Вынужденные колебания системы без учета сопротивления
Пусть на точки механической системы действуют потенциальные силы и силовое или кинематическое возмущение. Тогда уравнение Лагранжа примет вид
,
где .
Обобщенную силу от вынуждающих сил рассмотрим для случая, когда она изменяется по синусоидальному закону от времени
,
где H, p, d – амплитуда, круговая частота и начальная фаза возмущающей силы.
Составляем уравнение Лагранжа
.
Разделим обе части уравнения на a и обозначим .
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний без сопротивления в окончательной форме имеет вид
. (7)
Решение уравнения (7) состоит из общего решения однородного уравнения q1 и частного решения q2 неоднородного уравнения, то есть
.
Однородное уравнение совпадает с дифференциальным уравнением собственных колебаний. Его решение q1 называют собственным колебанием системы, и оно может быть выражено в двух эквивалентных формах
.
Часть решения, характеризуемая функцией q2, называется вынужденным колебанием системы.
Функция q2 определяется по–разному в зависимости от соотношения частот собственных колебаний k и возмущающей силы p.
Возможны два случая: отсутствие резонанса и резонанс . Рассмотрим их.
1. Случай отсутствия резонанса ( ). Частное решение q2 ищем в форме правой части уравнения (7)
.
Определяем постоянную В из условия, что q2 превращает уравнение (7) в тождество:
Так как равен нулю не для всех значений t, то
.
Отсюда получаем . Тогда вынужденные колебания можно записать в виде
.
Таким образом, обобщенные координата и скорость имеют вид:
;
.
Или в амплитудной форме:
;
.
Постоянные С1 и С2 или А1 и a определяются из начальных условий: .
Амплитуда А1 и начальная фаза a собственных колебаний при действии возмущающей силы зависят не только от начальных условий, но и от параметров этой силы.
Введем амплитуду вынужденных колебаний
.
Тогда в зависимости от соотношения p и k вынужденные колебания можно выразить в двух формах.
A. При p < k:
фаза вынужденных колебаний совпадает с фазой возмущающей силы.
B. При p > k:
сдвиг фаз равен p, вынужденные колебания находятся в противоположной фазе по отношению к возмущающей силе.
Итак, вынужденные колебания системы без сопротивления при являются гармоническими колебаниями с постоянной амплитудой. Их частота совпадает с частотой возмущающей силы. Они не зависят от начальных условий.
2. Случай резонанса .
Резонансом называется случай совпадения частот собственных колебаний и возмущающей силы, т.е. когда .
Частное решение q2 уравнения (7) следует искать в форме
.
Постоянная В определяется из условия, что q2 обращает уравнение (7) в тождество. Проведя вычисления, аналогичные предыдущему случаю, по/им . Вынужденные колебания, теперь, выразятся в виде
.
Главной особенностью вынужденных колебаний при резонансе является зависимость их амплитуды от времени:
.
Амплитуда увеличивается пропорционально времени, сдвиг фазы равен p/2. Круговая частота вынужденных колебаний совпадает с круговой частотой возмущающей силы.
Рис. 5 |
Графиком вынужденных колебаний при резонансе является синусоида, заключенная между двумя прямыми:
и ,
проходящими через точку q2=0 и t=0, рис. 5.
Рассмотренный случай резонанса практически не встречается, так как при движении системы всегда есть силы сопротивления движению. Однако амплитуды при резонансе достигают большого роста, что может приводить к разрушению механизма, установки, сооружения.