Моменты инерции некоторых тел

Моменты инерции некоторых симметричных тел представлены на рис. 7.4.

Приблизительные значения моментов инерции туловища чело­века и его конечностей вычисляются по формулам для цилиндра или с помощью опытных данных. Для длинных звеньев конечнос­тей моменты инерции приближенно равны 0,3 т/²(где т — масса звена, / — его длина). Моменты инерции элементов конечностей представлены в табл. 7.1.

На рис. 7.5 показаны моменты инерции тела относительно раз­ных осей.

Момент инерции тела человека относительно заданной оси оп­ределяется как сумма моментов инерции всех звеньев тела отно­сительно той же оси. Наименьший момент инерции тело человека имеет в выпрямленном состоянии относительно продольной оси

тела, проходящей через его центр масс. Целенаправленное изме­нение момента инерции тела человека широко используется при управлении вращательными движениями в различных видах спорта.

Момент инерции относительно вертикальной оси вращения, проходящей через центр масс (центр масс человека находится в саггитальной плоскости несколько впереди второго крестцового

позвонка) в зависимости от положения человека, имеет следующие значения, рис. 7.6: а) 1,2 кгм² — при стойке «смирно», б) 8 кгм² — при стойке «арабеск», в) 17 кгм² — в горизонтальном положении.

Пример

Вращательные движения без опоры.

В случае вращения вокруг свободных осей, внешнего удержи­вающего тела не существует. Звенья вращающегося тела спорт­смена удерживаются на криволинейных траекториях внутренни­ми связями. Ось вращения неизменно проходит через ОЦМтела, рис. 7.7.

При соскоке дугой с сальто вперед из положения упора на пе­рекладине стоя согнувшись, гимнаст под действием силы тяжести совершает движение вокруг оси перекладины назад. Из позы 2, рез­ко разгибая ноги в тазобедренных суставах и сгибая в коленных, гимнаст отпускает перекладину и переходит в позу 3. Враща­тельное движение вокруг свободной оси, проходящей через ОЦМ,созданное к моменту отрыва от перекладины, резко ускоряется благодаря энергичному группированию — сгибанию тела вперед. Части тела приближаются к оси вращения, уменьшают момент

инерции относительно поперечной оси. По закону сохранения мо­мента инерции до позы 5 происходит нарастание скорости. Начиная с позы 5 гимнаст распрямляет тело, момент инерции относитель­но поперечной оси увеличивается, и вращение вокруг нее перед приземлением замедляется, поза 6.

Свободные оси

Тело может вращаться не только вокруг закрепленной оси, но и вокруг оси, которая не закреплена. В любом теле можно выбрать такие оси, направление которых при вращении вокруг них будет сохраняться без каких либо специальных устройств (например, подшипников). Такие оси называют свободными.

Свободные оси — оси, которые без специального закрепления сохраняют свое направление в пространстве.

Пример: ось вращения Земли и волчка, ось всякого брошенного и свободно вращающегося тела.

Очевидно, что для однородных тел свободной осью является ось полной геометрической симметрии. Можно доказать, что в любом теле имеется не менее трех взаимно перпендикулярных свободных осей вращения, эти оси называются главными осями инерции. При этом оказывается, что при отсутствии внешних воздействий ус­тойчивым является вращение тела только вокруг двух осей, отно­сительно которых оно имеет наибольший или наименьший момент инерции. Например, если, подбросив тело, привести его во вращение

относительно произвольной оси, то, падая, оно само по себе перей­дет к вращению вокруг оси, которой соответствует или наибольший, или наименьший момент инерции. В некоторых случаях, когда тело вращается около свободной оси с малым моментом инерции, оно са­мопроизвольно изменяет эту ось на ось с наибольшим моментом. На рис. 7.8 показана иллюстрация этого явления.

К электродвигателю подвешено на нити цилиндрическое тело, которое может вращаться вокруг своей вертикальной геометричес­кой оси (а) с моментом инерции </, =——. При достаточно боль-шой угловой скорости тело изменит свое положение (б). Момент

1-2

инерции относительно новой оси равен J₂ ⁼—тг- • Если L² > б/?², то

/₂ > /,. Вращение вокруг новой оси будет устойчивым.

Вращение человека в свободном полете и при различных прыж­ках происходит вокруг главной оси с наибольшим или наименьшим моментом инерции. Так как положение центра масс зависит от позы, то при различных позах направления главных осей будут различны.

У человека из-за наличия многозвенных, большей частью от­крытых в ходе движения кинематических цепей, имеется большое число степеней свободы. Так, подвижность кончиков пальцев от­носительно грудной клетки определяется 12 степенями свободы;

сил тяжести. Для этого разобьем тело на множество маленьких ку­сочков и нарисуем действующие на них силы тяжести (рис. 7.10).

запястья относительно лопатки — 7; а общее число степеней сво­боды всего тела — трехзначное число.

Пример

На рис. 7.9. представлена упрощенная модель скелета руки. Ки­нематическая схема показывает подвижные звенья скелета и типы шарнирных соединений (два шаровых шарнира и один цилинд­рический). Эта модель имеет семь степеней свободы: три степени свободы в плечевом поясе, одна степень свободы в локтевом суста­ве и три степени свободы у кисти. На динамической схеме стрелками показаны оси вращения, соответствующие этим степе­ням свободы.