Стационарное движение идеальной жидкости. уравнение бернулли
Рассмотрим идеальную жидкость. Идеальная жидкость – жидкость, плотность которой не зависит от давления и постоянна в любой пространственной области, а вязкость (внутреннее трение) отсутствует. При движении идеальной жидкости не происходит превращения механической энергии в тепловую, то есть механическая энергия жидкости сохраняется.
![]() |
Рассмотрим стационарное течение идеальной жидкости в каком-либо потенциальном силовом поле, например в поле силы тяжести. Применим к этому течению закон сохранения энергии. Выделим в жидкости бесконечно узкую трубку тока и рассмотрим часть жидкости, занимающую объем MNDC. Пусть эта часть переместилась в бесконечно близкое положение (рис. 6.2). При малом перемещении можно пренебречь различием площадей сечений MN и
, CD и
.
Вычислим работу А, совершаемую при этом силами давления. Силы давления, действующие на боковую поверхность трубки тока перпендикулярно к перемещению, работы не совершают. При перемещении границы MN в положение силами давления совершается работа
, где
– величина перемещения. Эту работу можно представить в виде
или
, где
– масса жидкости в объеме
,
. При перемещении границы CD в положение
жидкость совершает работу против сил давления
. Рассуждая аналогично, найдем
, где
– масса жидкости в объеме
.
Если движение стационарно, то масса жидкости в объеме не изменится, а потому из закона сохранения массы получим
. Тогда для работы, совершаемой внешним давлением, получим:
.
Эта работа должна быть равна приращению полной энергии выделенной части жидкости. Ввиду стационарности течения энергия жидкости в объеме
не изменилась. Поэтому приращение полной энергии равно разности энергий массы жидкости
в объемах
и
. Обозначим через
энергию, приходящуюся на единицу массы жидкости, тогда
. Приравнивая эту величину к работе А и сокращая на
, получаем:
.
Отсюда следует, что вдоль одной и той же линии тока при стационарном течении идеальной жидкости величина остается постоянной:
.
Это соотношение называется уравнением Бернулли. Оно было впервые опубликовано в 1738 году.
![]() |
Даниил Бернулли (Daniel Bernoulli), 1700–1782
Даниил Бернулли – один из наиболее выдающихся физиков и математиков своего времени. С 1725 г. по 1733 г. работал в Петербурге. Руководил работой кафедры чистой математики. Член Берлинской, Парижской, Петербургской и других академий наук, член Лондонского Королевского общества. Даниил Бернулли является одним из представителей настоящей потомственной династии научных гениев родом из Швейцарии. Отец Даниила – Иоганн Бернулли – был видным профессором математики в университете г. Гронинген.
Книга Даниила «Гидродинамика» (Hydrodynamica) была опубликована в 1738 г., практически одновременно с книгой Иоганна Бернулли «Гидравлика» (Hydraulica).
Энергия складывается из кинетической энергии единицы массы жидкости
и ее потенциальной энергии gh в поле тяжести. В этом случае уравнение Бернулли принимает вид:
Пусть жидкость течет по горизонтальной трубе. Тогда уравнение Бернулли примет вид:
![]() | (6.2) |
Из выражения (6.2) следует, что в областях трубки с большей скоростью течения жидкости давление меньше. Согласно уравнению неразрывности струи (6.1) скорость течения жидкости больше в местах с меньшим сечением трубы, следовательно, давление по мере перехода к более узким ее участкам уменьшается. Образующийся при этом перепад давлений заставляет жидкость двигаться вдоль трубы с ускорением.
Пример
![]() | Эффект Бернулли можно наблюдать, сидя ненастным вечером дома у камина. Во время особенно сильных порывов ветра языки пламени взмывают вверх, в дымоход. Объяснить это можно так: когда скорость ветра у выходного отверстия трубы возрастает, давление в этом месте падает. Более высокое давление внутри дома и «выталкивает» пламя из камина в дымоход. |
ФОРМУЛА ТОРРИЧЕЛЛИ
![]() |
Применим уравнение Бернулли к истечению жидкости из небольшого отверстия в широком сосуде. Выделим трубку тока (рис. 6.3). В каждом сечении скорость и высоту над некоторым исходным уровнем можно считать постоянной. Давление в обоих сечениях равно атмосферному. Скорость перемещения открытой поверхности много меньше скорости истечения жидкости из отверстия , поэтому можно положить ее равной нулю. Тогда
.
Отсюда , где
. Эта формула называется формулой Торричелли и определяет скорость истечения жидкости из отверстия. Она получена для идеальной жидкости.
Из формулы Торричелли следует, что скорость истечения жидкости из отверстия одинакова для всех жидкостей и зависит лишь от высоты, с которой жидкость опустилась. Она оказывается равной скорости свободного падения тела с той же высоты. Для реальных жидкостей скорость будет меньше, она зависит от формы, размера отверстия и от вязкости жидкости