании скорость опережает по фазе координату на .

Ускорение колебательного движения:

.

Таким образом, мы приходим к уравнению осциллятора

, (1)

составлющему основу теории колебаний (производная обозначена точками).

Собственные колебания возникают за счет собственных сил, существующих в самой системе. Частота таких колебаний называется собственной частотой.

Пример. Пружинный маятник.

, . Значит собственная частота , .

Полная энергия материальной точки при гармонических колебаниях:

.

Средние за период значения кинетической и потенциальной энергии:

, .

Таким образом, при гармонических колебаниях

(частный случай общей теоремы вириала).

Математический маятник – тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити, размер которого намного меньше длины нити.

Физический маятник – тело, закрепленное на оси, расположенной выше центра масс.

Основной закон вращательного движения для такого тела

( ). Преобразуем его к виду (1)

.

Тогда , - период колебаний физического маятника.

Если размеры тела малы по сравнению с расстоянием (материаль-ная точка), то и мы приходим к известной формуле для периода математического маятника

.

Приведенная длина физического маятника – это длина математического маятника с тем же периодом колебаний, что и у физического. Приравнивая выражения для периодов, получим

.

Обозначим через точку, лежащую на продолжении отрезка и отстоящую от точки подвеса на расстоянии . Точка называется центром качаний физического маятника. Можно показать, что физический маятник обладает следующим важным свойством: если физический маятник подвесить за центр качаний, то период его колебаний не изменится.

ЛЕКЦИЯ 12

Затухающие и вынужденные колебания. Резонанс.

В любой колебательной системе со временем происходит затухание колебаний, обусловлен-ное потерей энергии под действием неконсервативных сил. Рассмотрим затухание колеба-ний материальной точки под действием силы вязкого трения (лекция 10)

.

В этом случае 2-ой закон Ньютона для материальной точки под действием возвращающей сил и силы трения в проекции на ось можно представить в виде

. (1)

Коэффициент необязательно должен иметь смысл коэффициента жесткости. Он может описывать возвращающую силу любой природы.

Можно показать, что при условии решение уравнения (1) имеет вид

,

где - начальная амплитуда колебаний, - коэффициент затухания, - частота затухающих колебаний, - собственная частота.

Функция представляет собой амплитуду затухающих колебаний (рис. 1). Для характеристики скорости затухания колебаний вводится логарифмический декремент затухания

.

Затухающие колебания существуют при выполнении условия . При имеет место апериодический процесс, при котором точка возвращается в положение равновесия, не совершив ни одного колебания.

Вынужденные колебания

Рассмотрим колебания материальной точки при наличии периодической внешней силы

,

действущей вдоль оси . Уравнение движения в этом случае принимает вид:

, или в приведенном виде

. (2)

Уравнение (2) называется неоднородным дифференциальным уравнением 2 – го порядка, а уравнение (1) соответствующим ему однородным уравнением.

В теории дифференциальных уравнений доказывается следующая теорема.

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Общее решение однородного уравнения:

, где . (3)

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

. (4)

Следует отметить, что амплитуда и фаза в этом решении уже не определяются лишь начальными условиями как в свободных колебаниях, а зависят от параметров колебательной системы. Подставляя решение (4) в уравнение (2), можно получить следующие выражения для и

, .

Общее решение уравнения (2) является суммой решений (3) и (4). При решение (3) станет пренебрежимо малым и установятся вынужденные колебания вида (4). По этой причине величина называется временем установления колебаний.

На рис. 2 приведена зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы . Амплитуда имеет максимальное значение при

.

Это явление резонанса вынужденных колеба-ний. С ростом коэффициента затухания реонансная частота и резонансная амплитуда уменьшаются. В отсутствие затухания ( ) и . Физически это происходит из-за того, что в колебательную систему непрерывно поступает энергия за счет работы внешней силы, а потери энергии отсутствуют.

При амплитуда . Величина называется добротностью колебательной системы.

ЛЕКЦИЯ 13