Решение: Построение эпюры Qx

Из теоретического курса известно, что на участке балки с равномерно распределённой нагрузкой эпюра Q_x ограничивается наклонной прямой, а на участке, на котором нет распределённой нагрузки, - прямой, параллельной оси, поэтому для построения эпюры поперечных сил достаточно определить значения Q_x в начале и конце каждого участка. В сечении, соответствующем точке приложения сосредоточенной силы, поперечная сила должна быть вычислена чуть левее этой точки (на бесконечно близком расстоянии от неё) и чуть правее её; поперечные силы в таких местах обозначаются соответственно .

Рис.9 Рис.10

Проведем мысленно ось Y перпендикулярно оси балки через точку С и не будем менять её положение, пока не пройдем всю балку от С до Е. рассматривая левые отсечённые по характерным точкам части балки, проецируем на ось Y действующие на данном участке силы с соответствующими знаками. В результате получаем:

Qc = 0;

=-q*a = -10*0.5 =-5 kH;

= + R_AY = - 5 + 13.3 = 8.3 kH;

Q_D = R_AY - q ( а + b ) = 13.3 - 10 (0.5 + 2.5 ) = - 16.7 kH;

= Q_D = R_AY-Q = -16.7 kH;

= + R_BY = -16.7 + 31.7 = 15 kH;

₌ = 15 kH.

Для проверки правильности определения поперечной силы в сечениях, пройдите балку аналогичным способом , но с правого конца. Тогда отсечёнными будут правые части балки. Помните, что правило знаков при этом изменится. Результат должен получиться тот же.

Совпадение результатов может служить контролем построения эпюры Q. Проводим нулевую линию под изображением балки и от нее в принятом масштабе откладываем найденные значения поперечных сил с учетом знаков в соответствующих точках. Получим эпюру Qx (рис.9 б).

б) Для консольной балки(рис. 10а) характерные точки: А - точка приложения опорной реакции R_AY; С - точка приложения сосредоточенной силы, D и В - начало и конец распределенной нагрузки. Для консоли поперечная сила определяется аналогично двухопорной балке. Итак, при ходе слева:

= R_AY =10 kH;

= R_AY - F = 10 - 8 = 2 kH;

= Q_A = 10 kH;

= + R_AY = - 5 + 13.3 = 8.3 kH;

Q_D = =2 kH;

Q_B = Q_D – q*с = 2 - 2 = 0 kH.

Строим эпюру Q_x по полученным значениям поперечных сил (рис. 106). Построив эпюру обратите внимание на следующее: Эпюра под распределённой нагрузкой изображается наклонной прямой, под ненагруженными участками -отрезками, параллельными нулевой линии, под сосредоточенной силой на эпюре образуется скачок, равный значению силы. Если наклонная линия под распределённой нагрузкой пересекает нулевую линию, отметьте эту точку, она пригодится для эпюры изгибающих моментов. Сосредоточенный момент на эпюре Q_x себя никак не проявляет, так как сумма проекций сил, образующих пару, равна нулю.

Строим эпюру изгибающих моментов, как и поперечных сил, методом характерных точек, ходом слева.

Известно, что на участке балки с равномерно-распределённой нагрузкой эпюра изгибающих моментов очерчивается кривой линией (квадратичной параболой), для построения которой надо иметь не менее трех точек и, следовательно, должны быть вычислены значения изгибающих моментов в начале участка, конце его и в одном промежуточном сечении.

Такой промежуточной точкой лучше всего взять сечение , в котором эпюра Qx пересекает нулевую линию, т.е. где Q_x = 0. На эпюре М в этом сечении должна находиться вершина параболы. Если же эпюра Q_x не пересекает нулевую линию, то эпюру М можно строить по двум точкам (начала и конца действия распределённой нагрузки), помня, что выпуклостью парабола всегда обращена вниз, если нагрузка действует сверху вниз. Существует старое правило «дождя», которое очень помогает при построении параболической части эпюры М. Для строителей это правило выглядит следующим образом: представьте, что распределённая нагрузка - это дождь, подставьте под него зонт в перевёрнутом виде, так чтобы дождь не стекал, а собирался в нём. Тогда выпуклость зонта будет обращена вниз. Точно так и будет выглядеть очертание эпюры моментов под распределённой нагрузкой.

Если требуется более точное построение эпюры, то должны быть вычислены значения изгибающих моментов в нескольких промежуточных сечениях. Условимся для каждого такого участка изгибающий момент сначала определять в произвольном сечении, выражая его через расстояние х от какой-либо точки. Затем, давая расстоянию х ряд значений, получим значения изгибающих моментов в соответствующих сечениях участка. Для участков, на которых нет распределённой нагрузки, изгибающие моменты определяют в двух сечениях, соответствующих началу и концу участка, так как эпюра М на таких участках ограничивается прямой. Если к балке приложен внешний сосредоточенный момент, то обязательно надо вычислить изгибающий момент чуть левее места приложения сосредоточенного момента и чуть правее его.

Строим эпюру М_х методом характерных точек, ходом слева.

а) Для двухопорной балкихарактерные точки следующие: С и D - начало и конец распределённой нагрузки, А - опора балки, В - вторая опора балки и точка приложения сосредоточенного момента, Е - правый конец балки, точка К соответствующая сечению балки, в котором Q_x = 0.

Ход слева. Правую часть до рассматриваемого сечения мысленно отбрасываем (возьмите лист бумаги и прикройте им отброшенную часть балки). Находим сумму моментов всех сил, действующих слева от сечения относительно рассматриваемой точки.

Итак,

М_С = 0;

М_А = - q*а*а/2 = - 10*0,5*0,25 = -1,25 kH m;

Прежде чем определять момент в сечении К, необходимо найти расстояние х = АК. Составим выражение для поперечной силы в данном сечении и приравняем его нулю (ход слева).

Q_K = - q*а + R_AY – q*х = 0, откуда х = (- q*а + R_AY) / q = (- 10*0,5 + 13,3) /10 =

= 0,83 м.

Это расстояние можно найти из подобия треугольников KLN и K1G на эпюре Q_x (рис.9 б).

Определяем момент в точке К

М_к = - q (а + х)² /2 + R_AY х = 2,2 kH m;

M_D = R_AY b - Q(a + b)² /2 = - 11,7 kH m;

Пройдём оставшуюся часть балки ходом справа, учитывая при этом изменения в правиле знаков:

М_Е = 0;

= -F*d = -15 kH m;

= - М = - 20 kH m;

M_D = - F (c+d) - М + R_BY с = 11,7 kH m.

Как видим, момент в сечении D при ходе слева и справа получился одинаковый - эпюра замкнулась. По найденным значениям строим эпюру. Положительные значения откладываем вниз от нулевой линии, а отрицательные - вверх (рис.9в).

б) Для консольной балки(рис.10 а) эпюра изгибающих моментов строится аналогично предыдущему построению.

Характерные точки для этой балки следующие: А - опора; С - точка приложения сосредоточенного момента и силы F; D и В - начало и конец действия равномерно распределённой нагрузки. Поскольку эпюра Q_x на участке действия распределённой нагрузки нулевую линию не пересекает, эпюру моментов на данном участке можно строить по двум точкам D и В. Ход слева :

М_А= -М_А = - 17 kH m;

М_с^лев = - М_А + R_AY а = -12 kH m;

М_с^прав= - М_А + R_AY а + М = - 2 kH m;

M_D = - М_А + R_AY (а + b) + М – F*b = -1 kH m.

Ходом справа находим Мв = 0.

По найденным значениям строим эпюру изгибающих моментов (рис. 13 в).