Формула дюпюи и ее обобщения

Одна из основных практически важных стационарных задач фильтрации – определение расхода жидкости при поглощении или проявлении пласта, искусственном нагнетании жидкости в пласт или отборе ее из пласта, а также определение параметров пласта и призабойной зоны при гидродинамических испытаниях скважин.

1. Простейшее решение этой задачи базируется на следующих предпосылках:

а) однородный изотропный пористый, трещиноватый или трещиновато-пористый пласт проницаемостью ограничен непроницаемыми плоскостями и (кровля и подошва пласта) и проницаемыми цилиндрическими поверхностями (стенка скважины), (поверхность питания), на которых поддерживаются однородные граничные условия

(3.55)

б) поры пласта заполнены однородной невесомой жидкостью вязкости ;

в) фильтрация происходит при жестком или установившемся ламинарном режиме.

Основные уравнения теории фильтрации в этом случае запишутся в виде

(3.56)

(3.57)

Подстановка (3.56) в (3.57) дает простейший вид уравнения Лапласа

Общим решением этого уравнения является функция

(3.58)

где и – постоянные интегрирования, определяемые граничными условиями (3.55).

В результате получим решение первой основной граничной задачи фильтрации (3.55 – 3.57):

(3.59)

(3.60)

где – заданный перепад давления между скважиной и пластом.

При поглощении проявлении пласта объемный расход жидкости через любую цилиндрическую поверхность , в том числе и через стенку скважины,

(3.61)

где ; – соответственно коэффициент гидропроводности, или просто гидропроводность, и коэффициент продуктивности, или просто продуктивность пласта; размерность м³/Па^.с.

Формула (3.61) впервые получена французским инженером Дюпюи и поэтому названа его именем.

2. Используя формулу (3.61) в решении (3.59), непосредственно решается вторая основная граничная задача [см. условие (2.37)], когда у стенки скважины заданы скорость фильтрации и расход жидкости . Распределение давления в этом случае описывается формулой

(3.62)

Важно подчеркнуть, что это решение совпадает с фундаментальным решением двумерного уравнения Лапласа (2.34), когда в плоскости действуют источник или сток интенсивности .

Следовательно, влияние работы скважины на изменение давления в пласте аналогично работе источника (или стока). Этот результат часто используется как простой метод решения сложных задач фильтрации в прискважинной области. Далее мы неоднократно будем пользоваться этим методом.

3. В реальной ситуации благодаря наличию глинистой корки, зон кольматации, загрязнения, искусственной трещиноватости (при гидроразрыве) и т. д. проницаемость произвольной зоны скважины может сильно отличаться от проницаемости остальной части пласта. Учесть влияние этой неоднородности можно двумя способами.

Первый способ заключается в замене граничного условия условием вида (2.38)

,

(3.63)

где - безразмерный параметр, характеризующий степень роста поверхностного сопротивления при (глинистая корка, кольматации, загрязнение и т. д.) или его снижение при (декольматации, поверхностные трещины, установлен фильтр высокой проницаемости); при граничное условие (3.63) совпадает с первым условием (3.39).

Используя общее решение (3.58), граничное условие (3.63) и условие без труда найдем, что решение этой задачи также имеет вид (3.58) – (3.61), необходимо только заменить истинный радиус скважины приведенным:

.

(3.64)

В частности, формула Дюпюи (3.61) принимает следующий обобщенный вид:

,

(3.65)

где - приведенные коэффициенты гидропроводности и продуктивности пласта;

.

(3.66)

Как будет показано ниже, к формуле (3.65) сводятся решения разных граничных задач фильтрации.

Параметр ОП дает количественную оценку снижения (при S>0) или увеличения (при S<0) гидропроводности и продуктивности пласта вследствие кольматации или декольматации приствольной части пласта. Поэтому он используется в настоящее время как

Основной показатель

качества вскрытия продуктивных пластов, освоения и заканчивания скважин.

Для определения показателя ОП необходимо, как следует из формул (3.49) и (3.50), найти параметры или параметр S при известном отношении .

Приведенная (или фактическая) гидропроводность пласта устанавливается по индикаторной диаграмме (ИД) – зависимости , получаемой при исследовании скважины методом установившихся отборов. Истинная (или потенциальная) гидропроводность пласта определяется обычно по кривой восстановления давления (КВД) – зависимости , получаемой при исследовании скважины на неустановившемся режиме фильтрации. По КВД при дополнительных сведениях о пласте находят параметр S.

Второй способ решения данной задачи заключается в рассмотрении плоско-радиальной фильтрации для составной области, состоящей из приствольной зоны , постоянной или переменной по проницаемостью , и удаленной части пласта с проницаемостью .

Если принять , то для каждой из однородных областей имеем решение вида (3.42)

(3.67)

где константы определяются из 4-х граничных условий

(3.68)

В результате простых вычислений получим следующее решение задачи [сравн. с формулой (3.62)]:

(3.69)

где - расход, определяемый по формуле

;

- гидропроводности приствольной и удаленной частей пласта; - приведенный радиус скважины:

.

(3.70)

Сравнивая правые части (3.64) и (3.70), получим известную формулу для вычисления показателя «скин-эффекта»

.

(3.71)

Отсюда и из формулы (3.66) следует:

Так как очень близкие величины, то понятно, что увеличение проницаемости приствольной зоны оказывает слабое влияние на гидропроводность пласта. В то же время уменьшение проницаемости приствольной зоны может оказать существенное влияние на снижение гидропроводности пласта. Например, при и получим и , т. е. гидропроводность пласта уменьшится в 2 раза. Но при , что соответствует увеличению диаметра скважины в 2 раза, имеем , т. е. гидропроводность пласта увеличится всего на 12%.

4. В том случае, когда приствольная зона скважины представляет собой область непрерывного изменения проницаемости , уравнение неразрывности (3.57) видоизменится:

.

(3.72)

Для удаленной части пласта распределение давления соответствует решению (3.51), а для приствольной зоны путем интегрирования (3.56) находим

.

(3.73)

Примем закономерность изменения проницаемости в области в виде

,

где – проницаемость удаленной части пласта, т. е. при

– проницаемость стенки скважины .
После подстановки в (3.73),интегрирования и определения постоянных из граничных условий (3.68) получим следующее решение задачи:

где , а расход вычисляется по обобщенной формуле Дюпюи (3.65), в которой приведенный радиус скважины надо принять

.

Используя сходство этой формулы с формулой (3.70), легко найти
параметр , исходя непосредственно из формулы (3.71):

Пусть, например, при бурении проницаемого интервала
на стенке скважины сформирована глинистая корка проницаемостью , т. е. и . Принимая и , получим

и ,
т. е. поглощение фильтрата бурового раствора уменьшится более чем в 2 раза.

5.Если пласт содержит упорядоченную систему трещин, то в нем благодаря анизотропии проницаемости плоско-радиальный характер фильтрации не будет иметь место (см. разд. 2).

Рассмотрим случай, когда одно из главных направлений анизотропии Ox₃ совпадает с направлением оси скважины Oz (например, упорядоченная система вертикальных трещин в вертикальной скважине). Тогда два других главных направления анизотропии Ох₁ и Ох₂ расположены в плоскости , т. е. параллельно кровле и подошве пласта. При заданных однородных граничных условиях в скважине и на поверхности питания (3.55) фильтрация будет плоской, так как , но не радиальной. В плоскости х₁х₂ имеют место обобщенный закон Дарси [см. формулу (2.40)]

,

и соответствующее ему уравнение неразрывности [см. формулу (2.42)]

.

(3.74)

Как было сказано в разд. 2, введением новой системы координат

(3.75)

уравнение (3.74),заданное в анизотропной плоскости х₁х₂, преобразуется в уравнение Лапласа

.

(3.76)

для изотропной плоскости , проницаемость которой

Принимая скважину в качестве источника (или стока) интенсивностью , получим, аналогично (3.62), поле давления

.

(3.77)

где , – радиус контура питания в плоскости . Отсюда следует, что эквипотенциальной поверхностью являются: окружность в плоскости и эллипс в плоскости х₁х₂, где – полуоси эллипса.

Это означает, что контуром питания (где ) в анизотропном пласте может быть только эллипс

(3.78)

Согласно (3.59) этому эллипсу в плоскости соответствует окружность . В то же время окружность преобразуется в эллипс

(3.79)

Поэтому в строгой постановке первая основная граничная задача формулируется так: найти решение уравнения (3.76), удовлетворяющее условию в точках эллипса (3.79) и условию на окружности .

Однако для определения расхода ‚ достаточно хорошее приближение получается, если эллипс (3.79) заменить эквивалентной окружностью радиуса

.

(3.80)

Используя в (3.61) условие при получим

.

(3.81)

Если истинный эллиптический контур питания (3.78) заменить условным – окружностью радиуса

(3.82)

то, выразив через и подставив полученное выражение и соотношение (3.80) в (3.81) придем к обычной формуле Дюпюи (3.65), в которой , а приведенный радиус скважины, приведенные коэффициенты гидропроводности и продуктивности надо принять равными:

(3.83)

где

.

(3.84)

Отсюда следует, что при прочих равных условиях в анизотропном пласте расход жидкости выше, чем в изотропном пласте эквивалентной гидропроводности .

В нижеследующей таблице приведены значения при нескольких параметрах анизотропии и .

				102	103	104
	1,03	1,05	1,15	1,21	1,50	2,05

Видно, что влияние анизотропии заметно при больших отношениях .

6. Если после вскрытия пласта проницаемости и в приствольной зоне скважины изменились и стали равными и то возникает задача об определении расхода в неоднородном анизотропном пласте. Приближенное решение этой задачи может быть без труда найдено при следующих условиях:

главные направления проницаемостей в приствольной зоне и удаленной части пласта совпадают;

границей раздела областями является эллипс

(3.85)

где – радиус границы раздела в преобразованной плоскости .

Обозначим давление на общей границе через и рассмотрим каждую из областей независимо друг от друга.

Так как подобным эллипсам (3.78) и (3.85) в плоскости соответствуют концентрические окружности и , то для удаленной части пласта имеем [см. формулу (3.81)]

,

(3.86)

где –приведенная гидропроводность удаленной части пласта. Рассматривая приствольную зону скважины, замечаем, что здесь преобразование системы координат х₁х₂ в осуществляется с помощью другого параметра анизотропии ,т. е.

Следовательно, границы этой области: эллипс (3.69) и окружность преобразуются в эллипсы с соответствующими полуосями

Заменив эти эллипсы эквивалентными окружностями, радиусы которых равны

(3.87)

получим приближенную формулу для расхода жидкости

,

(3.88)

где – приведенная гидропроводность призабойной части пласта.

Определив из равенства правых частей (3.86) и (3.88), после преобразования получим следующую обобщенную формулу Дюпюи:

,

(3.89)

где

.

Видно, что при и имеем , т. е. влияние анизотропии исчезает, если призабойная зона скважины в результате кольматации приобрела свойства изотропной среды. Аналогичный результат имеет место при и , что возможно, например, при гидроразрыве изотропного пласта. Отсюда следует вывод гидроразрыв гранулярного коллектора в ПЗ не может привести к заметному росту продуктивности скважины. Его положительная роль сводится к разрушению зоны кольматации и тем самым восстановлению потенциальной продуктивности пласта. Только при гидроразрыве анизотропного пласта, когда , продуктивность скважины может быть увеличена.

7. Фильтрация, отличная от плоско-радиальной, возникает и в том случае, когда пласт вскрыт не на всю мощность, а частично или часть пласта перекрыта обсадной колонной, или связь пластовой и скважинной жидкостей осуществляется через перфорационные отверстия в колонне.

В этих случаях говорят о несовершенном вскрытии пласта и задают граничное условие лишь на открытой части поверхности , а на остальной условие непроницаемости . Течение жидкости в таких условиях вблизи скважины пространственно, и, естественно, решение задачи фильтрации усложняется.

Известны различные приближенные аналитические решения этих задач и экспериментальные исследования на моделях, учитывающие тот или иной вид несовершенства вскрытия пласта.

Общий вывод, который следует из полученных решений, сводится к тому, что расход жидкости и в этих случаях вычисляется по обобщенной формуле Дюпюи (3.49), где приведенный радиус скважины

,

(3.90)

здесь – показатель фильтрационного сопротивления, связанный с несовершенством вскрытия пласта.

Отношение расхода жидкости при несовершенном вскрытии к расходу при совершенном вскрытии пласта в тех же условиях определяют аналогично параметру ОП [см. формулу (3.66)]

коэффициент сопротивления:

. (3.50)

(3.91)

В общем случае где и – показатели сопротивления, обусловленные несовершенством по степени и характеру вскрытия пласта. Для случая вскрытия части пласта Маскет, используя метод источников, нашел, что при показатель несовершенства по степени вскрытия можно определить по формуле

. (3.50)

Здесь ,
где – гамма-функция (известная, табулированная функция); .

Представление о функции и показателе дает табл. 3.

Таблица 3

0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0,4	0,3	0,2
0,43	0,84	1,38	2,04	2,93	4,33	7,1	13,11
	0,16	0,47	0,91	1,52	2,35	2,62	5,35	8,1
	0,24	0,65	1,21	1,98	3,04	3,65	6,87	10,87
	0,41	1,05	1,89	3,05	4,66	6,07	10,63	17,39
	0,49	1,22	2,19	3,52	5,35	7,11	12,24	20,08

Например, при R_c = 0,1 м, h = 20 м, h₁ = 10 м, согласно таблице при h/R_c=200 и h₁=0,5, получим С₁=З,35, что при соответствует коэффициенту сопротивления КС = 0,65.

Существенное значение в этой задаче могут иметь различные проницаемости вдоль пласта и в направлении, перпендикулярном к пласту , т. е. анизотропия проницаемости. Доказано, что учесть этот фактор можно, если заменить истинную мощность пласта приведенной .

Если, например, , то по данным предыдущего примера имеем , и, согласно формулам, и .

Несовершенство по характеру вскрытия имеет место, когда связь со скважиной осуществляется через круглые или щелевые отверстия в обсадной колонне. В этом случае показатель несовершенства может быть вычислен по следующим приближенным формулам:

(3.50)

где – открытая часть поверхности колонны; – диаметры перфорационных отверстий и скважины; т — число рядов щелей.

Рис. 3.5 Схема призабойной зоны скважины с искусственным фильтром

Рис. 3.6 Зависимость показателя снижения фильтрационного сопротивления от величины дополнительной зоны фильтрации при h/Re = 15: 1 2, 3 соответственно при R_ф/R_c = 8; 5; 3

Рис. 3.7Зависимость показателя снижения фильтрационного сопротивления от мощности пласта и радиуса фильтра приl/R_ф = 2: 1, 2, 3 соответственно

при R_ф/R_c = 8; 5; 3

Приведем решение задачи, когда приствольная зона скважины оборудована искусственным фильтром (2)высотой и проницаемостью , отличной от проницаемости пласта (1)(рис. 3.5).

Приведенный радиус в этом случае

,

(3.92)

где – параметр «скин-эффекта» [см. формулу (3.71)]; показатель снижения сопротивления, обусловленный наличием дополнительной зоны ; – функция безразмерных параметров , , .

На рис.3.6 показаны графики зависимости от при трех значениях отношения и . Из него следует, что с увеличением функция быстро растет до асимптотического значения, которое наступает при . Это доказывает нецелесообразность установки фильтра высотой больше чем .

Влияние мощности пласта на иллюстрируется графиками на рис.3.7 при тех же значениях и .

Лекция 5 § 6. МГНОВЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ И

КРИТЕРИИ ПРОЧНОСТИ

1. Характерные мгновенные свойства твердых тел

при кратковременном осевом растяжении (сжатии).

На примере кратковременного осевого растяжения (сжатия) цилиндрического образца легко проследить характерные мгновенные свойства твердых тел. На рис. 12 показан общий вид деформационной кривой напряжение – деформация ( ). Эту кривую условно разбивают на следующие характерные участки:

ОА – участок упругих деформаций, где материал подчиняется линейному закону Гука

(2.66)

с коэффициентом пропорциональности Е, называемым модулем упругости, или модулем Юнга;

АВ – участок пластического течения (или текучести), характеризуемым нарастанием деформации или неизменном напряжении , которое называется пределом упругости или пределом текучести;

ВС – участок упрочнения, где нелинейная зависимость между напряжением и деформацией по аналогии с уравнение (2.56) представима в форме

(2.67)

с коэффициентом , называемым модулем пластичности;

СD – участок разрушения, напряжение называется пределом прочности;

LM – участок разгрузки или повторной нагрузки.

Рис.12. Общий вид деформационной кривой

Если точка L расположена выше точки А, то при полной разгрузке исчезает накопленная упругая деформация и сохраняется деформация пластическая . При повторном нагружении образца его диаграмма мало отличается от кривой MLC, т.е. материал в результате первоначального нагружения выше как бы приобретает дополнительные упругие свойства и повышает предел упругости ; это явление называется упрочнением.

Функцию удобно задавать в аналитической форме, при выборе которой необходимо руководствоваться соображениями удобства при расчетах.

Экспериментально установлено, что степенной закон

(2.68)

является часто наиболее приемлемым, где К и т – константы материала при испытаниях в заданных условиях.

Рис. 13. Деформационные кривые сухой глины

(1, 2, 3 – соответственно при = 92, 29,13 МПа

В качестве примера на рис.13 показаны диаграммы , построенные для высушенной на воздухе глины при нескольких значения всестороннего давления , в табл. 1 – результаты обработки этих диаграмм.

Таблица 1

, МПа	Е, 103, МПа	, МПа	, МПа	K, МПа	m	, %
					0,4
	1,1				0,4
					0,4

( - общая деформация до разрушения)

Параметры K и т определялись следующим образом. Кривые на рис. 13 перестраивались в логарифмических координатах , и после сравнения полученной прямой с зависимостью определялись искомые параметры.