Свойства независимых событий

1. Если Р(В)>0, то для независимых событий А и В

Р(А/В)=Р(А) (1’)

Доказательство:

–

Замечание: Иногда определение независимости событий дают на основе (1’). События А и В называются независимыми, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого.

2. Если А и В независимы, то независимы и и В; А и ; и .

Доказательство: Докажем первое утверждение.

P( B)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=P(B)-P(B)P(A)=

=P(B)(1-P(A))=P(B)P( ).

Доказательство второго утверждения аналогично. Докажем третье утверждение.

P( )=P( )=1-P(AÈB)=1-P(A)-P(B)+P(AB);

P( )P( )=(1-P(A))(1-P(B))=1-P(A)-P(B)+P(AB)

Сравнивая эти равенства, видим, что у них одинаковы правые части, следовательно

Р( )=Р( )Р( ) –

3. Пусть А и В₁ независимы, А и В₂ независимы, причем В₁В₂=Æ, тогда А и В₁+В₂ - независимы.

Доказательство:

P(A(В₁+В₂))=P(AВ₁+ AВ₂)= P(A)P(В₁)+P(A)P(В₂)=

=P(A)(P(В₁)+P(В₂))=P(A)P(В₁+В₂) –

4. Два несовместных события всегда зависимы, т.к. появление одного исключает появление другого

Если А и В несовместны (АВ=Æ), причем P(А)>0, P(B)>0, то Р(А/В)=Р(В/А)=0.

Доказательство: P(A/B)= …

Независимость событий в совокупности: События А₁,А₂,..., А_n называются независимыми в совокупности, если любое из них не зависит от любой комбинации (произведения) любого числа других. Для независимых событий правило умножения принимает вид:

P(А₁А₂...А_n)=P(А₁)P(А₂)...P(А_n)

или короче, пользуясь знаком произведения:

Т.е. вероятность произведения нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Лекция № 4

Формула полной вероятности.

Теорема 3. Пусть на вероятностном пространстве (W,F,Р) определена полная группа несовместных событий B₁, B₂,..., B_n, вероятности которых известны Р(B_i), . Событие А может появиться при появлении одного из событий B_i, причем условные вероятности Р(А/B_i) известны. Тогда вероятность Р(А) определяется следующим образом:

(1)

(1) - формула полной вероятности.

Доказательство: Событие А можно представить

А=АW=А( )= ,

т.к. B_i - несовместны, то АB_i - тоже несовместны, поэтому

Р(А)= = €

Пример. Как следует разложить два белых и два черных шара по двум урнам, чтобы при случайном выборе урны вероятность вынуть из неё белый шар была наибольшей?

Решение: Обозначим: B_i={выбор i-той урны}, i=1,2; A={вынут белый шар}. Условные вероятности Р(А/B_i) зависят от того, как разложены шары:

1) Все шары положены в одну урну

Р(А/B₁)=2/4=1/2, Р(А/B₂)=0, Р(А)=1/2×1/2+0×1/2=1/4

2) В одной урне все белые шары, в другой все черные.

Р(А/B₁)=1, Р(А/B₂)=0, Р(А)=1/2×1+1/2×0=1/2.

3) В каждой урне по одному белому и одному черному шару.

Р(А/B₁)=Р(А/B₂)=1/2, Р(А)=1/2×1/2+1/2×1/2=1/2

4) В одну урну положили черный шар, в другую - все остальные.

Р(А/B₁)=0, Р(А/B₂)=2/3, Р(А)=2/3×1/2=1/3

5) В одну урну положили белый шар, в другую – все остальные

Р(А/B₁)=1, Р(А/B₂)=1/3, Р(А)=1/3×1/2+1/2×1=2/3

Ответ: Наибольшая вероятность Р(А) в пятом варианте раскладки шаров.

Формула Байеса

Теорема 4. Пусть имеется полная группа несовместных событий B₁, B₂,..., B_n. Известны Р(B_i), . Событие А, для которого Р(А)>0 может произойти толь с одним из . Известны Р(А/ B_i), . Тогда апостериорная вероятность Р(B_k/А) определяется формулой:

(2)

Доказательство По определению

На основе формулы полной вероятности получаем:

.‹

(2) - формула Байеса.

Вероятности Р(B_k) называются априорными (a priori - до опыта) вероятностями; Р(B_k/А) - апостериорными (a posteriori - после опыта). События B_i часто называют гипотезами.

Пример. В урне лежит шар неизвестного цвета, с равной вероятностью белый или черный. В урну кладут белый шар, перемешивают и вынимают наудачу шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что в урне остался белый шар?

Решение: Обозначим событие А={вынут белый шар}

B₁={в урне остался белый шар}={в урне был белый шар}; B₂={в урне черный шар}. Очевидно, Р(B₁)=Р(B₂)=1/2; P(A/ B₁)=1; P(A/ B₂)=1/2. Необходимо найти Р(B₁/А).

По формуле Байеса:

Ответ: Р(B₁/А)=2/3

Таким образом, апостериорная вероятность события B₁ существенно больше априорной.