Тема 2.2: уравнение бернулли для идеальной жидкости

При решении некоторых задач с целью упрощения исходят из допущения о том, что жидкость идеальная, т.е. не сопротивляется сдвигающим усилиям (силы трения отсутствуют), не сжимается и не испаряется (Р_Н.П. = 0). В этом случае основными уравнениями для решения задач являются уравнение постоянства расхода (2.1.6) и уравнение Бернулли для идеальной жидкости.

Уравнение Бернулли выражает закон сохранения удельной (отнесенной к единице веса или объема) энергии вдоль данного потока.

При движении идеальной жидкости полная энергия потока, отнесенная к единице веса, для двух сечений 1-1 и 2-2 может быть записана в виде:

(2.2.1)

где все члены уравнения имеют размерность длины (м).

Z - высота положения сечения от плоскости сравнения (геометрический напор), м

P/rg - высота, соответствующая пьезометрическому давлению (гидростатический напор), м.

u²/2g - высота, соответствующая скоростному давлению (скоростной напор), м. Эта величина выражает удельную кинетическую энергию потока.

Сумма Z + P/ rg представляет собой удельную потенциальную энергию (потенциальный напор).

Сумма потенциального и скоростного напора

Z + P/ rg + au²/2g - гидродинамический напор.

Обозначив полную удельную энергию потока Е, а полный напор Н, можно записать для двух сечений:

Е₁ = Е₂ и Н₁ = Н₂ (2.2.2)

Если энергию жидкости отнести к единице объема, то уравнение (2.2.3) примет вид:

(2.2.4)

где все члены уравнения имеют размерность давления (Па).

УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Применение уравнения Бернулли для идеальной жидкости возможно в случаях близко расположенных сечений, когда потерями энергии при движении жидкости можно пренебречь или учесть их справочным поправочным коэффициентом к результату расчета.

При использовании уравнения Бернулли необходимо правильно выбрать плоскость отсчета (сравнения) и те два сечения, для которых записывается уравнение.

Плоскость сравнения назначается с учетом следующих рекомендаций: она должна быть горизонтальной и, по возможности, упрощать уравнение за счет обращения в нуль геометрических составляющих Z (проведением плоскости сравнения через центры сечений). Если нулевого значения высоты положения сечения добиться не удается, то оно должно иметь положительное значение (откладываться от плоскости вверх).

Живые сечения потока выбираются таким образом, чтобы в уравнение Бернулли вошли заданные и искомые величины при минимальном числе неизвестных величин. Такими характерными сечениями являются:

- свободные поверхности в резервуарах, где u = 0;

- выход в атмосферу, где Р_ИЗБ = 0, Р_А = Р_а;

- сечение, где подсоединен прибор для измерения давления;

- неподвижный воздух при всасывании воздуха в трубу из атмосферы.

При решении задачи уравнение Бернулли первоначально записывается в общем виде (2.2.1) или (2.2.4), а затем преобразовывается применительно к данной задаче, т.е. переписывается с подстановкой заданных буквенных величин и исключением членов с нулевым значением.

Значения давлений должны быть выражены в одних единицах и в одной системе отсчета (избыточное или абсолютное). При решении задач с вакуумом оперировать необходимо абсолютными давлениями.

ПРИМЕРЫ

Пример 2.2.1.Определить расход керосина (r = 800 кг/м³), вытекающего из бака по трубопроводу диаметром d = 50 мм, если избыточное давление воздуха в баке Р_О = 16 КПа. Высота Н_О = 1 м. Уровень керосина в открытом пьезометре Н = 1,75 м. Потерями энергии пренебречь.

Решение. Расход керосина определяется скоростью движения в трубе диаметром d: Q = u w = u p d² / 4

Так как потерями энергии допускается пренебречь, то для нахождения скорости можно воспользоваться уравнением Бернулли для идеальной жидкости, записанному для двух сечений (2.2.1):

Выберем плоскость сравнения 0-0 по оси трубы. Характерными сечениями 1-1 и 2-2 в данном случае являются свободная поверхность керосина в баке и место установки пьезометра.

В правой и левой частях уравнения давления учитываем избыточные (без учета атмосферного давления).

Тогда в уравнении возможны следующие замены:

Высота расположения сечения 1-1 над плоскостью отсчета 0-0: Z₁ = Н_О;

Избыточное давление в сечении 1-1 равно давлению в баке: Р₁ = Р_О;

Скорость в резервуаре принимаем u₁ = 0 (истечение из малого отверстия);

Центр второго сечения совпадает с плоскостью 0-0, т.е. Z₂ = 0;

Избыточное давление в сечении 2-2 измерено высотой керосина в пьезометре: Р₂ /rg = Н.

После замены уравнение Бернулли принимает вид:

или

Откуда

Находим расход

Q = u₂ w = u₂ p d² / 4 = 5 ^. 3,14 ^. 0,05² / 4 = 0,0098 м³/с = 9,8 л/с.

Пример 2.2.2. Определить расход воды в трубе диаметром d₁ = 250 мм, имеющей сужение диаметром d₂ = 125 мм. Показания пьезометров: до сужения h₁ = 50 см, после сужения h₂ = 30 см. Потери энергии учесть коэффициентом расхода m расходомера Вентури.

Решение.

С учетом коэффициента расходомера расход по трубе определяется из соотношения:

Q = m w₁ u₁ = m w₂ u₂

Для определения расхода необходимо вычислить скорость движения в широкой или суженной части. Эта задача решается с помощью уравнения Бернулли для идеальной жидкости.

Выберем плоскость отсчета 0-0 на уровне оси трубы. Тогда получим превышения сечений Z₁ = Z₂ = 0.

Характерными сечениями 1 и 2 в данном случае являются места установки пьезометров. Уравнение Бернулли принимает вид:

или

Так как высоты h₁ и h₂ выражают пьезометрические давления в сечениях, то

Так как в данном равенстве обе скорости неизвестны, то в качестве второго уравнения используем уравнение постоянства расхода (2.1.6)

w₁ u₁ = w₂ u₂, откуда

Подставив полученное выражение для u₂ в предыдущее равенство, получим:

,

откуда находим скорость в широкой трубе

.

Вариант решения: ;

Коэффициент расхода определяем по справочным данным в зависимости от числа Рейнольдса в сужении и соотношения диаметров.

При и d₂/d₁ = 0,5 m = 0,98

Находим расход в трубе

Q = m u₁ w₁ = 0,98 ^. 0,51 ^. 3,14 ^. 0,25² / 4 = 0,0245 м³/с.

Пример 2.2.3. Вода в количестве 30 л/с подается к водоструйному насосу по трубе D = 100 мм под полным давлением Р₁ = 2 ат. Диаметр горловины насоса d = 50 мм. Излив из напорной линии происходит в атмосферу. Определить высоту Н поднятия воды из резервуара.

Решение. Высота поднятия воды соответствует величине вакуума в горловине насоса:

h_ВАК = Р_ВАК / r g.

Составим уравнение Бернулли для двух близко расположенных сечений: трубы перед насосом (широкое сечение) и горловины (место установки трубки), пренебрегая потерями давления.

Приняв плоскость сравнения по оси труб (Z₁ = Z₂ = 0), а также учитывая, что абсолютное давление в горловине насоса составляет Р₂ = Р_а - Р_ВАК ,получим уравнение:

или

Используя уравнение постоянства расхода найдем соотношение скоростей:

w₁ u₁ = w₂ u₂, откуда

Находим скорость воды в подающей трубе

м/с

Заменяя в уравнении Бернулли скорость u₂ на 4u₁, получим:

Принимая плотность воды r = 1000 кг/м³ , находим высоту поднятия воды, соответствующую разрежению в горловине насоса: