Уравнение Бернулли для двух сечений потока установившемся плавно изменяющемся движении жидкости

Живым сечением потока, называется поверхность, нормальная в каждой своей точке к направлению скорости u. В отдельных частных случаях движения жидкости живое сечение потока является плоским или почти плоским.

Движение, близкое к прямолинейному и параллельноструйному, называется плавно изменяющимся движением.

Расходом потока Q называется объем жидкости, проходящий через данное живое сечение в единицу времени.

Средней скоростью течения называется отношение

,

где w - площадь живого сечения.

Уравнение неразрывности для потока жидкости имеет вид:

,

т.е. в установившемся потоке жидкости средние скорости движения обратно пропорциональны площадям живых сечений.

Расход Q , площадь живого сечения потока w, средняя скорость v называются основными гидравлическими элементами потока.

Для двух сечений потока при установившемся плавно изменяющемся движении уравнение Бернулли имеет вид:

.

Здесь: z – расстояние от произвольно выбранной точки в живом сечении w до плоскости сравнения;

p – гидродинамическое давление, определенное в той же точке живого сечения потока;

g - удельный вес жидкости;

v - средняя скорость в живом сечении w;

g - ускорение силы тяжести;

a - коэффициент неравномерности распределения скоростей в живом сечении; выполненными исследованиями установлено, что среднее значение коэффициента a для установившегося плавно изменяющегося движения в реках, каналах и трубах составляет a @ 1,03 … 1,10. Во многих практических случаях гидравлических расчетов (например, при расчете труб) этим небольшим отличием коэффициента a от единицы пренебрегают, принимая a = 1,0 .

h_w - потеря напора, затраченная на преодоление гидравлических сопротивлений в пути между первым и вторым сечением.

Условия применения уравнения Бернулли для потока жидкости:

а) оно может применяться лишь к таким двум сечениям, вблизи которых поток удовлетворяет условиям плавной изменяемости. В пути между рассматриваемыми сечениями условия плавной изменяемости могут и не соблюдаться;

б) двучлен в уравнении Бернулли можно относить к любой точке (по высоте) каждого из двух выбранных сечений потока, для которых пишется уравнение.

Рассмотрим несколько примеров задач гидростатики.

Формула Торричелли

Определим скорость истечения идеальной жидкости v через отверстие из бака под напором H.

В качестве плоскости сравнения выбираем горизонтальную плоскость o-o, совпадающую с осью отверстия. Напишем уравнение Бернулли для сечения 1 – 1 на уровне свободной поверхности жидкости и 2-2 – вертикального сечения, проходящего через струю жидкости около отверстия:

po=pа

o

o

В рассматриваемом случае при принятой плоскости сравнения имеем:

; ; т.к. площадь бака существенно больше площади отверстия принимаем ; Далее имеем ; .

Т.к. идеальная жидкость не имеет вязкости, потери напора на трение h_w = 0. Скорость v₂ = v - требуется определить. Т.о. имеем:

,

или .

Окончательно получаем

.

Эта формула впервые получена итальянским ученым Торричелли и носит его имя.