Элементы нелинейной механики разрушения в силовом подходе. Двухпараметрический критерий Е.М. Морозова

Обсуждавшееся до сих пор хрупкое разрушение –лишь один из возможных механизмов исчерпания несущей способности элементов конструкций. Его противоположностью является вязкое разрушение, возможно и без образования трещины. В структурно неоднородных материалах, например, композитах, таких механизмов может больше.

Стремление сформулировать критериальные соотношения, учитывающие оба предельных механизма, а также промежуточные состояния (так называемое квазихрупкоеразрушение) было реализовано в виде специальных двухпараметрических критериев. Один их них базируется на концепции коэффициента интенсивности напряжений, другой – раскрытия в вершине трещины (в рамках деформационного подхода). Остановимся на первом, предложенном в свое время Е.М. Морозовым.

В тех условиях, когда реализуется хрупкое разрушение, применим силовой критерий

В этом случае, как уже говорилось, размер зоны пластичности в вершине трещины мал, невелика и критическая нагрузка F_c (рис. 4.31).

С уменьшением размера трещины величина F_c, очевидно, будет увеличиваться, соответственно увеличивается и зона пластичности.В пределе при l = 0 и нагрузке F_В= F(s _В) пластическим течением будет охвачено все сечение.Условие вязкого разрушения в этих условиях вполне очевидно:

.

Рис. 4.32. Предельная поверхность модельного материала в котором возможна реализация либо хрупкого,либо вязкого разрушения

Рис. 4.33. Предельная поверхность реального материала в котором возможны как хрупкоеили вязкое, так и смешаноеразрушения

Допустим, что в образце могут реализовываться только два предельных механизма – хрупкое и вязкое разрушение – в отсутствии смешаных. Отвечающая обоим критериям предельная поверхность такого модельного материала показана на рис. 4.32. Критерий достижения предельного состояния в двухпараметрической форме имеет вид

Приведенная схема является предельно упрощенной и носит иллюстративный характер. В действительности всегда имеют место смешаные виды разрушения, поэтому предельная поверхность уже не имеетпрямых граней (рис. 4.33).

Эксперименты и теоретический анализ показывают, что в бесконечной пластине с увеличением длины трещины l_cпроисходит компенсирующее падение разрушающей нагрузки s_с, в результате чего критическое значение K(l_c, s_с) КИН остается постоянным. Линия предельной поверхности в области хрупких разрушений оказывается параллельна оси абсцисс (см. рис. 4.33); и вообще, если для данного материала в рассматриваемых условиях существует возможность хрупкого разрушения, то предельная поверхность будет иметь горизонтальное плато.

В телах конечных размеров КИН определяется, помимо прочего,еще и взаимодействием поля напряжений в вершине трещины с границами объекта (в частности, для схемы, изображенной на рис. 4.31 ,см. также рис. 4.10); в этих условиях взаимная компенсация величинs_си l_cв широких пределах уженевозможна, поэтому критическое значение КИН оказывается зависимым от длины трещиныl_c(отражается поверхностью разрушения–сплошной линией на рис. 4.33).

Сама же зависимость

K(l, s_с) = K_с(l),

найденная экспериментально с помощью соотношений линейной механики разрушения, была названа автором пределом трещиностойкости (I_c).

Надо признать, что это обстоятельство – зависимость отразмера трещины – затрудняет определение характеристики I_c. Ниже будет показано, что в определенном диапазоне длин трещин (длинных трещин) предел трещиностойкости можно считать почти независимым от параметра l.

Не случайно вэтом разделе столько внимания было уделено силовому подходу в механике разрушения – именно он, главным образом, используется в практике инженерных расчетов, связанных соценкой трещиностойкости конструкций. Вместе с тем, наряду ссиловым в механике разрушения разрабатываются и иные, альтернативные, подходы – энергетический и деформационный, которые более распространены в научной практике.

Энергетический подход

к оценке трещиностойкостиэлементов конструкций

Другими довольно широко используемыми в настоящее времякритериями трещиностойкости элементов конструкций являются энергетические. Смысл энергетического подхода к формулировке условия хрупкого разрушения состоит в следующем:

рост трещины возможен лишь в том случае, когда система способна выделить энергию, необходимую для образования новых поверхностей.

Источником энергии может быть работа, совершаемая внешней нагрузкой, или энергия упругого деформирования, запасенная в системе.

Стабильный (контролируемый, см. рис. 4.28) рост трещины в пластине единичной толщины возможен, если выполняется условие

,

(4.7)

где А – работа внешней нагрузки;

U – потенциальная энергия упругого деформирования;

F– энергия, необходимая для образования новых поверхностей, иными словами, для продвижения трещины.

Структура энергозатрат на этапе стабильного роста трещины показана на рис. 4.23.

Параметр называетсяинтенсивностью выделения энергии, – сопротивлением росту трещины.

По смыслу отношение представляет собой энергию, приходящуюся на единицу пути распространения трещины, которая пропорциональна величине ; интенсивность же выделения энергии в целом – .Схеме «трещина в бесконечной тонкой пластине при одноосном растяжении» (рис. 4.7) соответствует значение постоянной С= p; окончательно

	– плоское напряженное состояние;	(4.8)
	–плоскоедеформированноесостояние.	(4.9)

Таким образом, для стабильного роста трещины необходим баланс между подводимой и поглощаемой энергией. В хрупких материалах, таких как силикатное стекло, полиметилметакрилат, конструкционная керамика и др., последнюю связывают с так называемой поверхностной энергиейg, необходимой для образования новых поверхностей,

F = 2 g l, .

Уравнение энергетического баланса (4.7) для системы на рис. 4.7 разрешим относительно критического напряжения s_c:

.

Этот критерий впервые был сформулирован А.Гриффитсом.

Анализ и экспериментальные проверки критерия Гриффитса (Ирвин, Орован и др.) показали, что в действительности энергия развития трещины в металлах значительно превосходит теоретическую величинуповерхностной энергииg. Этот факт объясняется преобладанием в общих энергетических затратах доли энергии, расходуемой на пластическое деформирование материала у вершины трещины(диссипации), над той ее частью, которая необходима непосредственно для разделения поверхностей, т.е., разрушения, разрыва связей в материале.

В результате экспериментальных исследований было установлено, что сопротивление росту трещины Rпри плоском деформированном состоянии практически не зависит от ее длины l. Существует такое значение интенсивности выделения энергии –константа материала, выше которого материал не способен поглотить выделяемую системой энергию (рис. 4.34). Условие энергетического баланса нарушается: G>R – стабильное подрастание трещины сменяется лавинообразным.

В условиях плоского напряженного состояния характеристика R=R(l)нелинейна, в связи с чем она получила название R–кривая. Как следует из схемы нарис. 4.34 справа, при любой величине номинального напряжения s£s₂рост трещины невозможен, поскольку выделяемой энергии недостаточно для преодоления сопротивления росту трещины(равенство G=Rвыполняется в одной-единственной точке – В); тем не менее размер трещины в этот момент, как и во все предыдущие, остается прежним(Dl_i=0). По мере увеличения нагрузки s>s ₂происходит контролируемый рост трещины, так напряжению s ₃отвечает удлинение D l₃.Наконец, точка D на диаграмме соответствует моменту, после которого энергетический баланс нарушается в пользу интенсивности выделения энергии (G > R), стабильный рост трещины сменяется нестабильным.

Таким образом, необходимое и достаточное условие разрушения в энергетических терминах имеет вид

G = R;

.

Заметим, что при плоском напряженном состоянии критическая интенсивностьвыделения энергии G_1с уже не является характеристикой материала.

Крафт предположил, что для данного элемента конструкции R–кривая инвариантна по отношению к длине трещины, что для определенных условий было подтверждено экспериментально. На основании этой гипотезы можно любой длине l_iтрещины сопоставить значение характеристики трещиностойкости (рис. 4.35).

В ходе экспериментального изучения закономерностей распространения трещин в плоских образцах в ряде случаевотмечалась локальная нестабильность этого процесса.Сростом нагрузки трещина, вначале неподвижная, при достижении некоего порогового значения интенсивности выделения упругой энергии , не зависящего от длины трещины, совершает резкий скачок на величину D l_хлопка (рис. 4.36), сопровождающийся отчетливо слышимым щелчком, после чего следует период ее стабильного развития. Эта особенность получила название«эффект хлопка».Для описания эффекта хлопка были предложены специального видаR–кривые, одна из которых приведена на рис. 4.36.

Своеобразной характеристикой трещиностойкости конкретногообъекта можно считать упоминаемую ранее довольно часто в отечественной и зарубежной литературе диаграмму докритического разрушения–связь номинального напряжения, по сути, нагрузки, с длиной трещины на стадии ее стабильного развития (рис. 4.37). Нетрудно видеть, что данная диаграмма может бытьполученапутем анализа поведения трещины в указанный период, и полностью объясняется соотношениемфункцииG(s, l)и заданнойR–кривой.

Ранее, в подразделе 4.9 было отмечено, что для достаточно длинных трещин предел трещиностойкостидовольно слабозависит от параметра l, и в первом приближенииего можно считать постоянным.Это утверждение иллюстрирует рис. 4.37: критические длины трещины l_с,l_с1,l_с2 заметно отличаются друг от друга,но критическая интенсивность выделения упругой энергии с ростом длины трещины увеличивается незначительно. Таким образом, задавшись допуском DG_1c, можно определить диапазон длин трещин, в котором величина G_1cстановится постоянной рассматриваемой системы, чтоупрощает соответствующие расчеты.

В пластинах конечной ширины (так называемых полосах) зависи мость G(l) становится нелинейной (рис. 4.35, трещинадлинойот ) в связи со взаимодействием поля напряжений в вершине с границами пластины. С учетомоднозначной связи между параметрамиG и Kв рамках линейной механики разрушения (см. соотношения (4.8), (4.9))это обстоятельство отражается введением в выражение для коэффициента интенсивности напряжений корректирующих функций, например,

(см. подраздел 4.4). В связи с этим кривая имеет экстремум (рис. 4.38).Оказывается,наибольшая трещиностойкостьпластин с трещинами может быть достигнута при оптимальном с точки зрения хрупкой прочности соотношении ширины пластины и длины трещины, причем, надо заметить, не самой короткой.

В том случае, когда размер зоны пластичности не может считаться весьма малым по сравнению с длиной трещины (необходимо отличие, по крайней мере, в 25 раз, см. подраздел 4.7), параметр «интенсивность выделения упругой энергии» неприменим, т.к. пренебречь диссипацией энергии при неупругом деформировании уже нельзя. Решения задачи о напряженно-деформированном состоянии в окрестности трещины, выходящее за рамки линейной механики разрушения, были предложены независимоГ.П. Черепановым и Дж. Райсом. Последним также был сформулирован энергетический критерий разрушения, использующий специальную характеристику – так называемый J–интеграл

;

здесь T_i = s_ij n_j – составляющие проекции тензора напряжения на нормаль к замкнутому контуру Г (рис. 4.39);

–работа, затраченная на деформирование элемента объема;

u – перемещение вдоль оси х;

ds – элемент дуги контура Г.

Можно показать, что J–интег-ралне зависит от пути интегрирования (поэтому его называют контурно независимым) при условии, чтоконтур интегрирования не вторгается в зону пластического деформирования. Это позволяет выбирать такие траектории, где интегрирование не представляет трудностей, например, свободные края образца (рис. 4.39).

В тех условиях, когда справедлив подход линейной механики разрушения, J–интеграл совпадает с интенсивностью выделения упругой энергии G, в общем же случае величина (U–потенциальная энергия) представляет обобщенную функцию выделения энергии системой за счет продвижения трещины (рис. 4.40). Аналогом критического значения G_1сявляется критическое значение J–интеграла J_1с, что экспериментально было подтверждено Бигли, Лэндисом, Кобаяши и др.