Задачи и методы сопротивления материалов

Обобщённый закон Гука

В общем случае напряжение и деформации описываются тензорами второго ранга в трёхмерном пространстве (имеют по 9 компонент). Связывающий их тензор упругих постоянных является тензором четвёртого ранга и содержит 81 коэффициент. Вследствие симметрии тензора , а также тензоров напряжений и деформаций, независимыми являются только 21 постоянная. Закон Гука выглядит следующим образом:

где — тензор напряжений, — тензор деформаций. Для изотропного материала тензор содержит только два независимых коэффициента.

Благодаря симметрии тензоров напряжения и деформации, закон Гука может быть представлен в матричной форме.

Лекция 1. Введение

Рис. 1.1

Второй основной геометрической фор­мой, рассматриваемой в сопротивлении материалов, является обо­лочка, под которой подразумевается тело, у которого одно из измерений (толщина) намного меньше, чем два других. К оболочкам относятся различного рода резервуары, котлы, купола зданий, корпуса подводных лодок, обшивка фюзеляжа самолета и т.п.

Оболочка, срединная поверхность которой представляет собой плоскость, называется пластиной. Примером могут служить крыши и днища резервуаров, перекрытия зданий, различные диски и т.п.

Элемент конструкции, размеры которого во всех направлениях мало отличаются друг от друга, называется массивом. К ним относятся фундаменты сооружений, подпорные стенки и т.п.

Связи и опорные устройства

Для соединения отдельных частей конструкции между собой и передачи внешней нагрузки на основание на нее накладываются связи, ограничивающие перемещения тех точек сооружения, к ко­торым они приложены. Связи могут ограничивать либо повороты точек сооружения, либо их линейные смещения, либо и то и дру­гое.

Основным видом связей в расчетной схеме является шарнирная связь.

Простой шарнир (рис. 1.2) накладывает две связи.

Рис. 1.2

В расчетную схему входит основание, т.е. тело, на ко­тоpое опирается cистема в целом, считающееся неподвижной.

Неподвижность расчетной схемы относительно основания обеспечивается опорными связями (опорами).

Все опорные связи условно делятся на три основных типа:

- Подвижная шарнирная опора (рис.1.3, а). Такая опора не препятствует вращению конца бруса и его перемещению вдоль плоскости качения. В ней может возникать только одна реакция, которая перпендикулярна плоскости качения и проходит через ось катка (R).

- Неподвижная шарнирная опора (рис.1.3, б). Такая опора допускает вращение конца бруса, но устраняет поступательное движение ее в любом направлении. Возникающую в ней реакцию можно разложить на две составляющие, одна из которых направлена вдоль оси бруса (Н), другая - перпендикулярно к оси бруса (R).

- Жесткая заделка или защемление (рис.1.3, в). Такое закрепление не допускает ни линейных, ни угловых перемещений опорного сечения. В этой опоре в общем случае может возникать реакция, которую обычно раскладывают на две составляющие (H и R) и момент защемления (М).

При рассмотрении реального объекта в число внешних сил включаются не только заданные нагрузки, но и реакции связей (опор), дополняющие систему сил до равновесного состояния.

Рис. 1.3

Рис. 1.4

Обозначая через и суммы внешних сил, приложен­ных соответственно, к левой и правой частям бруса (относительно сечения А), и учитывая, что

(1.1)

для отсеченных частей бруса получим следующие очевидные соот­ношения:

; . (1.2)

Последние соотношения показывают, что равнодействующая внутренних сил Р_А в сечении А может определяться с равным успе­хом из условий равновесия либо левой, либо правой частей рассе­ченного тела. В этом суть метода сечений.

Внутренние усилия должны быть так распределены по сече­нию, чтобы деформированные поверхности сечения А при совме­щении правой и левой частей тела в точности совпадали. Это тре­бование в механике твердого деформируемого тела носит название условия неразрывности деформаций.

Воспользуемся правилами статики и приведем систему внут­ренних сил к центру тяжести сечения А в соответствии с прави­лами теоретической механики. В результате получим главный век­тор сил и главный вектор момента (рис. 1.5). Далее выбира­ем декартову систему координат xyz с началом координат, совпада­ющим с центром тяжести сечения А. Ось направим по нормали к сечению, а оси и расположим в плоскости сечения. Спроекти­ровав главный вектор сил и главный момент на координат­ные оси x, y, z, получаем шесть составляющих: три силы N_z , Q_x , Q_y и три момента M_z , M_x , M_y , называемых внутренними силовы­ми факторами в сечении бруса.

Составляющая N_z называется нормальной, или продольной си­лой в сечении. Силы Q_x и Q_y называются поперечными усилиями. Момент M_z называется крутящим моментом, а моменты M_x и M_y - изгибающими моментами относительно осей x и y, соответственно.

При известных внешних силах все шесть внутренних силовых факторов в сечении определяются из шести уравнений равновесия, которые могут быть составлены для отсеченной части.

Пусть R^*, M^* - результирующая сила и результирующий момент, действующие на отсеченной части тела. Если тело при действии полной системы внешних сил находится в равновесном состоянии, то условия равновесия отсеченной части тела имеет вид:

(1.3)

Последние два векторные уравнения равновесия дают шесть скалярных уравнений в проекциях на декартовых осях координат:

(1.4)

которые, в общем случае составляют замкнутую систему алгебраических уравнений относительно шести неизвестных внутренних усилий: , , , , , .

Рис. 1.5

Следовательно, если полная система внешних сил известна, то по методу сечений, всегда можно определить все внутренние усилия действующих в произвольно взятом сечении тела. Данное положение является основополагающим обстоятельством в механике твердого деформируемого тела.

В общем случае в сечении могут иметь место все шесть силовых факторов. Однако достаточно часто на практике встречаются случаи, когда некоторые внутренние усилия отсутствуют - такие виды нагружения бруса получили специальные названия (табл.1.1).

Таблица 1.1. Простейшие случаи сопротивления

Вид напряженного состояния	Nz	Qx	Qy	Mz	Mx	My
Растяжение/сжатие	+
Кручение				+
Чистый изгиб относительно оси х					+
Чистый изгиб относительно оси у						+
Поперечный изгиб относительно оси х			+		+
Поперечный изгиб относительно оси у		+				+

Примечание: + означает наличие усилия, 0 - его отсутствие.

Сопротивления, при которых в поперечном сечении бруса дей­ствует одно внутреннее усилие, условно называются простыми. При одновременном действии в сечении бруса двух и более усилий (например, изгиб с кручением) сопротивление бруса называется сложным.

В заключение заметим, что при выполнении практических рас­четов, для наглядности, как правило, определяются графики функ­ций внутренних силовых факторов относительно координатной оси, направленной вдоль продольной оси стержня. Графики изме­нения внутренних усилий вдоль продольной оси стержня называ­ются эпюрами.

Напряжения

При определении внутренних силовых факторов их считают приложенными в центре тяжести сечения. В действительности внутренние силы, являясь результатом взаимодействия частиц тела, непрерывно распределены по сечению. Интенсивность этих сил в разных точках сечения может быть различной. При увеличении нагрузки на элемент конструкции увеличиваются внутренние силы и соответственно увеличивается их интенсивность во всех точках сечения. Если в некоторой точке интенсивность внутренних сил достигнет определенного для данного материала значения, в этой точке возникает трещина, развитие которой приведет к разрушению элемента, или возникнут недопустимые пластические деформации. Следовательно, о прочности элементов конструкций следует судить не по значению внутренних силовых факторов, а по их интенсивности. Меру интенсивности внутренних сил называют напряжением.

В окрестности произвольной точки, принадлежащей сечению некоторого нагруженного тела, выделим элементарную площадку , в пределах которой действует внутреннее усилие (рис. 1.6, а).

Среднее значение интенсивности внутренних усилий на площадке, называемое средним напряжением, определяют по формуле

(1.5)

Уменьшая площадь , в пределе получаем истинное напряжение в данной точке сечения

(1.6)

Векторная величина называется полным напряжением в точке. В международной системе единиц (СИ) за единицу напряжения принят паскаль (Па) – это напряжение, при котором на площадке 1 м² действует внутренняя сила 1 Н.

Так как эта единица очень мала, в расчетах используют кратную единицу напряжения – мегапаскаль (1 МПа=10⁶ Па).

Разложим вектор полного напряжения на две составляющие (рис.1.6, б).

Проекция вектора полного напряжения на нормаль к данной площадке обознача­ется через и называется нормальным напряжением.

Рис. 1.6

Составляющую, лежащую в сечении в данной площадке обознача­ется через и называется касательным напряжением.

Нормальное напряжение, направленное от сечения, считают положительным, направленное к сечению – отрицательным.

Нормальные напряжения возникают, когда под действием внешних сил частицы, расположенные по обе стороны от сечения, стремятся удалиться одна от другой или сблизиться. Касательные напряжения возникают, когда частицы стремятся сдвинуться одна относительно другой в плоскости сечения.

Касательное напряжение можно разложить по координатным осям на две составляющие и (рис.1.6, в). Первый индекс при показывает, какая ось перпендикулярна сечению, второй – параллельно какой оси действует напряжение. Если в расчетах направление касательного напряжения не имеет значения, его обозначают без индексов.

Между полным напряжением и его составляющими существует зависимость

(1.7)

Через точку тела можно провести бесконечное число сечений и для каждого из них напряжения имеют свое значение. Следовательно, при определении напряжений необходимо указывать положение не только точки тела, но и сечения, проведенного через эту точку.

Совокуп­ность напряжений для множества площадок, проходящих через данную точку, образует напряженное состояние в этой точке.

Напряжения в поперечных сечениях связаны с внутренними силовыми факторами определенными зависимостями.

Возьмем в сечении бесконечно малую площадку площадью . По этой площадке в общем случае действуют бесконечно малые (элементарные) внутренние силы (рис. 1.7)

; ; .

Рис.1.7

Соответствующие элементарные моменты относительно координатных осей , , имеют вид:

; ; .

Просуммировав бесконечно малые силы и моменты, действующие в сечении, получим выражения, связывающие внутренние силовые факторы с напряжениями:

(1.8)

В соответствии с теоремой Вариньона, известной из теоретической механики, и зависимостью между напряжениями , и , выражение для можно записать в виде

,

где

.

Интегральные зависимости (1.8) можно использовать для определения напряжений по найденным методом сечений внутренним силовым факторам при условии, что известны законы распределения напряжений по сечению.

Перемещения и деформации

Под действием внешних сил твердые тела изменяют свою гео­метрическую форму, то есть деформируются. Если в теоретической механике тела считаются абсолютно жесткими, то в сопротивлении материалов тела обладают способностью деформироваться, т.е. под действием внешней нагрузки изменять свои начальные размеры и форму. Точки тела при этом неодинаково перемещаются в пространстве. Вектор , имеющий свое начало в точке А недефор­мированного состояния, а конец в т. деформированного состоя­ния, называется вектором полного перемещения т. А (рис. 1.8, а). Его проекции на оси xyz называются осевыми перемещениями и обозначаются u, v и w, соответственно.

Для того, чтобы охарактеризовать интенсивность изменения формы и размеров тела, рассмотрим точки А и В его недеформиро­ванного состояния, расположенные на расстоянии друг от друга (рис. 1.8, б).

Рис. 1.8

Пусть в результате изменения формы тела эти точки перемес­тились в положение и , соответственно, а расстояние между ними увеличилось на величину DS и составило S + DS. Величина

(1.9)

называется линейной деформацией в точке А по направлению АВ. Если рассматривать деформации по направлениям координатных осей , то в обозначения соответствующих проекций линейной деформации вводятся индексы , , .

Линейные деформации , , характеризуют изменения объема тела в процессе деформирования, а формоизменения тела - угловыми деформациями. Для их определения рассмотрим прямой угол, образованный в недеформированном состоянии двумя отрез­ками ОD и ОС (рис. 1.8, б). При действии внешних сил указанный угол DOC изменится и примет новое значение . Величина

(1.10)

называется угловой деформацией, или сдвигом в точке О в плос­кости СОD. Относительно координатных осей деформации сдвига обозначаются , , .

Совокупность линейных и угловых деформаций по различным направлениям и плоскостям в данной точке образует деформиро­ванное состояние в точке.

Рис.1.9

Если необходимо добиться наименьших изменений фор­мы конструкции, то производится расчет по допускаемым пе­ремещениям. Это не исключает и одновременной проверки сис­темы на прочность по напряжениям.

В случае расчета конструкции по допускаемым перемещениям необходимо удов­летворять условию

, (1.19)

где и - максимальное и допускаемое значения переме­щения.

Для расчета строительных конструкций применяется метод расчета по предельным состояниям.

Данный метод предполагает обеспечить такие условия работы конструкции, при которых исключалась бы возможность наступления расчетного предельного состояния, под которым понимают потерю способности сопротивляться внешним силовым воздействиям или отвечать заданным эксплуатационным требованиям.

Обобщённый закон Гука

В общем случае напряжение и деформации описываются тензорами второго ранга в трёхмерном пространстве (имеют по 9 компонент). Связывающий их тензор упругих постоянных является тензором четвёртого ранга и содержит 81 коэффициент. Вследствие симметрии тензора , а также тензоров напряжений и деформаций, независимыми являются только 21 постоянная. Закон Гука выглядит следующим образом:

где — тензор напряжений, — тензор деформаций. Для изотропного материала тензор содержит только два независимых коэффициента.

Благодаря симметрии тензоров напряжения и деформации, закон Гука может быть представлен в матричной форме.

Лекция 1. Введение

Задачи и методы сопротивления материалов

Сопротивление материалов - наука об инженерных методах расчета на прочность, жесткость и устойчивость элементов сооружений и деталей машин.

Прочность - это способность конструкции сопротивляться разрушению при действии на нее внешних сил (нагрузок).

Жесткость - способность элемента конструкции сопротивляться деформации.

Устойчивость - свойство системы сохранять свое начальное равновесие при внешних воздействиях.

Методами со­противления материалов выполняются расчеты, на основании кото­рых определяются необходимые размеры деталей машин и конструкций инженерных сооружений. Любая конструкция должна обладать надежностью при эксплуатации и быть экономичной.

Надежность конструкции обеспечивается, если она сохраняет прочность, жесткость и устойчивость при гарантированной долговечности. Ее экономичность в значительной мере определяется расходом материала, применением менее дефицитных конструкционных материалов, возможностью изготовления деталей по наиболее прогрессивным технологиям. Надежность и экономичность - противоречивые требования.

В сопротивлении материалов широко применяются методы теоретической механики и математического анализа, используются данные из разделов физики, изучающих свойства различных материалов, материаловедения и других наук. К тому же сопротивление материалов является наукой экспериментально-теоретической, так как она широко использует опытные данные и теоретические исследования.

В отличие от теоретической механики сопротивление материа­лов рассматривает задачи, в которых наиболее существенными яв­ляются свойства твердых деформируемых тел, а законами движения тела как жесткого целого здесь пренебрегают. В теоретической механике рассматривают равновесие абсолютно твердого (недеформированного) тела, при составлении уравнений равновесия допустимы замена системы сил статически эквивалентной системой, перенос сил вдоль линии их действия, замена ряда сил их равнодействующей. При решении задач сопротивления материалов, подобные замены или перенос сил недопустимы.

В то же время, вслед­ствие общности основных положений, сопротивление материалов рассматривается как раздел механики твердых деформируемых тел. В состав механики деформируемых тел входят также такие дис­циплины, как: теория упругости, теория пластичности, теория пол­зучести, теория разрушения и др., рассматривающие, по существу, те же вопросы, что и сопротивление материалов. Различие между сопротивлением материалов и другими теориями механики твердо­го деформируемого тела заключается в подходах к решению задач.

Строгие теории механики деформируемого тела базируются на более точной постановке проблем, в связи с чем, для решения задач приходится применять более сложный математический аппарат и проводить громоздкие вычислительные операции. Вследствие этого возможности применения таких методов в практических задачах ограничены.

В свою очередь, методы сопротивления материалов базируются на упрощенных гипотезах, которые, с одной стороны, позволяют решать широкий круг инженерных задач, а с другой, получать при­емлемые по точности результаты расчетов.

При этом главной задачей курса является формирование зна­ний для применения математического аппарата при решении при­кладных задач, осмысления полученных численных результатов и поиска выбора наиболее оптимальных конструктивных решений. То есть данный предмет является базовым для формирования ин­женерного мышления и подготовки кадров высшей квалификации по техническим специализациям.

Сопротивление материалов является основой для изучения курса «Детали машин» и различных специальных дисциплин, таких, как «Конструкция и прочность двигателей», «Конструкция и прочность летательных аппаратов» и т.п.

Зарождение науки о сопротивлении материалов относится к XVII в. и связано с работами знаменитого ученого того времени Галилео Галилея. Значительный вклад в ее развитие был сделан выдающимися учеными: Гуком, Бернулли, Сен-Венаном, Коши, Ламе, Эйлером и др. В России в конце XIX-начале XX века важные исследования в области сопротивления материалов провели русские ученые Д.И.Журавский, Ф.С.Ясинский, И.Г.Бубнов, С.П.Тимошенко и др.